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第7章 相交线与平行线
1.同位角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁，具有这种位置关系的两个角叫同位角.如图，同位角类似于字母“F”.
2.内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，且分别在第三条直线的两旁，具有这种位置关系的两个角叫内错角.如图2，内错角类似于字母“Z”.
3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，且在第三条直线的同旁，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角.如图3，同旁内角类似于字母“U”.
例1 （1）2条平行线被第三条直线所截，有几对同位角？几对内错角？几对同旁内角？
（2）3条平行线被另一条直线所截，有几对同位角？几对内错角？几对同旁内角？
当n条互相平行的直线被另外一条直线所截时，有几对同位角？几对内错角？几对同旁内角？
第（1）问可通过作图直接得出；对于第（2）问，将3条平行线转化成三组2条平行线，再结合第（1）问的结论得到答案；对于第（3）问，将n条互相平行的直线转化为组2条平行线，再结合第（1）小问的结论得到答案.
解析 （1）通过作图可知，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.
将3条平行线转化成三组2条平行线，每一组都有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，故3条平行线被另一条直线所截，有12对同位角，6对内错角，6对同旁内角.
同（2）可知，将n条互相平行的直线转化为组2条平行线，每一组都有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，故共有对同位角，对内错角，对同旁内角.
对于同位角、内错角和同旁内角的计数问题，要牢记基础口诀，即“一看三线，二找截线，三查位置来分辨”，也可通过字母形状辅助解题，例如，同位角呈“F”型，内错角呈“Z”型，同旁内角呈“U”型，当然，也可像例1的解题过程，现在找到“基础图形”中的数量，再通过转化找到规律，解决问题.
1．将复杂的平面图形分解成若干个基本图形是解决疑难问题的法宝．在学习几何的过程中，多总结、归纳几何基本图形，一定会得到意想不到的收获数学大师罗增儒在著作数学解题学引论中也专门阐述了把复杂的数学问题分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．

(1)在相交线与平行线这章中，有一个基本图形：三线八角（如图1），图中，有______对同位角，______对同旁内角，______对内错角；
(2)如图，平面内三条直线两两相交，图中，有______对同位角，______对同旁内角， ______对内错角；
(3)如图，平行直线、与相交直线、相交，则图中同旁内角共有______对；
(4)如图，，，则图中与相等的角（不含）有______个．
2．如图，直线交于点G，交于点M．
(1)图中有多少对对顶角？
(2)图中有多少对邻补角？
(3)图中有多少对同位角？
(4)图中有多少对同旁内角？
(5)写出图中的内错角．
3．如图所示，与相交于点A，与相交于点B，与相交于点C．
(1)指出，被所截形成的同位角、内错角；
(2)指出，被所截形成的内错角、同旁内角；
(3)指出，被所截形成的内错角、同旁内角．
当两条平行线间有转折角时，通常在拐点处作平行线即可.此外，当拐点在两条平行线外时，也可以通过在拐点处作平行线解决问题.
例2 如图，已知，则角α的度数是 .
AB和CD间有3个拐点，故可过拐点分别作AB的平行线，利用“两直线平行，内错角相等”来推导角度之间的关系，再利用“两直线平行，同旁内角互补”，得到答案.
解析 如图，记3个拐点分别为E、F、G，过E、F、G分别作AB的平行线a、b、c.
由对顶角相等，得∠AOB=120°，
∵AB∥HI，∴∠AOE+∠OEH=180°，∴∠OEH=60°.
由两直线平行，内错角相等，得∠HEF=∠EFK，∠KFG=∠FGM，∠MGQ=∠GQD，
再结合已知条件，可知∠HEF=12°，
∴α=∠OEH+∠HEF=72°.
故答案为72°.
当题目中包含“平行线”“拐点”“求角度”等关键元素时，可过拐点作平行线，利用平行线的性质解决问题，由此衍生出的几何模型有“猪蹄模型”“铅笔模型”“靴子模型”等.
4．如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+ +∠n＝　 　．
5．如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．
(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；
(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．
6．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．
求证：
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；
(2)如图，， BE平分， CF平分，，求．
如图，已知，根据平行线间的距离处处相等，可知.
在上图的基础上，记EN与MF的交点为O，FN与MG的交点为P，EN与MG的交点为Q，如图，由此可得，.
例3 （1）已知正方形ABCD、正方形BEFG、正方形RKPF的位置如图1，且点G在线段DK上，已知正方形BEFG的边长为5，求△DEK的面积；
（2）如图2，在长方形ABCD中，已知△ABP的面积为4，△CDQ的面积为9，求阴影四边形的面积.
（1）直接求面积显然不可能，通过观察图形可知，三个正方形的对角线互相平行，故作三条平行的对角线，将问题转化为平行线间的面积问题，而且，需要将△DEK进行拆分，分别求面积后再求和.
（2）由已知可得，AD∥BC，连接EF，易得面积相等的图形，进而求和即可.
解析 （1）如图，连接BD、EG、FK，易知BD∥EG∥FK，
则
∵，∴.
（2）连接EF（图略），由长方形的性质可知，AD∥BC，
∴，
∴阴影部分面积为13.
当题目中出现或隐含平行线，且已知条件或所求与图形面积有关时，往往利用“平行线间的距离处处相等”这一几何原理进行推导与求解，应用此方法时，要看准相同的底是哪条线段，以免出错.
7．如图，的面积为10，点D，E，F分别在边，，上，，，的面积与四边形的面积相等，则的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，，点A、E在直线上，点B，C，D在直线上，如果，是边上的中线，的面积为30，那么的面积是 ．
9．如图，在中，，分别是，边上的点，与交于点，与交于点，若四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为 ．
针对训练
10．两条平行直线被第三条直线所截时关于产生的八个角，有如下说法：①一组同位角的角平分线互相平行；②一组内错角的角平分线互相平行；③一组同旁内角的角平分线互相垂直．其中说法正确的个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
11．如图，同位角共有（　　）对．
A．6 B．5 C．8 D．7
12．如图，下列判断中正确的个数是（　　）
（1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，点为长方形边上的一点，连接，，与分别交于点和点，四边形的面积为，的面积为，的面积为，图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
15．如图，四边形和均为平行四边形，边，相交于点P，边，在同一直线上，当点P从点C出发向点D运动时（点P不与点C，D重合），则的面积与的面积差的变化情况是（　　）

A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．一直变小 D．一直不变
16．如图，直线与直线分别相交，图中的同位角共有 对．
17．如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；

（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）；
（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）；
（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）．
18．如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下：
路径1：→内错角→同旁内角；
路径2：→同旁内角→内错角→同位角→同旁内角→同旁内角．
…
(1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径；
(2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径．
19．（1）指出下列各图中的与是同位角、内错角还是同旁内角．
①　　 ②　　 ③　　 ④　　
（2）请你归纳：辨认同位角、内错角、同旁内角的方法可以是什么？
20．（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有_____对，同旁内角有_____对；
（2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有___对，同旁内角有___对；
（3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有______对，内错角有_______对，同旁内角有　　对．（用含n的式子表示）
21．【概念认识】
两条直线相交所形成的锐角或直角称为这两条直线的夹角，如果两条直线的夹角为α，那么我们称这两条直线是“α相交线”例如；如图①，直线m和直线n为“α相交线”我们已经知道两条平行线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，那么若两条直线为“α相交线”，它们被第三条直线所截后形成的同位角、内错角、同旁内角之间有什么关系呢？
【初步研究】
（1）如图②，直线m与直线n是“α相交线”，求证：
小明的证法 如图③．若直线m与直线n交于点O， 直线m与直线n是“α相交线”． ∵． ∴是的外角， ∴　　． 即．
请补充完整小明的证明过程，并用另一种不同的方法进行证明
【深入思考】
（2）如图④，直线m与直线n是α相交线，
①找出直线m与直线n被直线l所截得的内错角，并直接写出内错角与α的关系；
②找出直线m与直线n被直线l所截得的同旁内角，并直接写出每对同旁内角与α的关系；
【综合运用】
（3）如图⑤，已知∠α，用直尺和圆规按下列要求作图，
如图⑥，直线外求作一点M，使得直线与直线是“α相交线”（不写作图过程，保留作图痕迹）．
22．如图，，点在直线上，点在直线和之间，，平分．
（1）求的度数（用含的式子表示）；
（2）过点作交的延长线于点，作的平分线交于点，请在备用图中补全图形，猜想与的位置关系，并证明；
（3）将（2）中的“作的平分线交于点”改为“作射线将分为两个部分，交于点”，其余条件不变，连接，若恰好平分，请直接写出__________（用含的式子表示）．
23．已知直线，P为平面内一点，连接．
(1)如图1，已知，求的度数；
(2)如图2，判断之间的数量关系为 　　．
(3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数．
24．问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．

经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，．
(1)当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由．
(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系．
(3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ．
25．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　 ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　 ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
26．如图1，点、分别在直线、上，，.
（1）求证：；（提示：可延长交于点进行证明）
（2）如图2，平分，平分，若，求与之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，如图3，平分，点在射线上，，若，直接写出的度数．
27．已知直线，点A，C分别在，上，点B在直线，之间，且．
（1）如图①，求证：．
阅读并将下列推理过程补齐完整：
过点B作，因为，
所以__________（ ）
所以，（ ）
所以．
（2）如图②，点D，E在直线上，且，BE平分．
求证：；
（3）在（2）的条件下，如果的平分线BF与直线平行，试确定与之间的数量关系，并说明理由．
28．已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．
（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是　　；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是　　；
所以∠C＝（　　），
所以∠APC＝（　　）+（　　）＝∠A+∠C＝97°．
（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：
①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．
29．如图1，直线ABCD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF．
（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）
（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理由，请直接写出答案）
（3）如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1= （用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y的式子表示）
30．如图1，由线段组成的图形像英文字母，称为“形”．
（1）如图1，形中，若，则______；
（2）如图2，连接形中两点，若，试探求与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，且的延长线与的延长线有交点，当点在线段的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出与所有可能的数量关系．
31．定义：若端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的等积线．例：如图1，在中，连结，我们可以利用“夹在两条平行线间的垂线段相等”，结合“等底（同底）等高的两个三角形面积相等”来说明与的面积相等，即是的等积线．
(1)请利用图1完成例的证明．
(2)如图2，在四边形中，连结．已知点与上一点的连线段是四边形的等积线，过点作的平行线，交于点，若，求的长度．
(3)如图3，在（2）的条件下，延长，交于点．若，请在图中找出一条不同于的四边形的等积线，并说明理由．
32．【教材呈现】（1）如图，直线，与的面积相等吗？为什么？
【基础巩周】（2）如图，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值；
【尝试应用】（3）如图，在半径为5的中，，，．求；
33．【教材呈现】如下是华师版八年级下册数学教材第75页练习的部分内容．证明结论的正确性．
如图①，如果直线，那么的面积和的面积是相等的．

【方法探究】如图②，在中，点在边上．若，求与数量关系．

【方法应用】如图③，正方形的边长为5，点是正方形内部一点，连结、．当是以为腰的等腰三角形，且时，直接写出的长．

34．【理解概念】
（1）如果一条直线将一个图形分割成面积相等的两个部分，则称这条直线叫做该图形的“等积线”．
（2）如图①，直线，点A是直线上的一点，，垂足为B，则线段的长度是与之间的距离．我们知道，两条平行线之间的距离处处相等．
【新知探究】
（1）如图②，过点A画出的等积线，并简要说明画法；
（2）如图③，直线，A、B是上的两点，P、Q是上的两点，分别连接与交于点O．设的而积为，的面积为，则______（填“”“”或“”）．
【拓展提高】
（1）如图④，点M是中边上的一点，．小峰同学做了如下的操作：
①连接，过点C画，交的延长线于点D：
②找出线段的中点E，画直线ME．
小峰认为直线就是的等积线，你同意吗？说明理由．
（2）如图⑤，在四边形中，连接的面积小于的面积．
过点A画四边形的等积线，并简要说明画法，不需说理．
35．【想一想】
在三角形的三条重要线段（高、中线、角平分线）中，能把三角形面积平分的是三角形的______；
【比一比】
如图，已知，点、在直线上，点、在直线上，连接、、、，与相交于点，则的面积_______的面积；（填“＞”“＜”或“＝”）
【用一用】
如图所示，学校种植园有一块四边形试验田STPQ．现准备过点修一条笔直的小路（小路面积忽略不计），将试验田分成面积相等的两部分，安排“拾穗班”、“锄禾班”两班种植蔬菜，进行劳动实践，王老师提醒同学们先把四边形转化为同面积的三角形，再把三角形的面积二等分即可．请你在下图中画出小路，并保留作图痕迹．
36．（1）如图1，已知直线，在直线上取两点，为直线上的两点，无论点移动到任何位置都有：____________（填“>”、“<”或“=”）
（2）如图2，在一块梯形田地上分别要种植大豆（空白部分）和芝麻（阴影部分），若想把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变，请问应该怎么改进呢？写出设计方案，并在图中画出相应图形并简述理由．
（3）如图3，王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形，中间有条分界小路（图中折线），左边区域为王爷爷的，右边区域为李爷爷的。现在准备把两家田地之间的小路改为直路，请你用有关的几何知识，按要求设计出修路方案，并在图中画出相应的图形，说明方案设计理由。（不计分界小路与直路的占地面积）．

试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《第七章 相交线与平行线》参考答案：
1．(1)，，；
(2)，，；
(3)；
(4)．
【分析】（）根据同位角，同旁内角，内错角的定义逐一找出可得答案；
（）根据同位角，同旁内角，内错角的定义逐一找出可得答案；
（）借助（）（）中的两个基本模型可得结论；
（）根据平行线的性质，逐一找出与相等的角可得答案．
本题主要考查了相交线，同位角，内错角，同旁内角，平行线的性质等数学常识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，

图中的同位角有：与，与，与，与；
内错角有：与，与；
同旁内角有：与，与；
故答案为：，，；
（2）解：如图，

图中的同位角有：与，与，与，与，与，与，与，与，
与，与，与，与；
内错角有：与，与，与，与，与，与；
同旁内角有：与，与，与，与，与，与；
故答案为：，，；
（3）解：图中共有（）型的基本图形个，（）型的基本图形个，由以上的结论可知，
图中共有同旁内角：．
故答案为：．
（4）解：∵，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
2．(1)图中有4对对顶角
(2)图中有12对邻补角
(3)图中有8对同位角
(4)图中有4对同旁内角
(5)和和和和和
【分析】此题考查的是同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角的概念，掌握其概念是解决此题的关键．
（1）根据对顶角的概念即可得到答案；（2）根据邻补角的概念即可得到答案；（3）根据同位角的概念即可得到答案；（4）根据同旁内角的概念即可得到答案；（5）根据内错角的概念可得答案．
【详解】（1）解：图中4对对顶角与，与，与，与；
（2）解：图中12对邻补角与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与；
（3）解：图中有8对同位角与，与，与，与，与，与，与，与；
（4）解：图中有4对同旁内角与，与，与，与；
（5）解：图中内错角有：和，和，和，和，和．
3．(1)同位角：和；内错角：和
(2)内错角：和，和；同旁内角：和，和
(3)内错角：和，和；同旁内角：和，和
【分析】此题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，找准截线与被截线是解题的关键．两线被第三条直线所截，在截线的异旁，被截线的内部就是内错角，截线的同位置，被截线的同旁是同位角，截线同旁，被截线的内部就是同旁内角．依次判断即可．
【详解】（1），被所截形成的同位角：和；内错角：和
（2），被所截形成的内错角：和，和；同旁内角：和，和
（3），被所截形成的内错角：和，和；同旁内角：和，和
4．（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°
【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；
（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；
（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；
（4）由（2）（3）类比可得答案．
【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：180°；
（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，
类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，
故答案为：540°；
（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，
故答案为：（n-1）×180°．
【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
5．(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）作EF∥AB，如图1，则EF∥CD，利用平行线的性质得∠1=∠EAE，∠2=∠CDE，从而得到∠BAE+∠CDE=∠AED
（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD=∠BAE，∠CDF=∠CDE，则∠AFD=（∠BAE+∠CDE），加上（1）的结论得到∠AFD=∠AED；
（3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG，利用折叠性质得∠CDG=4∠CDF，再利用等量代换得到∠AGD=2∠AED-∠BAE，加上90°-∠AGD=180°-2∠AED，从而计算出∠BAE的度数．
【详解】（1）∠BAE+∠CDE=∠AED
理由如下：
作EF∥AB，如图1
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE
∴∠BAE+∠CDE=∠AED
（2）如图2，由（1）的结论得
∠AFD=∠BAF+∠CDF
∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F
∴∠BAF=∠BAE，∠CDF=∠CDE
∴∠AFE=（∠BAE+∠CDE）
∵∠BAE+∠CDE=∠AED
∴∠AFD=∠AED
（3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG
而射线DC沿DE翻折交AF于点G
∴∠CDG=4∠CDF
∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED-∠BAE
∵90°-∠AGD=180°-2∠AED
∴90°-2∠AED+∠BAE=180°-2∠AED
∴∠BAE=60°
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
6．(1)
(2)
【分析】（1）作，，如图，根据平行线的性质得，所以，，，然后利用等量代换计算；
（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得．
【详解】（1）作，，如图，且
∴
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，
∵平分，平分，
∴，，
∵
∴
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
7．C
【分析】本题考查三角形面积性质的应用，可通过作辅助线的方法，做此题时注意理清各个三角形面积之间的关系．
由题意可知的面积和四边形的面积相等，可通过连接的方法，证明出，进而求出的面积，然后即可求出答案．
【详解】解：连接．
∵，
∴，
∵两个三角形有公共底，且面积相等，
∴高相等，
∴，
从而可得：，
∴，
又，
，
即，
故选：C．
8．5
【分析】本题考查三角形的面积、平行线之间的距离，连接，根据平行线之间的距离处处相等得到，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”分别求出和，再由计算的面积即可．
【详解】解：如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∴．
故答案为：5．
9．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，平行线之间的距离（利用平行线间距离解决问题）等知识点，由平行线间距离处处相等得出是解题的关键．
连接，由平行四边形的性质可得，由平行线间距离处处相等可得和同高且等底，由三角形的面积公式可得，进而可得，即，同理可得，则图中阴影部分的面积，于是得解．
【详解】解：如图，连接，
四边形是平行四边形，
，
和等底同高，
，
，
，
同理可得：，
图中阴影部分的面积
，
故答案为：．
10．D
【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．根据“三线八角”，平行线的性质即可求解．
【详解】解：①两直线平行，同位角相等，其角平分线分得的角也相等，根据同位角相等，两直线平行可判断角平分线平行；
②两直线平行，内错角相等，其角平分线分得的角也相等，根据内错角相等，两直线平行可判断角平分线平行；
③两直线平行，同旁内角互补，其角平分线分得的不同的两角互余，从而推出两条角平分线相交成角，即互相垂直；
故①②③都正确；
故选：D．
11．A
【分析】根据同位角的概念解答即可．
【详解】解：同位角有6对，∠4与∠7，∠3与∠8，∠1与∠7，∠5与∠6，∠2与∠9，∠1与∠3，
故选：A．
【点睛】此题考查同位角，关键是根据同位角解答．
12．C
【分析】准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．
【详解】解：（1）∠A与∠1是同位角，正确，符合题意；
（2）∠A与∠B是同旁内角．正确，符合题意；
（3）∠4与∠1是内错角，正确，符合题意；
（4）∠1与∠3不是同位角，错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系．
13．C
【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．
【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥CD∥MN∥EF，
∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，
∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，
∴=∠BCD+∠DCM=，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．
14．A
【分析】本题主要考查了平行线间距问题，三角形的面积等，根据平行线间间距处处相等结合三角形面积公式证明是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
故选：．
15．D
【分析】连接，由平行四边形对边平行且相等可得，，由同底等高的两个三角形面积相等得到，由等底同高的两个三角形面积相等得到，推出，求出面积差为0即可做出判断．
【详解】解：连接，

∵四边形和均为平行四边形，
∴，，
∵边，相交于点P，边，在同一直线上，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴当点P从点出发向点运动时，的面积与的面积差一直不变．
故答案为：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形，平行线，三角形的面积，熟练掌握平行四边形的性质、平行线间的距离相等、三角形的面积公式， 等底等高的三角形面积相等，是解决问题的关键．
16．156
【分析】观察图形，直线 GH,IJ,KL上，每条直线有5个交点，直线AB,CD,EF 上，每条直线有3个交点，每个交点存在4个角，根据每2个交点可以构成4对同位角，分别求得直线GH,IJ,KL和AB,CD,EF上的同位角的对数即可．
【详解】观察图形，直线上，每条直线有5个交点，直线上，每条直线有3个交点，每个交点存在4个角，
则直线上存在的同位角的个数是：对，同理直线上存在的同位角的个数是：对，
则总数是对．
故答案为：．
【点睛】本题考查了找同位角，分类讨论是解题的关键．
17． 360 540 720 180n
【分析】过点作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍；
（1）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍；
（2）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍；
（3）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度．
【详解】过作（如图②）．
∵原四边形是长方形，
∴，
又∵，
∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∴，
又∵，
∴；

（）分别过、分别作的平行线，如图③所示，

用上面的方法可得；
（）分别过、、分别作的平行线，如图④所示，

用上面的方法可得；
（）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度．
故答案为：；；；．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．
18．(1)→同旁内角→同位角（答案不唯一）；
(2)能，→内错角→同位角→同旁内角（答案不唯一）；
【分析】本题考查内错角，同位角，同旁内角的判断：
（1）根据内错角，同位角，同旁内角直接逐个判断即可得到答案；
（2）根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
→同旁内角→同位角（答案不唯一）；
（2）解：能，理由如下，
由题意可得，
→内错角→同位角→同旁内角（答案不唯一）．
19．（1）①内错角；②同旁内角；③同位角；④同位角；（2）可通过同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形进行判断
【分析】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义，是解决问题的关键
根据同位角、内错角、同旁内角的定义对各选项分析判断，后利用排除法求解．
【详解】（1）①与是内错角；②与是同旁内角；③与是同位角；④与是同位角．
故答案为：内错角，同旁内角，同位角，同位角；
（2）辨认同位角、内错角、同旁内角的方法：在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的不同旁找内错角，因此在“三线八角”的图形中主线是截线，抓住了截线，再利用图形结构特征，同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形进行判断．
20．（1）4，2，2；（2）12，6，6；（3），，
【分析】（1）根据同位角、内错角、同旁内角的概念进行计数即可；
（2）根据同位角、内错角、同旁内角的概念进行计数即可；
（3）先发现再总结规律性的表达式，从而总结规律即可．
【详解】解：（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对．
（2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有12对，内错角有6对，同旁内角有6对．
（3）根据以上探究的结果可得，同位角的数量关系可表示为：
两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有，
三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有
∴n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有对，
∴内错角有对，同旁内角有对．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，同时也考查了图形类的规律探究，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义.
21．（1），证明见解析；（2）①：与与．，；②与，与．；（3）见解析（答案不唯一）．
【分析】（1）根据三角形外角的性质即可求解；
（2）①根据内错角的定义和三角形外角的性质即可求解；②根据同旁内角的定义和三角形外角的性质即可求解；
（3）根据尺规作图，作一个角等于已知角，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AM于点M，点M即为所求
【详解】解：（1）如图③．若直线m与直线n交于点O，
直线m与直线n是“α相交线”．
∵．
∴是的外角，
∴，
即．
故答案为：；
（2）①如图④中，
∴直线m，直线n被直线l所截的内错角为：与与．，；
②直线m，直线n被直线l所截的同旁内角为：∠与，与．；
（3）如图，过点A在直线AB下方作等于的，以点B为圆心，点M即为所求（答案不唯一）．

【点睛】本题主要考查内错角，同旁内角的定义，三角形外角的性质，尺规作图，掌握三角形外角的性质以及基本尺规作图的步骤是关键．
22．（1）；（2）画图见解析，，证明见解析；（3）或
【分析】（1）根据平行线的传递性推出，再利用平行线的性质进行求解；
（2）猜测，根据平分，推导出，再根据、平分，通过等量代换求解；
（3）分两种情况进行讨论，即当与，充分利用平行线的性质、角平分线的性质、等量代换的思想进行求解．
【详解】（1）过点作，
，
，
，
．
（2）根据题意，补全图形如下：
猜测，
由（1）可知：，
平分，
，
，
，
，
又平分，
，
，
．
（3）①如图1，
，
由（2）可知：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又平分，
，
；
②如图2，
，（同①）；
若，
则有，
又，
，
，
，
综上所述：或，
故答案是：或．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线、三角形内角和定理、垂直等相关知识点，解题的关键是掌握相关知识点，作出适当的辅助线，通过分类讨论及等量代换进行求解．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先过点P作，则可得，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；
（2）作，可得，根据平行线的性质，即可证得；
（3）先证明，利用（2）的结论即可求解．
【详解】（1）解：∵，
过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
如图，作，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴；
∴；
（3）解：设交于O，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
24．(1)∠CPD=∠α+∠β，理由见解析
(2)∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β
(3)∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+
【分析】（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
（2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
（3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解．
【详解】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；
当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β．理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β．
（3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，
由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+．
故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第（2）问在解题时注意分类思想的运用．
25．（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°
【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME，进而可求解．
【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如图2，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝×60°＝30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．
26．（1）见解析；（2），见解析；（3）或．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可；
（2）根据三角形的内角和为180°和平角定义得到，结合平行线的性质得到，再根据角平分线的定义证得，结合已知即可得出结论；
（3）分当在直线下方和当在直线上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性质、角平分线定义求解即可．
【详解】解：（1）如图1，延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）延长交于点，交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴；
（3）当在直线下方时，如图，设射线交于，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
即，
解得：．
当在直线上方时，如图，同理可证得，
则有，
解得：．
综上，故答案为或．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平角定义、角度的运算，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
27．（1）BG；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；（2）见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，再根据平行线的性质即可得结论；
（2）过点作，根据，可得，所以，，结合（1）即可进行证明；
（3）根据，，可得，根据平分，可得，结合（2）可得，中根据平行线的性质即可得结论．
【详解】（1）解：如图①，过点作，因为，
所以（平行于同一条直线的两条直线平行）．
所以，（两直线平行，内错角相等）．
所以．
故答案为：，平行于同一条直线的两条直线平形，两直线平行，内错角相等；
（2）证明：如图②，过点作，因为，
所以，
所以，，
由（1）知：．
又，
所以．
因为．
所以，
所以，
因为平分．
所以，
所以，
所以；
（3）解：，理由如下：
因为，，
所以，
因为平分，
所以，
由（2）知：，
所以，
因为，
所以，
所以，，
而，
所以．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
28．（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由见解答过程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可完成填空；
（2）结合（1）的辅助线方法即可完成证明；
（3）结合（1）（2）的方法，根据∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可证明∠PMQ，∠A与∠C的数量关系．
【详解】解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是两直线平行，内错角相等；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是平行于同一条直线的两条直线平行；
所以∠C＝（∠CPH），
所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；
（2）①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：
过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH∥QG，
∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，
∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．
∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；
②如图3，
过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，
∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，
∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，
∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，
∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），
∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．
【点睛】考核知识点：平行线的判定和性质．熟练运用平行线性质和判定，添加适当辅助线是关键．
29．（1）110°；（2）80°；（3）
【分析】（1）过点P作PH∥AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；
（2）同理依据两直线平行，内错角相等即可证得∠1+∠4=∠2+∠3，求得∠4=80°；
（3）利用（1）的结论和角平分线的性质即可写出结论．
【详解】解：（1）如图1，
过点P作PH∥AB∥CD，
∴∠1=∠EPH，∠2=∠FPH，
而∠EPF=∠EPH+∠FPH，
∴∠EPF=∠1+∠2=110°；
（2）过点P作,，
，
，
，
，
，，
，，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
∵∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，
∴∠4=80°，
故答案为：80°；
（3）过点P作，
平分，
，
同理，
∴
，
同理，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了平行线性质的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题．
30．（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由见解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α
【分析】（1）过M作MN∥AB，由平行线的性质即可求得∠M的值．
（2）延长BA，DC交于E，应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题．
（3）分两种情形分别求解即可；
【详解】解：（1）过M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠1=∠A，∠2=∠C，
∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°；
故答案为：50°；
（2）∠A+∠C=30°+α，
延长BA，DC交于E，
∵∠B+∠D=150°，
∴∠E=30°，
∵∠BAM+∠DCM=360°-（∠EAM+∠ECM）=360°-（360°-∠E-∠M）=30°+α；
即∠A+∠C=30°+α；
（3）①如下图所示：
延长BA、DC使之相交于点E，延长MC与BA的延长线相交于点F，
∵∠B+∠D=150°，∠AMC=α，∴∠E=30°
由三角形的内外角之间的关系得：
∠1=30°+∠2
∠2=∠3+α
∴∠1=30°+∠3+α
∴∠1-∠3=30°+α
即：∠A-∠C=30°+α．
②如图所示，210-∠A=（180°-∠DCM）+α，即∠A-∠DCM=30°-α．
综上所述，∠A-∠DCM=30°+α或30°-α．
【点睛】本题考查了平行线的性质．解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线l∥AB，利用平行线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角∠M与已知角∠A、∠C的数量关系联系起来，从而求得∠M的度数．
31．(1)证明见解析
(2)
(3)线段是四边形的等积线
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，平行线间的距离；
（1）过作于，过作于，由得到，，根据夹在两条平行线间的垂线段相等得到，再根据等底（同底）等高的两个三角形面积相等证明即可．
（2）连接，，过作于，过作于，由得到，再根据线段是四边形的等积线，得到，即可推出，表示出面积即可得到；
（3）连接，，由和得到四边形是平行四边形，推出，得到，即可得到，线段是四边形的等积线．
【详解】（1）解：过作于，过作于，
∵，
∴，，
∵夹在两条平行线间的垂线段相等，
∴，
∵，，
∴，即是的等积线．
（2）解，连接，，过作于，过作于，
∵，
∴，
∵线段是四边形的等积线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）连接，，
由（2）可得，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵线段是四边形的等积线，
∴，
∴，
∴线段是四边形的等积线．
32．（1）相等，理由见解析；（2）；（3）
【分析】本题考查的是平行线的性质，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，扇形面积，勾股定理等，解决本题的关键是熟练掌握两条平行线之间的距离处处相等．
（1）根据等底等高的三角形面积相等可直接得出答案；
（2）根据，，可得阴影面积等于扇形的面积，由此可解；
（3）连接，作于E，通过导角证明，推出，可得，只需求出即可．
【详解】解：（1）与的面积相等，因为与等底等高；
（2）如图，连接，，
，正方形中，
，
，，
阴影面积等于扇形的面积，
四边形是正方形，
，
扇形的面积为：，
阴影面积与圆面积的比值为：；
（3）如图，连接，作于E，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
33．[教材呈现]：证明见解析；[方法探究]：；[方法应用]：5或
【分析】[教材呈现]只要说明与之间的距离相等即可；
[方法探究]因为两个三角形的高相等，所以面积 之间的数量关系等于两底之比，即可求出；
[方法应用]因为三角形为等腰三角形，所以要分类讨论，即可求出．
【详解】[教材呈现]
证明：过点作于点，过点作于点，如图所示，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，，
；
[方法探究]
解：由教材呈现可知：
，
与两底，上的高相等，
，
；
[方法应用]
解：过点作于点，
，，
，
，
当时，，
，
，
当时，．
综上所述，的长为5或．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，两平行线间的距离处处相等，三角形面积公式，勾股定理等知识点，掌握这些知识点是解题的关键．
34．（1）见解析；（2）；（1）同意，见解析；（2）见解析．
【分析】（1）三角形中线可将三角形面积平分，因此取中点连线即可；
（2）平行线中先找到面积相等的三角形，再减去相同的部分直接求出剩余部分面积相等即可；
（1）通过作辅助线得到，然后推论出，即可证明等积线；
（2）与（ 1）同理，推论出，然后取中点，连接即可．
【详解】（1）取中点，连接，是的等积线．
（2）∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（1）连接，
∵，
∴，
∴，
∵的中点是E，
∴，
∴
∴就是的等积线．
（2）过作交延长线于，连接，
取中点，连接，
与（1）同理可得，即为四边形的等积线．
【点睛】此题考查三角形中线的性质和平行线的性质，解题关键是在平行线中找出等面积的三角形进行转化．
35．想一想：中线；比一比：＝；用一用：见解析
【分析】想一想：三角形中线把三角形底边等分成两份，过顶点向底边作垂线，高相同；
比一比：和共底边BC，，两平行线之间的距离相等，即和高相等；
用一用：利用“想一想”中的中线和“比一比”的平行线进行面积的二等分．
【详解】想一想：
三角形中线把三角形底边等分成两份，过顶点向底边作垂线，高相同，故能把三角形面积平分的是三角形的中线．
比一比：
∵
∴两平行线之间的距离相等，即A到BC的距离=D到BC的距离
又∵和共底边BC
∴和同底，等高，面积相等．
用一用：
如图所示，连接SP，过Q点作QM∥SP，延长TP，交QM与点M，连接SP，取TM的中点N．SN即为所求笔直的小路．
证明：∵QM∥SP
∴
∵TM的中点N
∴
∴
【点睛】本题考查中线和平行线的距离．连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线．两条平行线的距离处处相等．
36．（1）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据平行线间的距离处处相等，所以无论点在m上移动到何位置，总有与同底等高，因此它们的面积相等；
（2）利用同底等高的三角形的面积相等即可求得设计方案；
（3）连结，过点作的平行线，连结或，则或即为所修直路．
【详解】（1）∵与有共同的边AB，
又∵，
∴与的高相等，即与同底等高，
∴=，
故答案为：=；
（2）方法一：
连结，将的区域用于种植大豆，的区域用于种植芝麻，理由如下：
在梯形ABCD中,，
则与同底等高，
∴，
∴，
即，
又由可知与同底等高，
∴，
∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变；
方法二
连结，将的区域用于种植大豆，的区域用于种植芝麻，理由如下：
在梯形ABCD中,，
则与同底等高，
∴，
∴，
即，
又由可知与同底等高，
∴，
∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变；
（3）方法一
连结，过点作的平行线：连结，即为所修直路．
将四边形的区域分给王爷爷，四边形的区域分给李爷爷，理由如下：
∵，则与同底等高，
∴，则，
即，
又由可知与同底等高，
∴，
∴满足修路方案；
方法二：
连结，过点作的平行线：连结，即为所修直路．
将四边形的区域分给王爷爷，四边形的区域分给李爷爷，理由如下：
∵，则与同底等高，
∴，则，
即，
又由可知与同底等高，
∴，
∴满足修路方案．
【点睛】本题主要考查了两条平行线间的距离处处相等．只要两个三角形是同底等高的，则两个三角形的面积一定相等．解题的关键还要根据等式的性质进一步进行变形．
答案第1页，共2页
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