14.1 全等三角形及其性质(教案+导学案)2025-2026学年度人教版数学八年级上册

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14.1 全等三角形及其性质(教案+导学案)2025-2026学年度人教版数学八年级上册

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14.1 全等三角形及其性质
1.了解全等形的概念,会识别全等形.
2.理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角,了解全等三角形的性质.
3.感受图形变换,培养学生的观察、识图能力,发展学生的几何直观感知能力与空间观念.
重点:全等三角形的概念和性质,能识别全等三角形中的对应边、对应角.
难点:理解全等三角形边、角之间的对应关系,利用全等三角形的性质进行推理计算.
知识链接
下图所示的例子中都有形状、大小相同的图形,你能再举出一些类似的例子吗?
创设情境
探究点一:全等形及全等三角形的概念
操作探究:把一块三角尺按在纸板上,画下图形,照图形裁下纸板.
问题1:裁下的纸板与三角尺的形状、大小完全一样吗?把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗?
问题2:从同一张底片冲洗出来的两张尺寸相同的照片上的图形,放在一起也能够完全重合吗?
概念引入:可以看到,形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫作全等形.能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
下列各选项中的两个图形属于全等形的是( A )
探究点二:全等三角形的表示方法及相关概念
操作探究:在图①中,把△ABC沿直线BC平移,得到△DEF.在图②中,把△ABC沿直线BC翻折180°,得到△DBC.在图③中,把△ABC绕点A旋转,得到△ADE.
讨论1:平移、翻折、旋转前后的图形是全等形吗?
一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等.
讨论2:我们前面学习了如何表示一个三角形边和角等相关元素,那么全等的三角形有哪些元素?应该怎么表示呢?与同桌讨论.
讨论3:对应边、对应角与对边、对角有什么区别?
思考:全等三角形两种表示方法的区别是什么?
区别
请用几何语言表示出操作探究中图③中的两个全等三角形,并写出它们的对应顶点、对应边和对应角.
答:△ABC和△ADE全等,记作△ABC≌△ADE.
对应顶点:点A和点A,点B和点D,点C和点E;
对应边:AB和AD,BC和DE,AC和AE;对应角:∠BAC和∠DAE,∠B和∠D,∠C和∠E.
探究点三:全等三角形的性质
思考:操作探究的图①中,△ABC≌△DEF,对应边有什么关系?对应角呢?
答:因为对应边是重合的边,对应角是重合的角,所以AB=DE,BC=EF,AC=DF,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,即△ABC与△DEF的对应边相等,对应角相等.
讨论:两个全等三角形的周长,面积相等吗?②全等三角形对应边上的高、中线、对应的角平分线相等吗?相等.
深入思考:如果两个三角形都与另一个三角形全等,那么这两个三角形全等?全等的传递性.
如图,△ABC≌△ADC,请写出这两个三角形中相等的边和角.
解:相等的边为AB=AD,AC=AC,BC=DC;
相等的角为∠BAC=∠DAC,∠B=∠D,∠ACB=∠ACD.
1.下列图形中,属于全等形的是( B )
2.若△ABC≌△DEF,△DEF的周长为13,AB+BC=7,则AC的长为( D )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.已知图中的两个三角形全等,则∠α的度数是 50° .
4.[教材变式]如图,△ABC≌△DEF,∠A=70°,∠B=50°,BF=4,EF=7,求∠DEF的度数和CF的长.
解:∵△ABC≌△DEF,∠B=50°,EF=7,
∴∠DEF=∠B=50°,BC=EF=7.
∵BF=4,
∴CF=BC-BF=7-4=3.
(其他课堂拓展题,见配套PPT)
      
      
      第14章 全等三角形
14.1 全等三角形及其性质
【素养目标】
1. 了解全等形的概念, 会识别全等形.
2. 理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、
对应角,了解全等三角形的性质. (重点)
3. 利用全等三角形的性质进行推理计算. (难点)
4. 感受图形变换,培养学生的观察、识图能力,发展学生的几何直观感知能力与空间观念.
【情境导入】
问题: 观察下面各组图形,说说它们有什么共同特点.
你能再举出一些类似的例子吗
【合作探究】
探究点一、全等形及全等三角形的概念
操作探究:把一块三角尺按在纸板上,画下图形, 照图形裁下纸板.
问题1:裁下的纸板与三角尺的形状、大小完全一样吗? 把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗?
问题2 翻动课本,把每页纸看作一个图形,那么这些图形有什么样的特点呢
这类型的图形我们怎么去表述它们呢
知识要点:全等形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合,能够完全重合的两个图形叫作全等形.
全等形三角形:能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
练一练 1.下列各选项中的两个图形属于全等形的是( )
操作探究:在图 ① 中,把 沿直线 平移,得到 .
在图 ② 中,把 沿直线 翻折 ,得到 .
在图 ③ 中,把 绕点 旋转,得到 .
讨论1:平移、翻折、旋转前后的图形是全等形吗?
讨论2:我们前面学习了如何表示一个三角形边和角等相关元素,那么全等的三角形有哪些元素 应该怎么表示呢
探究点二: 全等三角形的表示方法及相关概念
把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫作对应顶点,重合的边叫作对应边,重合的角叫作对应角.
“全等”用符号“≌”表示,读作“全等于”
几何语言:
, 图①
点 和点____,点 和点____,点 和点____是对应顶点;
和 和 和 是对应角;
和 , 和 , 和 ____是对应边.
讨论3:对应边、对应角与对边、对角有什么区别
思考: 全等三角形两种表示方法的区别是什么
类比图 ①,说一说图 ②、图 ③ 的对应顶点、对应边、对应角.
图②
全等三角形
对应顶点
对应边
对应角
图③
全等三角形
对应顶点
对应边
对应角
全等三角形找对应边、对应角方法
1. 有公共边的, 公共边是对应边;
2. 有公共角的, 公共角是对应角;
3. 有对顶角的, 对顶角是对应角;
4. 长边对应长边,短边对应短边,大角对应大角,小角对应小角.
探究点三、全等三角形的性质
思考: 操作探究的图①中, , 对应边有什么关系 对应角呢
全等三角形的性质
全等三角形的对应边_______,全等三角形的对应角______.
讨论:①两个全等三角形的周长,面积相等吗?
②全等三角形对应边上的高、中线、对应的角平分线相等吗?
深入思考:如果两个三角形都与另一个三角形全等, 那么这两个三角形全等
试一试:如图, 与 全等,请用数学符号表示出这两个三角形全等, 并写出相等的边和角.
例 如图, ,点 和点 ,点 和点 是对应顶点, 的延长线相交于点 . 求 的度数.
当堂反馈
1. 下列图形中,属于全等形的是( )
2. 若 的周长为 13 , ,则 的长为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 已知图中的两个三角形全等,则 的度数是_______.
4. 如图, , , , ,求 的度数和 的长.
5. 如图, , , , , 三点共线.
求证: .
参考答案
探究点一: 全等形及全等三角形的概念.
问题1: 完全一样, 能够完全重合. 问题2 都能完全重合.
这类型的图形我们怎么去表述它们呢
练一练 1. A
讨论1: 一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等.
讨论2: 把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫作对应顶点,重合的边叫作对应边,重合的角叫作对应角.
探究点二、全等三角形的表示方法及相关概念
讨论3: 对应边、对应角用于描述多个全等图形间的边和角的关系,而对边、对角用于描述单个图形内角与边的位置关系.
思考: 对应关系已确定
和 全等 对应关系不确定
图②、的对应顶点、对应边、
对应角.
全等三角形
对应顶点 点 和点 ,点 和点 , 点 和点
对应边 和 和 , 和
对应角 和 和 , 和
图③
全等三角形
对应顶点 点 和点 ,点 和点 , 点 和点
对应边 和 和 , 和
对应角 和 和 , 和
探究点三、全等三角形的性质
思考 答: 因为对应边是重合的边, 对应角是重合的角, 所以 , ,
即 与 的对应边相等,对应角相等.
讨论:① 两个三角形全等的周长,面积相等;
② 对应边上的高、中线、对应的角平分线也相等.
试一试: 解: .相等的边为: ,
;相等的角为: , .
例 解: , .
.
在 中, ,
.
当堂反馈
1. B 2. D 3. .
4.解: , ,
. , .
5. 证明: , ,.
. .
. .

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