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第2章 一元一次不等式和一元一次不等式组压轴题综合测试卷
【北师大版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解二元一次方程组可得，根据x，y均大于0，进而可得：，然后根据，，可得，从而可得，即，进而可得，最后进行计算即可解答．
【详解】解：，
解得：，
，，
，
解得：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2．（3分）（24-25八年级·河南洛阳·阶段练习）若不等式组无解，则不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】C
【分析】根据不等式组无解，得出a＞b，进一步得出3-a＜3-b，即可求出不等式组的解集．
【详解】解：∵不等式组无解，
∴a＞b，
∴-a＜-b，
∴3-a＜3-b，
∴不等式组的解集是．
故选：C
【点睛】本题考查了求不等式组的方法，可以借助口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”求解集．解题的关键是根据已知得到a＞b，进而得出3-a＜3-b．
3．（3分）（24-25八年级·安徽六安·期中）定义为不超过的最大整数，如，对于任意实数，下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C．（为整数） D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了新定义运算、实数比较大小、一元一次不等式的应用，理解新定义是解题的关键．根据新定义为不超过的最大整数，逐项分析判断即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，故选项A错误，不符合题意；
例如，，，
∵，
∴，
∴不成立，选项B错误，不符合题；
例如，，，
∴，
∴（为整数）不成立，选项C错误，不符合题；
∵为不超过的最大整数，
∴，选项D正确，符合题意．
故选：D．
4．（3分）（24-25八年级·陕西榆林·阶段练习）已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】解不等式组得出关于的范围，根据不等式组有4个整数解得出的范围，继而可得整数的取值．
【详解】解：由不等式，解得，
由不等式，解得，
不等式组有且只有4个整数解，
，
解得：；
所以满足条件的整数的值有、、共3个，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解，熟练掌握解不等式组的能力，并根据题意得到关于的范围是解题的关键．
5．（3分）（24-25八年级·山东济宁·期末）非负数x，y满足，记，W的最大值为m，最小值n，则（ ）
A．6 B．7 C．14 D．21
【答案】D
【分析】设 ，用t表示出x、y的值，再由x，y为非负数即可求出t的取值范围，把所求代数式用t的形式表示出来，根据t的取值范围即可求解．
【详解】解：设 ，
则x=2t+1，y=2-3t，
∵x≥0，y≥0，
∴2t+1≥0，2-3t≥0，
解得
∴
∵w=3x+4y，把x=2t+1，y=2-3t，代入得：w=-6t+11，
∴
解得，7≤w≤14，
∴w的最大值是14，最小值是7，
∴m+n=14+7=21．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，通过设参数的方法求出W的取值范围是解答此题的关键．
6．（3分）（24-25八年级·江苏苏州·期中）已知的解集为，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令1－x=y，则，根据题干可知：，从而得出x的取值范围．
【详解】令1－x=y，则
∵的解集为
∴的解集为：
∴
解得：
故选：D．
【点睛】本题考查解不等式，解题关键是通过换元法，将1-x表示为y的形式．
7．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期中）如果关于x的不等式组的整数解仅有7，8，9，设整数a与整数b的和为M，则M的值的个数为（　　）
A．3个 B．9个 C．7个 D．5个
【答案】D
【分析】先求出不等式组的解集，再得出关于a、b的不等式组，求出a、b的值，即可得出选项．
【详解】
∵解不等式①得：x＞，
解不等式②得：x≤，
∴不等式组的解集为，
∵x的不等式组的整数解仅有7，8，9，
∴6≤＜7，9≤＜10，
解得：15≤a＜17.5，21≤b＜23，
∴a=15或16或17，b=21或22或23，
∴M=a+b=36、37、38、39或40，共5种情况.
故选D
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能求出a、b的值，难度适中．
8．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期末）若关于x的方程有三个整数解，则的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据绝对值的性质可得然后讨论及的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出的值．
【详解】解：①若
当时，解得：，；
当时，解得：；；
②若
当时，解得：，；
当时，解得：，；
又方程有三个整数解，
可得：或，根据绝对值的非负性可得：．
即只能取．
故选：B．
【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，掌握绝对值的性质及不等式的解集的求法是关键．
9．（3分）（24-25八年级·四川绵阳·期末）已知，且，则（ ）
A． B． C．24 D．48
【答案】B
【分析】由可得，而根据，可得，，由此确定a、b、c的取值，进而求解．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，，，
∴．
故选B．
【点睛】本题综合考查了不等式性质和代数式求值；解题关键是根据a、b、c的取值范围求出a、b、c的值．
10．（3分）（24-25八年级·福建南平·期末）在平面直角坐标系中，点，点，点，且在的右侧，连接，，若在，，所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为，那么的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“点，点，点，且在的右侧，连接，，若在，，所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为”，得出除了点外，其它个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界上，即线段上，从而求出的取值范围．
【详解】解：∵点在点的右侧，
∴，
解得：，
记边，，所围成的区域（含边界）为区域，则落在区域的横纵坐标都为整数的点个数为个，
∵点，，的坐标分别是，，，
∴区域的内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点，
∴已知的个横纵坐标都为整数的点都在区域M的边界上，
∵点的横纵坐标都为整数且在区域的边界上，
∴其他的个都在线段上，如图，
∴，
解得：，
综上所述，的取值范围为．
故选：B．

【点睛】本题考查坐标与图形的性质，一元一次不等式组的应用，分析题目找出横纵坐标为整数的个点存在于线段AB上是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·江苏南通·期末）已知关于x，y的方程组的解为非负数，,，且，则z的取值范围是 ．
【答案】
【分析】解方程组求出，根据解的情况得到；再根据和得到，再由变形得，得到，解题即可．
【详解】解：解关于x，y的方程组，得，
由题意，得，
则；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，不等式的解法，综合性较强，能用m表示其他未知量并解关于m的不等式组是解题的关键．
12．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）我们称形如(其中为整数)的不等式组为“互倒不等式组”，若互倒不等式组(其中为整数)有且仅有1，2两个正整数解，则 ．
【答案】
【分析】首先必须是异号的，否则不等式组必定有无数个正整数解或者没有正整数解，从而推出，继而推导，从而推出
【详解】解：，，
若，则原不等式可化为，
∴若，则原不等式组无解，若，则解得，均不合题意；
若，则任意正整数都满足，不合题意；
若，则任意正整数都不满足，不合题意；
∴，必须是异号的．
∵是整数，
∴能被整除，
故，
∴，
∵，异号，
∴，(当且仅当，时取等号)
∴若，由①得：；由②得：，
由可知，此时无解；
∴只能是， 此时由①得：；由②得：
∴不等式组的解集是：，
∵互倒不等式组(其中为整数)有且仅有1，2两个正整数解，
∴，
又∵为整数，
∴，
∴，
此时代入得，符合题意，
故答案是：．
【点睛】本题考查求不等式组的解集，根据不等式组的解的情况，求式子的值，推导出是解题的关键．
13．（3分）（24-25八年级·河北保定·期末）定义新运算“△”：对于任意实数a，b都有．
（1）若的值不大于3，则x的取值范围是 ；
（2）若的值大于3且小于9，则m的整数值是 ．
【答案】 -1
【分析】（1）先根据题意列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可；
（2）先根据题意列出关于m的不等组，求出m的取值范围，再取整数值即可．
【详解】解∶（1）∵对于任意实数a，b都有，
∴3△x=3x-3-x+2=2x-1，
∵的值不大于3，
∴，
解得；
（2）∵对于任意实数a，b都有，
∴，
∵的值大于3且小于9，
，
由①得，，由②得，
∴，
∵m为整数，
∴m=-1．
故答案为： ；-1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式及不等式组，熟知解不等式组时，“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
14．（3分）（24-25八年级·江苏泰州·期末）若，且，，设，则t的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由条件可得先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案．
【详解】解： ，，
∴
解得： 而，
∵，
∴
∴t的取值范围是：
故答案为：
【点睛】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键．
15．（3分）（24-25八年级·浙江丽水·期末）已知一次函数．
（1）当时，则 ；
（2）当时，自变量的负整数值恰好有2个，则的取值范围为 ．
【答案】 1 或
【分析】此题考查了一次函数的性质、一元一次不等式组等知识，分情况讨论是关键．
（1）将代入解答即可；
（2）分两种情况结合不等式组的解集分别进行解答即可．
【详解】（1）当时，，
∴，
则，
∵，
∴，
解得，
故答案为：1
（2）①当时，随着的增大而增大，
∴当时，可得，
解得，
∵自变量的负整数值恰好有2个，
∴负整数值只能是，
则
解得，
②当时，随着的增大而减小，
∴当时，可得，
解得，
∵自变量的负整数值恰好有2个，
∴负整数值只能是，
则
解得，
综上可知，的取值范围为或
故答案为：或
16．（3分）（24-25八年级·福建泉州·期中）已知，同时满足，，若，，且x只能取两个整数，则a的取值范围是 ．
【答案】/3≥a＞2
【分析】设两个整数为n，n+1，利用a这个量交叉传递，得到n的值，从而求解．
【详解】解：由①与②进行如下运算：
①×3+②得到：4x+4y＝12，
∴x+y＝3，
∴，
∵，，
∴，
故，
∵x只能取两个整数，
故令整数的值为n，n+1，
则，，
故，
∴，且，
∴，
∴，
∴
∴
【点睛】本题考查二元一次方程组，不等式组的解集，能够熟练地进行等量代换是解决本题的关键．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·山西吕梁·期末）已知关于的不等式组．
(1)当时，求该不等式组的解集．
(2)若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和．
(3)在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）把代入不等式组，解不等式组即可求解；
（）求出不等式组的解集，根据不等式组解集的情况求出的取值范围，得到的整数解，相加即可求出的值；
（）求出方程组的解，把方程组的解和的值代入不等式，解不等式即可求解；
本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，解二元一次方程组，掌握解一元一次不等式组和二元一次方程组是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，不等式组为，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为；
（2）解：，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且只有个整数解，
∴，
即，
解得，
∴的整数解为，，，
∴；
（3）解：，
方程组化简得，，
得，，
解得，
把代入得，，
∴，
∴方程组的解为，
把，代入不等式得，，
解得．
18．（6分）（24-25八年级·广东深圳·期末）若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含．
(1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：，
①的解集中点值为 ．
②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含．
(2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围．
(3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围．
【答案】(1)①； ②是
(2)
(3)
【分析】（）①求出不等式组的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组的解集判断即可求解；
（）求出不等式组和的解集，进而得到，据此即可求解；
（）求出不等式组和的解集，进而可得，再根据所有符合要求的整数之积为，可得，即得到，据此即可求解；
本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键．
【详解】（1）解：①解不等式组得，，
∴不等式组的解集中点值为，
故答案为：；
②∵不等式组：，不等式组的解集中点值为，
∴不等式组对于不等式组是中点包含，
故答案为：是；
（2）解：解不等式组得，，
∴不等式组的解集中点值为
解不等式组得，，
∵不等式组对于不等式组中点包含，
∴
解得；
（3）解：解不等式组得，，
∴不等式组的解集中点值为，
解不等式组得，，
∵不等式组对于不等式组中点包含，
∴，
解得，
∵所有符合要求的整数之积为，
∴可取或可取，
∴或，
即．
19．（8分）（24-25八年级·广东韶关·期末）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元．
(1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元
(2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案 哪种方案能使每小时的分拣量最大
【答案】(1)甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元
(2)有购买甲型机器人台，乙型机器人台；购买甲型机器人台，乙型机器人台，这两种购买方案．方案二能使每小时的分拣量最大
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出式子．
（1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据“购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论．
（2）设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台，根据题意，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，故有两种购买方案，购买甲型机器人台，乙型机器人台；购买甲型机器人台，乙型机器人台．设台机器人每小时的分拣量为，则．得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，
依题意，得，
解得，
答：甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元．
（2）解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台．
依题意，得，
解得．
故整数可以为和，可以为和，
故有两种购买方案，方案一，购买甲型机器人台，乙型机器人台；
方案二，购买甲型机器人台，乙型机器人台．
设台机器人每小时的分拣量为，则．
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，此时，
∴方案二：购买甲型机器人台，乙型机器人台时，才能使每小时的分拣量最大．
20．（8分）（24-25八年级·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题：
(1)不等式组的“长度”______；“整点”为______；
(2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围；
(3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；，
(2)
(3)存在，
【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键．
（1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案；
（2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案；
（3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案．
【详解】（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴，整点为，
故答案为：；，；
（2）解：
解不等式得：，
当时，即时，，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
当时，即时，，
∵，，，
∴，
解得，,
∴
当时，方程组解为：，
满足题意，
综上所述：的取值范围．
（3）解：存在，理由如下：
当时，不等式的解集为，
∴，不符合，
当时，不等式的解集为，
∵，
∴，
解得：，
当时，不等式的解集为，
∴，
解得：，
当，不等式的解集为，
∴，
解得：，当时，，不符合，
当或，方程组无解，
综上所述：，
∴为，
解不等式组得：，
∵关于y的不等式组恰有4个“整点”，
∴，
解得：．
21．（10分）（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）探究学习：
探究问题：已知，且，，试确定的取值范围．
解：∵，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴
∴，
即，
得，
∴的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题探究：
(1)已知，且，，
试确定的取值范围；
试确定的取值范围；
(2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值．
【答案】(1) ； ；
(2)．
【分析】（）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可求得的取值；
由得，进而求得，即，即可求得的取值范围；
（）根据题意求得，，然后利用不等式的性质求解的取值范围，从而得到关于，的方程组求解；
本题考查了一元一次不等式的性质和解二元一次方程组，仔细阅读材料，理解解题过程是解题的关键．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由得，
∴，
即，
∴，
∴的取值范围是；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的取值范围是，
∴，
解得：．
22．（10分）（24-25八年级·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两个点之间的距离的最小值称为点，，的“近距”，如：点，，的“近距”是3．
(1)已知点，，．
①若点，，的“近距”是4，则的值为 ；
②点，，的“近距”的最大值为 ；
(2)已知点，，点为线段上一动点，当点，，的“近距”最大时，求此时点的坐标．
【答案】(1)①或6；②8
(2)
【分析】（1）①根据坐标的特点．判定轴，轴，根据斜边大于直角边，判定，，，列出等式计算即可．②根据坐标的特点．判定轴，轴，根据斜边大于直角边，判定，，，再讨论即可得解．
（2）法一：过点作交于于，根据，求出 ，当时，，重合，则近距为0；当时，则，．得出此时近距为．当点与点重合时，即时，近距最大值为2； 当时，则，即，推出此时近距的最大值小于2．即可得出． 法二：连接，根据得出 ，根据题意得出，则，，然后进行分类讨论：①当时，②当时，即可解答．
【详解】（1）解：①∵，，，
∴轴，轴，，，
∵斜边大于直角边，
∴，
∵点，，的“近距”是4，
∴，
∴或，
解得或，
故答案为：或6．
②∵，，，，
∴轴，轴，，，
∵斜边大于直角边，
∴，
当点A，B，C的“近距”为时，点A，B，C的“近距”为8，且
当点A，B，C的“近距”为时，点A，B，C的“近距”为，且，
综上：点A，B，C的“近距”的最大值为8．
故答案为：8．
（2）解：法一：过点作交于于
∵
∴
∴
∴
当时，，重合，则近距为0；
当时，则，．
∴，此时近距为．
当点与点重合时，即时，近距最大值为2；
当时，则，即
①若，则近距为；
②若，则近距为；
③若，则近距为；
∴此时近距的最大值小于2．
综上：近距最大值为2，此时．
法二：连接，
∵
∴
∴
∴
∵点为线段上一动点，
∴
∵，
∴①当时，
若时，近距为
则，得
∵
∴此时不合题意舍去；
若时，近距为，
则，得
又∵
∴
此时近距的最大值为2
②当时，
若时，近距为
则，得
又∵
∴
则近距的最大值为
若时，近距为
，得
又∵
∴
则近距小于
∴当时，近距的最大值为
综上：近距的最大值为2，此时，，即．
【点睛】本题考查了新定义，直角三角形的性质，平面直角坐标系，熟练掌握题目所给新定义是解题的关键．
23．（12分）（24-25八年级·吉林长春·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板．
(1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张．
(2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？
(3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求的最大值．
(4)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出若干张型长方形纸板和型正方形纸板．若要用20张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒 个．
【答案】(1)3，4
(2)制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个
(3)12
(4)27
【分析】本题考查二元一次方程和不等式的应用，找准数量关系，列等式或不等式解题即可；
（1）根据无盖纸盒的图示可以得到结果；
（2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据所需纸板的数量列方程组解题即可；
（3）根据题意得到所需纸板的数量，然后根据大纸板的数量不超过18张列不等式计算最大整数接即可；
（4）设可以制作横式纸盒个，根据横式纸盒所需的型长方形和型正方形纸板的数量计算出所需大纸板的数量，根据题意列不等式，求最大值即可．
【详解】（1）由题意可得，
1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型，
故答案为：3，4；
（2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得，
，解得，
答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个；
（3）解：根据题意，得．
解得．
为非负整数，
的最大值为12；
（4）设可以制作横式纸盒个．
个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，
需要张型和张型，
，解得，
在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒27个．
故答案为：27．
24．（12分）（24-25八年级·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点为射线上一点，横坐标为．点为平面内一动点，当点不在直线上时，以为边向右作正方形．

(1)直接写出直线的函数关系式为__________．
(2)当时，求线段的长．
(3)求正方形的周长（用含的代数式表示）．
(4)当时，若正方形相邻两边与线段只有两个交点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)6
(3)或；
(4)或
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）把代入求出P、Q的坐标，再求出的长即可；
（3）分两种情况讨论，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可；
（4）求出直线的解析式为，求出直线与直线的交点坐标为，直线与直线的交点为，分两种情况：当时，当时，分别画出图形，列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为；
故答案为：；
（2）解：∵点为射线上一点，横坐标为，
∴点P的坐标为：，
当时，点P的坐标为，
此时点Q的坐标为，
∴；
（3）解：点P的坐标为，点Q的坐标为：，
把代入得：，
解得：，
当时，如图所示：

此时正方形的边长为：，
∴正方形的周长为；
当时，如图所示：

此时正方形的边长为：，
∴正方形的周长为；
故答案为：或；
（4）解：设直线的解析式为，把代入得：
，
即，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
直线与直线的交点坐标为
把代入得：
，
解得：，
∴直线与直线的交点为，
当时，如图所示：

要使正方形相邻两边与线段只有两个交点，则：
，
解得：；
当时，如图所示：

要使正方形相邻两边与线段只有两个交点，则：
，
解得：；
综上分析可知，使正方形相邻两边与线段只有两个交点时，或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，不等式组的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
1第2章 一元一次不等式和一元一次不等式组压轴题综合测试卷
【北师大版】
考试时间：120分钟；满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（24-25八年级·河南洛阳·阶段练习）若不等式组无解，则不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
3．（3分）（24-25八年级·安徽六安·期中）定义为不超过的最大整数，如，对于任意实数，下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C．（为整数） D．
4．（3分）（24-25八年级·陕西榆林·阶段练习）已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（3分）（24-25八年级·山东济宁·期末）非负数x，y满足，记，W的最大值为m，最小值n，则（ ）
A．6 B．7 C．14 D．21
6．（3分）（24-25八年级·江苏苏州·期中）已知的解集为，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期中）如果关于x的不等式组的整数解仅有7，8，9，设整数a与整数b的和为M，则M的值的个数为（　　）
A．3个 B．9个 C．7个 D．5个
8．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期末）若关于x的方程有三个整数解，则的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（3分）（24-25八年级·四川绵阳·期末）已知，且，则（ ）
A． B． C．24 D．48
10．（3分）（24-25八年级·福建南平·期末）在平面直角坐标系中，点，点，点，且在的右侧，连接，，若在，，所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为，那么的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·江苏南通·期末）已知关于x，y的方程组的解为非负数，,，且，则z的取值范围是 ．
12．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）我们称形如(其中为整数)的不等式组为“互倒不等式组”，若互倒不等式组(其中为整数)有且仅有1，2两个正整数解，则 ．
13．（3分）（24-25八年级·河北保定·期末）定义新运算“△”：对于任意实数a，b都有．
（1）若的值不大于3，则x的取值范围是 ；
（2）若的值大于3且小于9，则m的整数值是 ．
14．（3分）（24-25八年级·江苏泰州·期末）若，且，，设，则t的取值范围为 ．
15．（3分）（24-25八年级·浙江丽水·期末）已知一次函数．
（1）当时，则 ；
（2）当时，自变量的负整数值恰好有2个，则的取值范围为 ．
16．（3分）（24-25八年级·福建泉州·期中）已知，同时满足，，若，，且x只能取两个整数，则a的取值范围是 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·山西吕梁·期末）已知关于的不等式组．
(1)当时，求该不等式组的解集．
(2)若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和．
(3)在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围．
18．（6分）（24-25八年级·广东深圳·期末）若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含．
(1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：，
①的解集中点值为 ．
②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含．
(2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围．
(3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围．
19．（8分）（24-25八年级·广东韶关·期末）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元．
(1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元
(2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案 哪种方案能使每小时的分拣量最大
20．（8分）（24-25八年级·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题：
(1)不等式组的“长度”______；“整点”为______；
(2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围；
(3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．（10分）（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）探究学习：
探究问题：已知，且，，试确定的取值范围．
解：∵，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴
∴，
即，
得，
∴的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题探究：
(1)已知，且，，
试确定的取值范围；
试确定的取值范围；
(2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值．
22．（10分）（24-25八年级·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两个点之间的距离的最小值称为点，，的“近距”，如：点，，的“近距”是3．
(1)已知点，，．
①若点，，的“近距”是4，则的值为 ；
②点，，的“近距”的最大值为 ；
(2)已知点，，点为线段上一动点，当点，，的“近距”最大时，求此时点的坐标．
23．（12分）（24-25八年级·吉林长春·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板．
(1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张．
(2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？
(3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求的最大值．
(4)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出若干张型长方形纸板和型正方形纸板．若要用20张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒 个．
24．（12分）（24-25八年级·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点为射线上一点，横坐标为．点为平面内一动点，当点不在直线上时，以为边向右作正方形．

(1)直接写出直线的函数关系式为__________．
(2)当时，求线段的长．
(3)求正方形的周长（用含的代数式表示）．
(4)当时，若正方形相邻两边与线段只有两个交点，直接写出的取值范围．
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