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14.2　三角形全等的判定
第1课时　“边角边”
1.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
2.经历探索“SAS”的过程，培养学生观察、归纳及动手能力，发展学生的几何直观感知能力与推理能力.
重点：“SAS”的探索及运用.
难点：“SAS”的探究过程.
知识链接
在上一堂课，我们学习了全等三角形的性质，知道了全等三角形的对应边、对应角相等.反过来，具备什么条件的两个三角形全等呢？今天这堂课我们一起来探究.
创设情境
探究点：探索“SAS”判定三角形全等
思考：上节课我们学习了全等三角形的性质，根据其定义，如果两个三角形满足三边相等，三个角相等就能判定其全等，那么一定要同时满足这六个条件，才能保证两个三角形全等吗？
操作1：先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'满足一边、一角相等.
操作2：改变操作1中的条件，使画出的两个三角形满足两边相等或两角相等.
思考：操作1与操作2中画出的三角形一定全等吗？与你的同桌讨论.
通过画图我们知道，两个三角形满足其中的2个条件并不能保证两个三角形全等.
操作3：在上述操作的基础上，我们增加条件，画出一个△ABC.再画出一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠A'＝∠A（即两边和它们的夹角分别相等）.把画好的△A'B'C'剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？
画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠A'＝∠A.
（1）画∠DA'E＝∠A；
（2）在射线A'D上截取A'B'＝AB，在射线A'E上截取A'C'＝AC；
（3）连接B'C'.
思考：探究的结果反映了什么规律？
三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定了.
基本事实 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）
符号语言 如图，在△ABC和△A'B'C'中， 　→书写顺序是“边→角→边” ∴△ABC≌△A'B'C'（SAS）
如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D，使CD＝CA.连接BC并延长到点E，使CE＝CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么？
解：在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（SAS）.∴AB＝DE.
追问：想一想，∠1＝∠2的根据是什么？AB＝DE的根据是什么？
答：∠1＝∠2的根据是对顶角相等，AB＝DE的根据是全等三角形的对应边相等.
思考：证明全等的书写步骤要注意什么？
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
②指明范围：写出在哪两个三角形中；
③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；
④写出结论：写出全等结论.
深入思考：上面操作3我们探究了两边及其夹角相等，则两个三角形全等，那么是否只要满足两条边和一个角相等，就能判断两个三角形全等？
操作4：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.
讨论：这个实验说明了什么？
图中的△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不全等.这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.即SAS可以判定三角形全等，SSA不能判定三角形全等.
1.如图，已知∠ABC＝∠DCB，能直接用“SAS”证明△ABC≌△DCB的条件是（　A　）
A.AB＝DC B.∠A＝∠D
C.∠ACB＝∠DBC D.AC＝DB
第1题图 第2题图 第3题图
2.[典型易错]如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件可以是（　D　）
　
易错：“SSA”不能证明全等.
A.∠A＝∠D　　　　B.∠E＝∠C　　　　C.∠A＝∠C　　　　D.∠1＝∠2
3.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CF，BE＝CD，∠DFC＝85°，∠BED＝30°，那么∠EDF＝　65　°.
4.如图，C是线段AB的中点，CD＝BE，CD∥BE.求证：∠D＝∠E.
书写通关
证明：∵C是线段AB的中点，∴AC＝　BC　.
∵CD∥BE，∴∠ACD＝　∠B　.
在△　ACD　和△　CBE　中，
∴△　ACD　≌△　CBE　（　SAS　）.∴∠D＝∠E.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　第14章 全等三角形
14.2 三角形的全等判定
第1课时“边角边”
【素养目标】
1.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. (重点)
2. 经历探索“SAS”的过程,培养观察、归纳及动手能力, 发展几何直观感知能力与推理能力.(难点)
【复习导入】
复习导入
1. 什么叫全等三角形
2. 全等三角形有什么性质
3. 已知 ,找出其中相等的边与角.
【合作探究】
探究点、探索“SAS”判定三角形全等
思考:上节课我们学习了全等三角形的性质,根据其定义,如果两个三角形满足三边相等,三个角相等就能判定其全等,那么一定要同时满足这六个条件,才能保证两个三角形全等吗？
操作1:先任意画出一个,再画一个,使 与 满足一边、一角相等;
结论：________________________________________.
操作2 改变操作1中的条件,使画出的图形满足下列条件:
( 1 )有两个角分别相等的两个三角形；
( 2 )有两条边分别相等的两个三角形；
( 3 )有一个角和一条边分别相等的两个三角形.
结论: ______________________________________________.
探究: 如图,直观上,如果 的大小确定了, 的形状、大小也就确定了. 也就是说,在 与 中,如果 , ,那么 . 这个判断正确吗
理由如下: 如图,由 可知, 如果使点 与点 重合,并且使射线 与射线 重合,那么射线 与射线 重合.
再由 ,可知点 , 分别与点 重合.
这样, 的三个顶点与 的三个顶点分别重合, 与 能够完全重合,因而 .
“边角边”判定方法
基本事实:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成 “边角边” 或 “SAS”).
◆几何语言:
在 和中,
,
(SAS).
【合作探究】
例1 如图, 平分 ,求证 .
思考: 证明全等的书写步骤要注意什么
深入思考:上面探究中我们探究了两边及其夹角相等, 则两个三角形全等,那么是否只要满足两条边和一个角相等,就能判断两个三角形全等
例2 如图,有一池塘,要测池塘两端 的距离, 可先在平地上取一个点 ,连接 并延长到点 ,使 ,连接 并延长到点 ,使 . 连接 ,那么量出 的长就是 的距离,为什么
追问: 想一想, 的根据是什么 的根据是什么
练一练 1. 如图,在 中, ,点 , 分别是 的中点,求证: .
想一想:如图,把一长一短的两根木棍的一端固定在一起, 摆出 .固定住长木棍,转动短木棍,得到 . 这个实验说明了什么
画一画: 画 和 ,使 , . 观察所得的两个三角形是否全等
归纳总结:________________________________________________.
当堂反馈
1. 如图,已知 ,能直接用 “SAS” 证明 的条件是 ( )
A.
B.
C.
D.
2. [典型易错]如图, ,欲证 ,则需补充的条件可以是( )
A.
B.
C.
D.
3. 如图,在 中, , , ,
,那么 ________.
4. 如图, 是线段 的中点, . 求证: .
书写通关
证明: 是线段 的中点,
_____.
,
__________.
在 _____和 _____中,
(SAS). .
5. 如图, 于点 , 求 的度数.
参考答案
复习导入
1. 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
2. 全等三角形的对应边相等,对应角相等.
3. ① ② ③
探究点: 探索“SAS”判定三角形全等
操作1:结论:只有一个相等条件不能保证两个三角形全等.
操作2 (1) 不一定全等 (2)不一定全等 (3) 不一定全等
结论: 有分别相等的两个条件不能保证三角形全等.
探究: 正确.理由如下: 由 可知, 如果使点 与点 重合,并且使射线 与射线 重合,那么射线 与射线 重合.
再由 ,可知点 , 分别与点 重合.
这样, 的三个顶点与的三个顶点分别重合, 与 能够完全重合,因而 .
例1 证明: 平分 , .
在 和 中, (SAS). .
思考: ①准备条件:证全等时要用的条件要先证好；②指明范围:写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据:摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论:写出全等结论.
例2 解: 在 和 中, (SAS). .
追问:答: 的根据是对顶角相等, AB=DE的根据是全等三角形的对应边相等.
练一练 1. 证明: 点 分别是 的中点又 ,
在 和 中,
想一想: 和 满足 ,,但它们并不全等.
画一画: 归纳总结:通过上述探究我们发现:“两边一角分别相等”的两个三角形不一定全等.
当堂反馈
1. A 2. D 3. .
4. , , , AC=CB ,∠ACB ∠CDE CD BE SAS
5. 解: , . ,
.

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