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14.3　角的平分线
第1课时　角的平分线的性质
1.能用尺规作图：作一个角的平分线，强化学生的分析及作图能力.
2.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理.
3.培养学生观察、归纳及动手能力，发展学生的推理能力.
重点：尺规作图：作一个角的平分线，探索并证明角平分线的性质定理及应用.
难点：角平分线的性质定理的探索过程.
知识链接
想一想，我们学过的角的平分线的概念是什么？我们在练习本上画一个角，怎样得到它的平分线？我们已经能用尺规作一个角等于已知角了，那能否用尺规作一个角的平分线呢？角的平分线除了平分角之外，还具有其他的性质吗？让我们在这节课中展开探索吧.
创设情境
探究点一：角平分线的作法
情境探究：如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗？
答：在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS）.
∴∠BAC＝∠DAC.∴AE是∠BAD的平分线.
以上探究过程告诉我们角平分线的作法，阅读教材P49关于角平分线的具体作法，与同桌交流下列问题：
问题1：作图步骤（2）中，为什么要以“大于MN的长”为半径画弧？
以“大于MN的长为半径画弧”是因为以小于MN的长为半径画弧，两弧没有交点，以等于MN的长为半径画弧不易操作.
问题2：作图步骤（2）中，两弧的交点一定在∠AOB的内部吗？
若分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部.而我们要作的是角的平分线，角的平分线在角的内部，所以交点应在∠AOB内部寻找，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了.
探究点二：角的平分线的性质
操作：如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE.
思考：比较PD，PE的长度，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
PD＝PE.在OC上再取几个点试一试，发现上述结论依然成立.
猜想：角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.
证明：如上图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD＝PE.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在△PDO和△PEO中，∴△PDO≌△PEO（AAS）.∴PD＝PE.
归纳总结：一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
如图，AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC于点F，∠B＝90°，DE＝DC，试说明：BE＝CF.
解：∵∠B＝90°，∴BD⊥AB.∵AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC，
∴DB＝DF.在Rt△BDE和Rt△FDC中，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）.∴BE＝CF.
1.如图，已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，PD＝10，则PE的长为　10　.
第1题图 第2题图
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD＝2，则点D到AB的距离是　2　.
3.[作图通关]用直尺和圆规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：
（1）作∠ABC的平分线BD；
（2）过点O作直线l的垂线m（提示：即作一个平角的平分线）.
　　　
解：（1）如图所示.（2）如图所示.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　第14章 全等三角形
14.3 角的平分线
第1课时 角平分线的性质
【素养目标】
1. 能用尺规作图: 作一个角的平分线, 强化分析及作图能力.(重点)
2. 理解角平分线的概念,探索并证明角平分线的性质定理.(重、难点)
3. 培养观察、归纳及动手能力,发展推理能力.
【复习导入】
(1) 判定两个三角形全等的方法有哪些？
(2) 三角形中有哪些重要的线段？
(3) 从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫作___________________________.
【合作探究】
探究点一、角平分线的作法
情境探究:拿出一个小三角形纸, 按照如图所示的步骤,动手折叠.
问题1: 折痕 平分 吗 为什么呢
问题2: 在如图所示的折叠过程中,按照先后顺序保证了哪些条件相等,使得折痕平分
情境探究:如图是一个平分角的仪器,其中 . 将点 放在角的顶点, 和 沿着角的两边放下,沿 画一条射线 就是这个角的平分线. 你能说明它的道理吗
思考: 你能想到如何作一个角的平分线吗
作法:
(1) 以点为圆心,适当长为半径画弧, 交于点 ,交于点 .
(2) 分别以点为圆心. 大于 的长为半径画弧, 两弧在的内部交于点 .
(3) 画射线 .射线 即为所求.
问题1 为什么以大于 的长为半径作弧
问题2 两弧的交点一定在 的内部吗
探究点二、角的平分线的性质
在刚才折叠的基础上(在折叠状态,未展开)将 自身重合对折(点 与点 重合)观察折叠后的展开图, 你发现了什么
纸上又多了两条折痕,设为 和 (如图),两条折痕相交于点 , 并且点 在角平分线 上; 观察折痕与边的关系得到:______________________.
对于任意角的角平分线是否都有这样的结论
在刚作出的∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P，过点画出 OA，OB 的垂线，分别记垂足为 D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？在 OC 上多取几点试试.
第一次
第二次
第三次
猜想：_______________________________________________.
怎样验证猜想呢
1. 问题: 写出上述命题的题设(已知)和结论(求证).
题设:
结论:
2. 画出图形,几何语言描述
证明：
角平分线的性质定理: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用格式:
是 的平分线, ,
.
注意：推理的条件有三个, 必须写完全,不能少.
证明几何命题的一般步骤
1. 明确命题中的已知和求证;
2. 根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证；
3. 经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.
例 如图, 为 的平分线, 于点 , ,试说明: .
当堂反馈
1. 如图,已知 是 的平分线,点 在 上, ,垂足分别为点 , ,则 的长为__________.
第1题图 第2题图 第3题图
2. 如图,在Rt 中, , 的平分线交于点 ,则点 到 的距离是 ___________ .
3. 如图, 是的角平分线, ,垂足为
,则 的长是_____.
4. [作图通关]用直尺和圆规按下列要求作图(不写作法, 保留作图痕迹):
( 1 ) 作 的平分线 ；
(2) 过点 作直线 的垂线 (提示:即作一个平角的平分线).
参考答案
复习导入 (1) SSS, ASA, ASA, AAS, HL
(2) 三角形的高、三角形的中线、三角形的角的平分线
(3) 从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离
探究点一: 角平分线的作法
问题1: 折痕 平分 ，因为折叠前后的两个角大小相等.
问题2: 先 ,后 .
情境探究: 分析: 在 和 中,
. 平分 .
思考: 问题1 答: 如果以小于 的长为半径作弧, 所作的两弧可能没有交点, 就找不到角的平分线.
问题2 答: 两弧的交点可能在 的内部,也可能在 的外部,而我们要找的是 内部的交点,否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是 的平分线了.
观察折痕与边的关系得到: .
猜想: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
1. 问题: 写出上述命题的题设(已知)和结论(求证).
题设: 角的平分线上有一点
结论: 这一点到角的两边的距离相等
2. 画出图形,几何语言描述
证明: 是 的平分线, . , .在 和 中,
(AAS). .
例 解: . 为的平分线,且, .
在Rt 和 Rt 中, ( ).
.
当堂反馈
1. 10 2. 2 . 3. 8 .
4.
（1） (2)

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