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14.3　角的平分线
第2课时　角的平分线的判定
1.探索并证明角平分线的判定定理.
2.感受互逆的数学思想，发展学生的推理能力和解题能力.
重点：探索并证明角平分线的判定定理及其运用.
难点：区别角的平分线的性质定理和判定定理并灵活运用.
知识链接
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置）？
创设情境
探究点一：角的平分线的判定
思考：我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等，如果交换这个命题的条件和结论，你能得到什么新结论？
新结论：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
探索：这个新结论成立吗？请按照上节课总结的证明几何命题的一般步骤，自己证一证这个结论.
这个结论成立.证明过程如下：
如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD＝PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：如图，经过点P作射线OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP＝OP，PD＝PE.∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOC＝∠BOC.∴点P在∠AOB的平分线上.
讨论：角的平分线的性质及判定之间的关系和区别是什么？
角的平分线的性质是证两条线段相等的依据，角的平分线的判定是证两角相等的依据，在应用时不要混淆.
应用：根据上述结论，请找到知识链接中集贸市场的具体位置.
集贸市场应建在S区内，公路和铁路夹角的平分线上，且在图上距离公路和铁路交点处500÷250＝2个单位长度的位置，如图中点P所示.
如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D.若BD＝CD，求证：AD是∠BAC的平分线.
证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°.
在△BDF和△CDE中，
∴△BDF≌△CDE（AAS）.∴DF＝DE.
又DF⊥AB，DE⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线.
探究点二：三角形三条角平分线的关系
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE.同理PE＝PF.∴PD＝PE＝PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
思考：想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
由于点P在∠A的内部，而且PD＝PF，所以点P在∠A的平分线上.这说明三角形的三条角平分线交于一点.
1.如图，DE⊥OA于E，DF⊥OB于F，DE＝3，当DF＝　3　时，OD是∠AOB的平分线.
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，△ABC的周长是12，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的面积是　18　.
3.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6，若点D到边AB的距离为2.4，S△BCD＝7.2，则∠ABD＝　45　°.
4.如图，已知BD＝CD，BD⊥AC于点F，CD⊥AB于点E，求证：点D在∠BAC的平分线上.
证明：∵BD⊥AC，CD⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在△BED和△CFD中，
∴△BED≌△CFD（AAS）.∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上.
5.如图，已知点D，E，F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等.求证：AD平分∠BAC.
证明：如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N.
∵△DCE的面积与△DBF的面积相等，∴BF·DM＝CE·DN.
∵CE＝BF，∴DM＝DN.∴AD平分∠BAC.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　第14章 全等三角形
14.3 角的平分线的性质
第2课时 角平分线的判定
【素养目标】
1. 探索并证明角平分线的判定定理及其运用. (重点)
2. 区别角的平分线的性质定理和判定定理并灵活运用. (难点)
3. 感受互逆的数学思想,发展推理能力和解题能力
【复习导入】
如图,要在 区域建一个风筝主题公园,使它到公路和铁路的距离相等,这个风筝主题公园应建于何处 在 内是否存在点 ,过点 作 的垂线并交 于点 ,使得
【合作探究】
探究点一、角平分线的判定
思考: 我们知道, 角的平分线上的点到角的两边的距离相等,如果交换这个命题的条件和结论,你能得到什么新结论
新结论: ___________________________________________.
思考：这个结论正确吗？
已知: 如图, ,垂足分别是 , . 求证: 点 在 的平分线上.
角平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用格式:
,
点 在 的平分线上.
回顾导入：如图,要在 区建一个风筝主题公园,使它到公路和铁路的距离相等,并且离公路与铁路交叉处距离为 ,这个风筝主题公园应建在何处
例1 如图,已知 ,垂足分别为 , 相交于点 . 若 ,求证: 是 的平分线.
角平分线的性质与角平分线的判定：
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
已知条件
结论
探究点二、三角形三条角平分线的关系
变式1:如图， S 区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点 A，B，C，如果要在△ABC 区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？
例2 如图, 的角平分线 相交于点 . 求证:
(1) 点 到三边 的距离相等;
(2) 的三条角平分线交于一点.
变式2: 如果要在△ABC 区域外建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，
这个风筝主题公园应建在何处？(画出所有点)
【归纳总结】到 三边所在的直线距离相等的点有__________个.
练一练 如图, 是 内一点,且点 到三边 的距离相等,即 ,若 ,则 的度数是 ( )
A. 140° B. C. 120° D. 110°
当堂反馈
1. 如图, 于 , 于 , , 当 时, 是 的平分线.
第1题图 第2题图 第3题图
2. 如图, 的周长是 分别平分 和 于 ,且 ,则 的面积是_________.
3. 如图, 中, , , ,若点 到边 的距离为 2.4 , ,则 .
4. 如图,已知点 分别是 的三边上的点, ,且 的面积与 的面积相等. 求证: 平分 .
参考答案
探究点一: 角平分线的判定
新结论: 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
证明: 作射线 , .
在 Rt 和 Rt 中,
( ). (全等三角形的对应角相等). 点 在 的平分线上.
回顾导入 解: 作夹角的角平分线 ,在射线 上截取 ,
则点 即为所求.
例1 证明: .
在 和 中, (AAS).
.又 ,∴AD 是∠BAC 的平分线.
探究点二: 三角形三条角平分线的关系
例2 证明: (1) 过点 作 , ,垂足分别为 .
是 的角平分线, 点 在 上, . 同理, . .即点 到三边 的距离相等.
(2) 由 (1) 得,点 到边 的距离相等, 点 在 的平分线上.
的三条角平分线交于一点.
总结:三角形的三条角平分线交于一点, 并且这点到三边的距离相等.
【归纳总结】 4个.
练一练 A
当堂反馈
1. 2. 18 3.
4. 证明: 如图,过 于 于 . 的面积与 的面积相等, , . 平分 .

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