资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台专题2.1 不等式的基本性质【十大题型】【北师大版】【题型1 不等式的概念】 1【题型2 不等式的实际应用】 2【题型3 不等式的解集】 2【题型4 根据不等式的基本性质判断不等式的正误】 3【题型5 根据不等式的性质比较大小】 3【题型6 不等式的性质与数轴的综合运用】 4【题型7 根据不等式的解集求参数的取值范围】 4【题型8 根据不等式的性质求代数式的取值范围】 5【题型9 根据不等式的性质求最值】 5【题型10 利用不等式的性质进行证明】 6知识点1:不等式及其解集①不等式:用符号“<”或“>”表示大小关系的式子,叫做不等式.②不等式的解:使不等式成立的未知数的值,都叫做不等式的解③不等式的解集:一般地,一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集.【题型1 不等式的概念】【例1】(23-24八年级·贵州六盘水·期中)下列式子:①;②;③;④;⑤;⑥;其中是不等式的有( )A.3个 B.4个 C.5个 D.6个【变式1-1】(23-24八年级·辽宁沈阳·期末)某发酵乳的包装瓶上标注“每100克含钙>87毫克”,它的含义是( )A.每100克含钙高于87毫克 B.每100克含钙低于87毫克C.每100克含钙不低于87毫克 D.每100克含钙不超过87毫克【变式1-2】(23-24八年级·山东淄博·期末)若是不等式,则符号“□”不能是( )A. B. C. D.【变式1-3】(23-24八年级·湖南娄底·期末)对于下列结论:①x为自然数,则;②x为负数,则;③x不大于10,则;④m为非负数,则,正确的有 .【题型2 不等式的实际应用】【例2】(23-24八年级·山西晋中·期中)2024年2月25日,国家粮食和物资储备局发布消息称,全国累计收购秋粮超1.5亿吨.若用(亿吨)表示我国今年秋粮收购的数量,则满足的关系为( )A. B. C. D.【变式2-1】(23-24八年级·四川宜宾·期末)如图,是校园内限速标志,若用V表示速度,请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 .【变式2-2】(23-24八年级·甘肃武威·开学考试)针织衫洗涤要求:水温不高于.根据以上信息,写出一个关于温度的不等式: .【变式2-3】(23-24八年级·山东淄博·期末)一种药品的说明书上写着:“每日用量,分次服用”,一次服用这种药品的有效剂量不可以为( )A. B. C. D.【题型3 不等式的解集】【例3】(23-24八年级·河北保定·期末)下列说法中,正确的是( )A.是不等式的解 B.是不等式的唯一解C.是不等式的解集 D.是不等式的一个解【变式3-1】(23-24八年级·江苏泰州·期末)若是某不等式的一个解,则该不等式可以是( )A. B. C. D.【变式3-2】(23-24八年级·广东揭阳·期中)请写出一个关于x的不等式,使,3都是它的解 .【变式3-3】(23-24八年级·湖南·期中)已知当时的最小值为,当时的最大值为,则 .知识点2:不等式的基本性质不等式的性质1:不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变.用式子表示:如果a>b,那么a±c>b±c .不等式的性质2:不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.用式子表示:如果a>b,c>0,那么ac>bc.不等式的性质3:不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.用式子表示:如果a>b,c<0,那么ac<bc.【题型4 根据不等式的基本性质判断不等式的正误】【例4】(23-24八年级·宁夏银川·期末)若,则下列不等式中一定成立的是( )A. B. C. D.【变式4-1】(16-17八年级·云南红河·阶段练习)若,则下列各式中错误的是( )A. B. C. D.【变式4-2】(23-24八年级·重庆江津·期末)若,,则下列各式中正确的是( )A. B. C. D.【变式4-3】(23-24八年级·福建厦门·期末)如果,,那么下列不等式不成立的是( )A. B. C. D.【题型5 根据不等式的性质比较大小】【例5】(2024八年级·江苏·专题练习)比较大小:已知,则 .【变式5-1】(23-24八年级·陕西西安·期中)已知,请比较下列各式的大小,并说明理由.(1)与;(2)与.【变式5-2】(23-24秋·广东惠州·八年级校考阶段练习)若,则;若,则;若,则,这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小.(1)试比较代数式与的值之间的大小关系;(2)已知代数式与相等,试用等式的性质比较的大小关系.(3)已知,试用等式的性质比较的大小关系.【变式5-3】(23-24八年级·北京大兴·期末)比较与的大小,并说明理由.【题型6 不等式的性质与数轴的综合运用】【例6】(23-24八年级·山东威海·期末)实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论错误的是( )A. B. C. D.【变式6-1】(23-24·四川内江·中考真题)如图,数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b,则下列式子中成立的是( )A.1﹣2a>1﹣2b B.﹣a<﹣b C.a+b<0 D.|a|﹣|b|>0【变式6-2】(13-14八年级·全国·课后作业)如图,数轴上A、B两点对应的实数分别为a,b,则下列结论不正确的是( )A.a+b>0 B.ab<0 C.a﹣b<0 D.|a|﹣|b|>0【变式6-3】(23-24·浙江杭州·中考真题)已知数轴上的点分别表示数,其中,.若,数在数轴上用点表示,则点在数轴上的位置可能是( )A. B. C. D. 【题型7 根据不等式的解集求参数的取值范围】【例7】(23-24·河北保定·模拟预测)已知数轴上两点,表示的数分别为,1,那么关于的不等式的解集,下列说法正确的是( )A.若点在点左侧,则解集为B.若点在点右侧,则解集为C.若解集为,则点必在点左侧D.若解集为,则点必在点右侧【变式7-1】(23-24八年级·四川遂宁·期中)不等式的解集是那么( )A. B. C. D.【变式7-2】(23-24春·福建泉州·八年级校考期末)若,且,则的取值范围是 .【变式7-3】(23-24春·广西南宁·八年级统考期末)若关于x的不等式mx﹣x>1﹣m的解集是x<﹣1,则m的取值范围是( )A.m>1 B.m<1 C.m>﹣1 D.m<﹣1【题型8 根据不等式的性质求代数式的取值范围】【例8】(23-24八年级·四川德阳·期末)若,且,设,则t的取值范围为 .【变式8-1】(23-24八年级·安徽合肥·期中)若,且,,设,(1)用只含有的代数式表示,则 ;(2)t的取值范围为 .【变式8-2】(23-24·安徽·模拟预测)若实数满足,令,则的取值范围是( )A. B. C. D.【变式8-3】(17-18八年级·安徽合肥·期末)已知y>1,x<﹣1,若x﹣y=m成立,求x+y的取值范围 (结果用含m的式子表示).【题型9 根据不等式的性质求最值】【例9】(23-24八年级·全国·专题练习)若,,,则的最小值为( )A.0 B.3 C.6 D.9【变式9-1】(23-24八年级·江苏南通·期末)已知实数,b满足,若,则m的最大值为( )A.9 B.7 C.5 D.【变式9-2】(2019·江苏镇江·二模)已知:6a=3b+12=2c,且b≥0,c≤9,则a﹣3b+c的最小值为 .【变式9-3】(2024八年级·全国·竞赛)a,b,c,d都是整数,且,,,,则的最大值为( )A.447 B.455 C.471 D.479【题型10 利用不等式的性质进行证明】【例10】(23-24八年级·福建福州·期末)已知都是实数,若.求证:.【变式10-1】(2024·江苏扬州·八年级期末)阅读感悟:代数证明题是数学中常见的一种题型,它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性,如下例题:例:已知实数x、y满足,证明:.证明:因为且x,y均为正,所以______,______.(不等式的两边都乘以同一个正数,不等号的方向不变)所以.(不等式的传递性)解决问题:(1)请将上面的证明过程填写完整.(2)尝试证明:若,则.【变式10-2】(23-24八年级·全国·专题练习)已知实数a,b,c满足:.求证:(1);(2)【变式10-3】(23-24八年级·全国·期中)阅读下列材料,解决问题:【问题背景】小明在学习完不等式的性质之后,思考:“如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢?”在老师的启发下,小明首先把问题转化为以下的形式:①已知:,.求证:.②已知:,.求证:.【问题探究】(1)针对①小明给出如下推理过程,请认真阅读,并填写依据:,即是一个负数,的相反数是正数,即,,(依据:______),即,不等式的两端同时加可得:(依据:______),合并同类项可得:,即:得证.(2)参考(1)的结论或证明方法,完成②的证明.121世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台专题2.1 不等式的基本性质【十大题型】【北师大版】【题型1 不等式的概念】 1【题型2 不等式的实际应用】 3【题型3 不等式的解集】 4【题型4 根据不等式的基本性质判断不等式的正误】 6【题型5 根据不等式的性质比较大小】 8【题型6 不等式的性质与数轴的综合运用】 10【题型7 根据不等式的解集求参数的取值范围】 13【题型8 根据不等式的性质求代数式的取值范围】 14【题型9 根据不等式的性质求最值】 17【题型10 利用不等式的性质进行证明】 19知识点1:不等式及其解集①不等式:用符号“<”或“>”表示大小关系的式子,叫做不等式.②不等式的解:使不等式成立的未知数的值,都叫做不等式的解③不等式的解集:一般地,一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集.【题型1 不等式的概念】【例1】(23-24八年级·贵州六盘水·期中)下列式子:①;②;③;④;⑤;⑥;其中是不等式的有( )A.3个 B.4个 C.5个 D.6个【答案】B【分析】本题考查了不等式的定义,有理数的大小比较,熟练掌握不等式的定义是解题的关键.根据不等式的定义,逐一判断即可解答.【详解】解:下列式子:①;②;③;④;⑤;⑥,其中是不等式的有:①②③⑥,共有4个,故选:B.【变式1-1】(23-24八年级·辽宁沈阳·期末)某发酵乳的包装瓶上标注“每100克含钙>87毫克”,它的含义是( )A.每100克含钙高于87毫克 B.每100克含钙低于87毫克C.每100克含钙不低于87毫克 D.每100克含钙不超过87毫克【答案】A【分析】本题考查不等式的定义,根据不等式的定义求解即可.【详解】解:“每100克含钙>87毫克” 的含义是每100克含钙高于87毫克,故选:A.【变式1-2】(23-24八年级·山东淄博·期末)若是不等式,则符号“□”不能是( )A. B. C. D.【答案】A【分析】本题考查了不等式的定义,根据不等式的定义判断即可.熟练掌握用符号“”或“”表示大小关系的式子,叫做不等式,像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式.【详解】解:∵,,都是不等式,∴选项B,C,D都不符合题意;∵不是不等式,∴选项A符合题意.故选:A.【变式1-3】(23-24八年级·湖南娄底·期末)对于下列结论:①x为自然数,则;②x为负数,则;③x不大于10,则;④m为非负数,则,正确的有 .【答案】②④/④②【分析】根据自然数定义即可判断①,根据负数定义即可判断②,不大于10,即小于或等于可判断③,根据非负数定义即可判断④.【详解】解:x为自然数,则,错误,不合题意;②x为负数,则,正确,符合题意;③x不大于10,则,错误,不合题意;④m为非负数,则,正确,符合题意;故答案为:②④.【点睛】本题考查了列不等式的知识,正确理解负数定义,非负数定义,自然数定义,不大于即小于或等于.【题型2 不等式的实际应用】【例2】(23-24八年级·山西晋中·期中)2024年2月25日,国家粮食和物资储备局发布消息称,全国累计收购秋粮超1.5亿吨.若用(亿吨)表示我国今年秋粮收购的数量,则满足的关系为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查了不等式,熟练掌握不等式的定义,理解题干中“超1.5亿”即“大于1.5亿”是解题的关键.根据不等式的定义解答即可.【详解】解:根据题意得:,故选:B.【变式2-1】(23-24八年级·四川宜宾·期末)如图,是校园内限速标志,若用V表示速度,请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 .【答案】【分析】本题考查列不等式.正确的识图,是解题的关键.根据题意,列出不等式即可.【详解】解:由图可知:;故答案为:.【变式2-2】(23-24八年级·甘肃武威·开学考试)针织衫洗涤要求:水温不高于.根据以上信息,写出一个关于温度的不等式: .【答案】【分析】此题主要考查不等式的定义.根据“水温不高于”可以写为.【详解】解:根据“水温不高于”可以写为.故答案为:.【变式2-3】(23-24八年级·山东淄博·期末)一种药品的说明书上写着:“每日用量,分次服用”,一次服用这种药品的有效剂量不可以为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】本题考查的是不等式的定义,本题需注意应找到每天服用时4次每次的剂量;每天服用时3次每次的剂量,然后找到最大值与最小值即可.【详解】解:根据题意,由“每日用量,分次服用”,用(/次),(/次)得到一次服用这种药的剂量为:,则没在此范围内,故选:A.【题型3 不等式的解集】【例3】(23-24八年级·河北保定·期末)下列说法中,正确的是( )A.是不等式的解 B.是不等式的唯一解C.是不等式的解集 D.是不等式的一个解【答案】D【分析】本题考查了不等式,解集,唯一解,一个解的定义的知识,熟练掌握以上知识是解题的关键.所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集,(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解,所有解的全体称为解集,解集中的一个数称为不等式的一个解,当不等式的解有且只有一个时,则称它为这个不等式的唯一解,根据解集,唯一解,一个解的定义,以此判断四个选项即可选出正确答案.【详解】解:解不等式,可得.A.由于,故不是不等式的解,故选项错误;B.由于,故是不等式的一个解,但不是唯一解,故选项错误;C.由于,故不是不等式的一个解,但不是解集,故选项错误;D.由于,故不是不等式的一个解,故选项正确;故选D.【变式3-1】(23-24八年级·江苏泰州·期末)若是某不等式的一个解,则该不等式可以是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查了不等式的解,逐个判断各选项即可.【详解】解:A、中不包含,不符合题意;B、中不包含,不符合题意;C、中包含,符合题意;D、中不包含,不符合题意;故选:C.【变式3-2】(23-24八年级·广东揭阳·期中)请写出一个关于x的不等式,使,3都是它的解 .【答案】(答案不唯一)【分析】本题主要考查不等式的解集.由,3均小于4可得.【详解】解:由,3均小于3可得,所以符合条件的不等式可以是,故答案为:(答案不唯一).【变式3-3】(23-24八年级·湖南·期中)已知当时的最小值为,当时的最大值为,则 .【答案】【分析】本题主要考查了不等式的解,根据不等式的定义求出a、b的值,然后代值计算即可.【详解】解:∵当时的最小值为,当时的最大值为,∴,∴,故答案为:.知识点2:不等式的基本性质不等式的性质1:不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变.用式子表示:如果a>b,那么a±c>b±c .不等式的性质2:不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.用式子表示:如果a>b,c>0,那么ac>bc.不等式的性质3:不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.用式子表示:如果a>b,c<0,那么ac<bc.【题型4 根据不等式的基本性质判断不等式的正误】【例4】(23-24八年级·宁夏银川·期末)若,则下列不等式中一定成立的是( )A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查不等式的性质.不等式的基本性质:不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变;不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不变;不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变,由此即可得到答案.【详解】解:,,,.故选:B.【变式4-1】(16-17八年级·云南红河·阶段练习)若,则下列各式中错误的是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】本题主要考查了不等式的基本性质.不等式的基本性质:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变;不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.根据不等式的性质分析判断即可.【详解】解:A、在两边都乘上6可得,,故选项正确,此选项不符合题意;B、在两边都加上1可得,,故选项正确,此选项不符合题意;C、在两边都乘上可得,,故选项错误,此选项符合题意;D、根据不等式性质3可知,两边同乘以时,可得,两边都加上1可得,故选项正确,此选项不符合题意.故选:C.【变式4-2】(23-24八年级·重庆江津·期末)若,,则下列各式中正确的是( )A. B. C. D.【答案】D【分析】考查不等式的基本性质,熟练掌握不等式的3个基本性质是解题的关键.根据不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变;等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,可得答案.【详解】解:若,,A.,故A错误;B.,故B错误;C.,不能得出,故C错误;D.,故D正确;故选:D.【变式4-3】(23-24八年级·福建厦门·期末)如果,,那么下列不等式不成立的是( )A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查不等式的性质,掌握不等式的性质定理是解题的关键,注意不等式两边同时乘或除同一个负数,不等号的方向发生改变.本题根据不等式的两条性质即可得出答案.【详解】解:、根据“不等式的两边同时乘以同一个负数,不等号的方向发生改变”,可得,故原题正确,不符合题意;、根据“不等式的两边同时除以同一个正数,不等号的方向不发生改变”,可得,故原题正确,不符合题意;、根据“不等式的两边同时加上(或减去)同一个数,不等号的方向不发生改变”,可得,故原题正确,不符合题意;、与,无法判断大小,故原题错误,符合题意.故选:.【题型5 根据不等式的性质比较大小】【例5】(2024八年级·江苏·专题练习)比较大小:已知,则 .【答案】【分析】本题考查了不等式的性质,熟练掌握不等式的三个性质是关键.由不等式的性质:两边同时乘以得,两边同时加1得.【详解】解:,,.故答案为:.【变式5-1】(23-24八年级·陕西西安·期中)已知,请比较下列各式的大小,并说明理由.(1)与;(2)与.【答案】(1),见解析(2),见解析【分析】本题考查的是不等式的基本性质,熟知①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变;②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变是解题的关键.(1)根据不等式的基本性质解答即可.(2)根据不等式的基本性质解答即可.【详解】(1)解:∵,∴,∴;(2)∵,∴,∴.【变式5-2】(23-24秋·广东惠州·八年级校考阶段练习)若,则;若,则;若,则,这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小.(1)试比较代数式与的值之间的大小关系;(2)已知代数式与相等,试用等式的性质比较的大小关系.(3)已知,试用等式的性质比较的大小关系.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)把两个多项式作差比较大小即可;(2)等式两边同时减去即可得到,由此即可得到结论;(3)等式的性质两边同时乘以6可得,,由此可得结论.【详解】(1)解:∵不论为何值,都有∴(2)解:∵,∴等式两边同时减去,得,整理得,∴.(3)解:∵,根据等式的性质两边同时乘以6可得,整理得,即,∴,∴.【点睛】本题主要考查了等式的性质和不等式的性质,正确理解题意是解题的关键.【变式5-3】(23-24八年级·北京大兴·期末)比较与的大小,并说明理由.【答案】,理由见解析【分析】两个整式相减,用它们的差和零作比较即可做出判断.【详解】解:,理由如下:,,,,,,,.【点睛】本题考查了整式加减应用,不等式的性质,准确算出两个整式的差和零作比较是解答本题的关键.【题型6 不等式的性质与数轴的综合运用】【例6】(23-24八年级·山东威海·期末)实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论错误的是( )A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查了数轴、不等式的基本性质,熟练掌握数轴的定义是解题关键.先根据数轴的定义可得,且,再根据不等式的基本性质逐项判断即可得.【详解】解:由实数a,b,c在数轴上的对应点的位置可知,,且,A.,是成立的,因此选项A不符合题意;B.由于,而,所以,是成立的,因此选项B不符合题意;C.由于,则,而,则,所以是成立的,因此选项C不符合题意;D.由于,则,而,所以,因此选项D符合题意.故选:D.【变式6-1】(23-24·四川内江·中考真题)如图,数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b,则下列式子中成立的是( )A.1﹣2a>1﹣2b B.﹣a<﹣b C.a+b<0 D.|a|﹣|b|>0【答案】A【分析】根据数轴得出a<b,根据不等式的性质对四个选项依次分析即可得到答案.【详解】解:由题意得:a<b,∴﹣2a>﹣2b,∴1﹣2a>1﹣2b,∴A选项的结论成立;∵a<b,∴﹣a>﹣b,∴B选项的结论不成立;∵﹣2<a<﹣1,2<b<3,∴,∴,∴a+b>0,∴C选项的结论不成立;∵∴,∴D选项的结论不成立.故选:A.【点睛】本题考查数轴、不等式、绝对值的性质,解题的关键是熟练掌握数轴、不等式、绝对值的相关知识.【变式6-2】(13-14八年级·全国·课后作业)如图,数轴上A、B两点对应的实数分别为a,b,则下列结论不正确的是( )A.a+b>0 B.ab<0 C.a﹣b<0 D.|a|﹣|b|>0【答案】D【分析】根据数轴,列出a、b的取值范围,然后再进行不等式的计算.【详解】解:根据题意,得﹣1<a<0,1<b<2,A、0<a+b<2;不等式两边同时相加,不等式符号不变,故A正确,不符合题意;B、﹣2<ab<﹣1,不等式两边同时乘以负数,不等式符号改变,故B正确,不符合题意;C、∵﹣2<﹣b<﹣1,不等式两边同乘以负数,不等式符号改变,∴﹣3<a﹣b<﹣1<0,故C正确,不符合题意;D、由上式得0<|a|<1,1<|b|<2,∴|a|<|b|,即a|﹣|b|<0,故D错误,符合题意.故选D.【点睛】本题主要考查的是实数的绝对值的性质,解题关键是利用绝对值的几何意义和不等式的性质.【变式6-3】(23-24·浙江杭州·中考真题)已知数轴上的点分别表示数,其中,.若,数在数轴上用点表示,则点在数轴上的位置可能是( )A. B. C. D. 【答案】B【分析】先由,,,根据不等式性质得出,再分别判定即可.【详解】解:∵,,∴∵∴A、,故此选项不符合题意;B、,故此选项符合题意;C、,故此选项不符合题意;D、,故此选项不符合题意;故选:B.【点睛】本题考查用数轴上的点表示数,不等式性质,由,,得出是解题的关键.【题型7 根据不等式的解集求参数的取值范围】【例7】(23-24·河北保定·模拟预测)已知数轴上两点,表示的数分别为,1,那么关于的不等式的解集,下列说法正确的是( )A.若点在点左侧,则解集为B.若点在点右侧,则解集为C.若解集为,则点必在点左侧D.若解集为,则点必在点右侧【答案】C【分析】根据不等式的性质化简求值即可.【详解】关于的不等式化为,当时,解集为,此时点在原点左侧,故A,B,D选项错误,C选项正确,故选C.【点睛】此题考查了不等式性质,解题的关键是熟悉不等式的基本性质.【变式7-1】(23-24八年级·四川遂宁·期中)不等式的解集是那么( )A. B. C. D.【答案】A【分析】在不等式两边都除以后,不等号的方向改变了,可得到,从而可得答案.【详解】解: 的解集是,在不等式的两边都除以:,不等号的方向发生了改变,故选A.【点睛】本题考查的是不等式的基本性质以及解不等式,掌握以上知识是解题的关键.【变式7-2】(23-24春·福建泉州·八年级校考期末)若,且,则的取值范围是 .【答案】【分析】根据不等式的性质,两边同时乘一个负数不等号改变,求出a的取值范围.【详解】解:∵,且,∴,∴,故答案为:.【点睛】本题考查不等式的性质,解题的关键是掌握不等式的性质.【变式7-3】(23-24春·广西南宁·八年级统考期末)若关于x的不等式mx﹣x>1﹣m的解集是x<﹣1,则m的取值范围是( )A.m>1 B.m<1 C.m>﹣1 D.m<﹣1【答案】B【分析】根据不等式的性质可得,两边同除以一个负数,不等号方向发生改变,即可求得结果.【详解】解:将不等式化为,∵不等号两边同时除以得到,∴,解得,故选:B.【点睛】本题考查了不等式的解集,熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.【题型8 根据不等式的性质求代数式的取值范围】【例8】(23-24八年级·四川德阳·期末)若,且,设,则t的取值范围为 .【答案】【分析】由条件可得,先求解b的取值范围,再把化为,再结合不等式的基本性质可得答案.【详解】解:∵,,∴,解得:而,,∵,,∴,∵,∴t的取值范围是:,故答案为:.【点睛】本题考查的是不等式的性质,方程思想的应用,求解及是解本题的关键.【变式8-1】(23-24八年级·安徽合肥·期中)若,且,,设,(1)用只含有的代数式表示,则 ;(2)t的取值范围为 .【答案】【分析】本题主要考查不等式的基本性质,二元一次方程中用一个未知数表示另一个未知数;(1)根据得到,代入计算即可;(2)根据,,把,代入得到,再确定t的取值范围.【详解】解:(1)∵,∴,.∴.故答案为:;(2)∵,,∴,.∴,.∴.∴,∵∴.故答案为:.【变式8-2】(23-24·安徽·模拟预测)若实数满足,令,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查了不等式的性质.熟练掌握不等式的性质是解题的关键.由题意知,则,,利用不等式的性质分别计算求解,然后作答即可.【详解】解:∵,∴,∴,,∴,故选:B.【变式8-3】(17-18八年级·安徽合肥·期末)已知y>1,x<﹣1,若x﹣y=m成立,求x+y的取值范围 (结果用含m的式子表示).【答案】m+2<x+y<﹣m﹣2【分析】由x-y=m得x=y+m,由x<-1得知y<-m-1,根据y>1得1<y<-m-1,同理得出m+1<x<-1,相加即可得出答案.【详解】由x﹣y=m得x=y+m,由x<﹣1得y+m<﹣1,y<﹣m﹣1,又∵y>1,∴1<y<﹣m﹣1,由x﹣y=m得y=x﹣m,由y>1得x﹣m>1,x>m+1,又∵x<﹣1,∴m+1<x<﹣1,∴m+2<x+y<﹣m﹣2,故答案为m+2<x+y<﹣m﹣2.【点睛】本题主要考查不等式的性质,应用不等式的性质应注意的问题:在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时,一定要改变不等号的方向;当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时,一定要对字母是否大于0进行分类讨论.【题型9 根据不等式的性质求最值】【例9】(23-24八年级·全国·专题练习)若,,,则的最小值为( )A.0 B.3 C.6 D.9【答案】C【分析】把问题转化为,利用不等式的性质解决最值问题.【详解】解:,,∴,,,即,∵,∴,即,时,的值最小,最小值为6.故选:C.【点睛】本题考查代入消元法、不等式的性质,灵活运用所学知识解决问题是解题的关键.【变式9-1】(23-24八年级·江苏南通·期末)已知实数,b满足,若,则m的最大值为( )A.9 B.7 C.5 D.【答案】B【分析】先根据题意用a表示出b,再代入,由即可得出结论.【详解】解:∵,∴,∴,∴,∵,∴当时,m有最大值,最大值为7.故选:B.【点睛】本题主要考查了解一元一次方程,解题的关键是把b当做一个已知数求解,用a表示b.【变式9-2】(2019·江苏镇江·二模)已知:6a=3b+12=2c,且b≥0,c≤9,则a﹣3b+c的最小值为 .【答案】6【分析】首先根据6a=3b+12=2c,分别用b表示出a、c;然后根据b≥0,c≤9,求出a﹣3b+c的最小值为多少即可.【详解】∵6a=3b+12=2c,∴a=0.5b+2,c=1.5b+6,∴a﹣3b+c=(0.5b+2)﹣3b+(1.5b+6)=﹣b+8∵b≥0,c≤9,∴3b+12≤18,∴b≤2,∴﹣b+8≥﹣2+8=6,∴a﹣3b+c的最小值是6.故答案为:6.【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质:(1)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;(2)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变;(3)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变.【变式9-3】(2024八年级·全国·竞赛)a,b,c,d都是整数,且,,,,则的最大值为( )A.447 B.455 C.471 D.479【答案】A【分析】主要考查了不等式的运用.根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解.根据,d都整数,就可以求出d的值,进而就可以得到a,b,c的值.【详解】解:∵a,b,c,d都是整数,且,,,,∴,∴,∴,,∴,,∴,即最大是447.故选:A.【题型10 利用不等式的性质进行证明】【例10】(23-24八年级·福建福州·期末)已知都是实数,若.求证:.【答案】见解析【分析】利用,消去,得到,然后利用不等式的性质变形即可求解.【详解】证明:【点睛】本题考查了不等式的性质,熟练掌握不等式的性质是解题的关键.【变式10-1】(2024·江苏扬州·八年级期末)阅读感悟:代数证明题是数学中常见的一种题型,它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性,如下例题:例:已知实数x、y满足,证明:.证明:因为且x,y均为正,所以______,______.(不等式的两边都乘以同一个正数,不等号的方向不变)所以.(不等式的传递性)解决问题:(1)请将上面的证明过程填写完整.(2)尝试证明:若,则.【答案】(1)(2)见解析【分析】本题考查不等式的性质,关键是掌握不等式的性质.(1)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,由此即可证明问题;(2)不等式的两边同时加上同一个数b得,不等式的两边同时除以同一个正数2,由此即可证明问题.【详解】(1)证明:因为且,均为正,所以,.(不等式的两边都乘以同一个正数,不等号的方向不变),所以(不等式的传递性),故答案为:,;(2)证明:,,.【变式10-2】(23-24八年级·全国·专题练习)已知实数a,b,c满足:.求证:(1);(2)【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据等式的性质可得,由可得,再代入解答即可;(2)由,,由不等式的性质可得,再根据可得,所以,再由,结合不等式的性质解答即可.【详解】(1)证明:∵,∴,又∵,∴即,∴;(2)证明:∵,,∴,又∵,∴,∴,又∵,∴.【点睛】本题主要考查不等式的性质:(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变;(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.【变式10-3】(23-24八年级·全国·期中)阅读下列材料,解决问题:【问题背景】小明在学习完不等式的性质之后,思考:“如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢?”在老师的启发下,小明首先把问题转化为以下的形式:①已知:,.求证:.②已知:,.求证:.【问题探究】(1)针对①小明给出如下推理过程,请认真阅读,并填写依据:,即是一个负数,的相反数是正数,即,,(依据:______),即,不等式的两端同时加可得:(依据:______),合并同类项可得:,即:得证.(2)参考(1)的结论或证明方法,完成②的证明.【答案】(1)不等式的基本性质:不等式的两边同时乘以一个正数,不等号方向不变;不等式的基本性质:不等式的两边同时加上同一个整式,不等号方向不变(2)见解析【分析】(1)根据不等式的基本性质进行分析即可;(2)仿照(1)的方法进行求解即可.【详解】(1)解:,即是一个负数,的相反数是正数,即,,(依据:不等式的基本性质:不等式的两边同时乘以一个正数,不等号方向不变),即,不等式的两端同时加可得:(依据:不等式的基本性质:不等式的两边同时加上同一个整式,不等号方向不变),合并同类项可得:,即:得证.故答案为:不等式的基本性质:不等式的两边同时乘以一个正数,不等号方向不变;不等式的基本性质:不等式的两边同时加上同一个整式,不等号方向不变;(2)解:,即是一个负数,的相反数是正数,即,,(依据:不等式的基本性质:不等式的两边同时除以一个正数,不等号方向不变),即,不等式的两端同时加可得:(依据:不等式的基本性质:不等式的两边同时加上同一个数,不等号方向不变),合并同类项,得,即:,得证.【点睛】本题主要考查不等式的基本性质,解答的关键是熟记不等式的基本性质.121世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 专题2.1 不等式的基本性质【十大题型】(举一反三)(北师大版)(原卷版)2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列(北师大版).docx 专题2.1 不等式的基本性质【十大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列(北师大版).docx