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14.2　三角形全等的判定
第5课时　“斜边、直角边”
1.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
2.能够作图：已知一直角边和斜边作直角三角形，强化学生作图能力.
3.培养学生观察、归纳及动手能力，发展学生的几何直观感知能力与推理能力.
重点：探索并掌握“斜边、直角边”定理.
难点：“斜边、直角边”定理的探索过程，选用适当的方法判定直角三角形全等.
知识链接
前面我们学习了三角形全等的4种判定方法，那么对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
创设情境
探究点：用“HL”判定直角三角形全等
操作：任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°.再画一个Rt△A'B'C'，使得∠C'＝90°，B'C'＝BC，A'B'＝AB.把画好的Rt△A'B'C'剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
画一个Rt△A'B'C'，使∠C'＝90°，B'C'＝BC，A'B'＝AB：
（1）画∠MC'N＝90°；
（2）在射线C'M上截取B'C'＝BC；
（3）以点B'为圆心，AB长为半径画弧，交射线C'N于点A'；
（4）连接A'B'.
思考：通过画Rt△A'B'C'的过程，你发现了什么规律？
由此可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：
定理 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）
符号语言 如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌△DEF（HL）.
讨论：前面学习的4种判定方法是否也适用于直角三角形全等的判定？
“SSS”（一般不出现）“SAS”“ASA”“AAS”也适用于判定直角三角形全等.
（教材P42例6）（在课件中展示）
如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，CF＝AE，BC＝DA.求证：Rt△ABE≌Rt△CDF.
证明：在Rt△ADC和Rt△CBA中，
∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL）.∴CD＝AB.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）.
思考：关于直角三角形全等判定的思路，你能用自己的语言总结吗？
已知对应相等的元素 可选择的判定方法
一锐角（A） “ASA”“AAS”
斜边（H） “HL”“AAS”
一直角边（L） “HL”“ASA”“SAS”“AAS”
1.如图，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，则能够直接证明△ABC≌△ADC的理由是（　D　）
A.ASA B.AAS C.SAS D.HL
第1题图 第2题图
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要添加条件　AB＝AC　；若添加条件∠B＝∠C，则可直接用“　AAS　”判定.
3.如图，已知AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，AD＝AF，AC＝AE.求证：
（1）△ABD≌△ABF；（2）BC＝BE.
证明：（1）∵AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，∴∠D＝∠F＝90°.
在Rt△ABD和Rt△ABF中，∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）.
（2）在Rt△ADC和Rt△AFE中，∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）.∴CD＝EF.
由（1）得△ABD≌△ABF，BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　第14章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
第5课时 “斜边、直角边”
【素养目标】
1. 探索并掌握判定直角三角形全等的 “斜边、直角边” 定理. (重点)
2. 能够作图: 已知一直角边和斜边作直角三角形,强化作图能力.
3. “斜边、直角边” 定理的探索过程,选用适当的方法判定直角三角形全等. (难点)
4. 培养观察、归纳及动手能力,发展几何直观感知能力与推理能力.
【复习导入】
判定方法 简称 图示
三边分别相等
两边和它们的夹角分别相等
两角和它们的夹边分别相等
两角分别相等且其中一组等角的对边相等
思考 对于两个直角三角形,除了直角相等的条件, 还要满足几个条件,这两个直角三角形就全等了
①一条直角边和一锐角分别相等 ②斜边和一锐角分别相等
③两直角边分别相等
如果满足斜边和一条直角边分别相等呢 能证明全等吗？
【合作探究】
探究点一、用“HL”判定直角三角形全等
操作: 任意画出一个 Rt ,使 . 再画一个,使 , 把画好的 剪下来,放到 上,它们全等吗？
(1) 画 ;
(2) 在射线 上截取 ；
(3) 以点 为圆心, 长为半径画弧, 交射线 于点 .
(4) 连接 .
想一想:从中你能发现什么规律？
“斜边、直角边”判定方法
文字语言:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成 “斜边、直角边”或“HL”).
◆几何语言:
在 和 中,
.
例1 如图, ,垂足分别为 , . 求证 .
例2 如图,在四边形 中, , 于点
于点 . 求证: .
梳理你所学的判定两个三角形全等的基本方法, 并绘制成思维导图.
当堂反馈
1. 如图, ,则能够直接证明 的理由是 ( )
A. ASA B. AAS C. SAS D. HL
第1题图 第2题图
2. 如图,在 中, 于 ,要使 ,若根据 “HL” 判定,还需要添加条件_________；若添加条件,则可直接用 “__________”判定.
3. [作图通关]求证: 有两边和其中一边上的高分别对应相等的两个锐角三角形全等. (要求:根据题意画出图形,写出已知、求证并证明)
补全下列解答过程:
已知: 如图,锐角三角形 与锐角三角形 ,
,且 .
求证: .
作图通关
证明: ,
.
在 和 _______中, ,
.
在 和 中,
.
4. 如图,已知 , 分别是 和 的高, .
求证: (1) ； (2) .
参考答案
复习导入
探究点:用 “HL” 判定直角三角形全等
例1 证明: , 与 都是直角.
Rt 和 Rt 中, ( ). .
例2 证明: 在Rt 和Rt 中,
( ). .
, .
在Rt△ABE 和Rt△CDF 中， ( ) .
思维导图
当堂反馈
1. D 2. AB＝AC AAS
3. Rt△A'D'B' AB＝A′B′ AD＝A′D′ HL AB＝A′B′
∠B＝∠B′ BC＝B′C′ SAS
4. 证明: (1) 分别是 和 的高, .
在 和 中,
.
(2)在Rt 和Rt 中, ( ). . 由(1)得 . ,
即 .

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