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专题4.1 因式分解【十大题型】
【北师大版】
【题型1 整式乘法与因式分解的关系】 3
【题型2 利用因式分解求值】 3
【题型3 利用因式分解进行简便运算】 3
【题型4 利用因式分解解决整除问题】 4
【题型5 利用因式分解确定三角形的形状】 5
【题型6 因式分解的实际应用】 5
【题型7 利用整体思想进行因式分解】 6
【题型8 因式分解中的新定义问题】 8
【题型9 利用添项进行因式分解】 9
【题型10 利用拆项进行因式分解】 9
知识点1：因式分解
1．因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；
（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；
（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；
（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．
2．用提公因式法分解因式
（1）公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．
（2）怎样确定公因式（五看）：
一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；
二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；
三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的；
四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；
五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负．
（3）提公因式法的定义：
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
（4）提公因式法分解因式的一般步骤：
①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；
②提公因式并确定另一个因式；
③把多项式写成这两个因式的积的形式．
（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．
（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．
（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．
3．用平方差公式分解因式
（1）平方差公式的等号两边互换位置，得
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
（2）特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；
②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积．
4．用完全平方公式分解因式
（1）完全平方公式的等号两边互换位置，得
，
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
（2）特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可．
②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方．
（3）公式法的定义：
如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．
【题型1 整式乘法与因式分解的关系】
【例1】（23-24八年级·全国·单元测试）已知是的一个因式，则 ．
【变式1-1】（23-24·安徽马鞍山·八年级期末）若多项式因式分解后结果是，则的值是 ．
【变式1-2】（23-24八年级·上海长宁·期中）已知多项式可分解为两个整系数的一次因式的积，则 ..
【变式1-3】（23-24八年级·广西贵港·期中）在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为 .
【题型2 利用因式分解求值】
【例2】（23-24八年级·安徽六安·阶段练习）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（23-24八年级·广西贵港·期中）已知，，则代数式的值为（ ）
A． B．30 C． D．
【变式2-2】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为 ．
【变式2-3】（23-24八年级·河北邯郸·阶段练习）若的结果为整数，则整数n的值不可能是（ ）
A．44 B．55 C．66 D．77
【题型3 利用因式分解进行简便运算】
【例3】（23-24八年级·黑龙江大庆·期末）= ．
【变式3-1】（23-24八年级·全国·课后作业）利用因式分解计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式3-2】（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）计算： ．
【变式3-3】（23-24八年级·全国·课后作业）利用因式分解简便计算：
(1)；
(2)．
【题型4 利用因式分解解决整除问题】
【例4】（23-24八年级·浙江宁波·期末）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
(1)观察老师的演算后，你认为　　　同学的想法是对的；
(2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
(3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
【变式4-1】（23-24八年级·全国·课后作业）若n为任意整数，如果的值总能被4整除，则整数k不能取（ ）
A． B．1 C．2 D．5
【变式4-2】（23-24八年级·全国·竞赛）已知：是11的倍数，其中a，b是整数，求证：能被121整除．
【变式4-3】（23-24八年级·上海·假期作业）试说明：一个三位数字，百位数字与个位数字交换位置后，则得到的新数与原数之差能被11整除．
【题型5 利用因式分解确定三角形的形状】
【例5】（23-24八年级·全国·课后作业）已知等腰三角形的三边长、、均为整数，且满足，则这样的三角形共有 个．
【变式5-1】（23-24八年级·全国·单元测试）为三角形三边长，，则该三角形形状为 .
【变式5-2】（23-24八年级·贵州黔西·期中）若三角形的三边长分别为、、，满足，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
【变式5-3】（23-24八年级·全国·课后作业）若的三边、、满足，则这个三角形是 ．
【题型6 因式分解的实际应用】
【例6】（23-24八年级·浙江宁波·期末）学校举行运动会，由若干名同学组成一个长方形队列．如果原队列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？
【变式6-1】（23-24八年级·广西玉林·期末）如图，要用木板为一幅正方形油画装裱边框，其中油画的边长为，边框每条边的宽度为，则制作边框的面积是（ ）（不计接缝）
B．
C． D．
【变式6-2】（23-24·浙江湖州·八年级期末）龙龙设计了一个翻牌游戏：现有对应着编号为的150张数字牌，牌分为“正面”和“反面”两种状态，每翻一次改变相对应数字牌的状态，所有牌的初始状态为“反面”．第1次把所有编号是1的整数倍的数字牌翻一次，第2次把所有编号是2的整数倍的数字牌翻一次，第3次把所有编号是3的整数倍的数字牌翻一次，，第150次把所有编号是150的整数倍的数字牌翻一次．问最终状态为“正面”的数字牌共有（ ）
A．9张 B．10张 C．11张 D．12张
【变式6-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）根据素材，完成任务．
利用现有木板制作长方体木箱问题
素材1 如图长方体木箱的长、宽、高分别是厘米、厘米、b厘米．
素材2 现有甲、乙、丙三块木板，甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板锯成两块刚好能做成箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计）．
问题解决
任务1 请用含a，b的代数式表示这三块木板的面积．
任务2 若长方体长侧面周长和短侧面周长差为3厘米，长侧面周长和短侧面周长之和为23厘米，则甲、乙、丙三块木板的面积和是多少？
任务3 若甲木板面积是乙木板面积的3倍，求箱子侧面积与表面积的比值．
【题型7 利用整体思想进行因式分解】
【例7】（23-24八年级·江西九江·期末）先阅读材料，再回答问题：
分解因式：．
解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式．
上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题：
(1)因式分解：_______．
(2)因式分解：_______．
(3)若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由．
【变式7-1】（23-24八年级·山东菏泽·期末）阅读材料A：利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：∵，，
∴，
即：．∴．
阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：令，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
(1)请根据材料A，解答问题：若，，求的值；
(2)请根据材料B，解答问题：
①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果______；
②因式分解：．
(3)综合运用：
若实数x满足，求的值．
【变式7-2】（23-24八年级·四川成都·阶段练习）小福同学在课后探究学习中遇到题目：分解因式：．小福同学经过几次尝试后发现如下做法：
因式分解：
解：原式
设
∴原式
小福和组内同学分享学习心得时总结：
当有四个一次式连续相乘时，我选择了每两个一次式分别乘积；经过我多次尝试，我发现选择哪两个一次式相乘也很重要，我最后选择了“常数之和相等”的分组相乘方式，之后在乘积中有整体出现，选择了换元完成分解．
另外，我发现在划横线那个步骤时，有时也会选择“常数乘积相等”的分组相乘方式．
小福同学分享了解题方法和学习心得之后很多同学有了自己的思考和理解，纷纷跃跃欲试
请你结合自己的思考和理解完成下列变式训练：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：．
【变式7-3】（23-24八年级·河南洛阳·期中）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“x”还原为“”即可．解题过程如下：
解：设，则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）．
问题：
(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；
②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解；
(2)请你模仿以上方法尝试计算：
．
【题型8 因式分解中的新定义问题】
【例8】（23-24八年级·浙江衢州·阶段练习）对于正整数，若（，且为整数），当最小时，则称为的“最佳分解”，并规定如：12的分解有，，，其中，为的最佳分解，则．若关于正整数的代数式也有同样的最佳分解，则下列结果不可能的是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（23-24八年级·四川成都·期末）定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若a＝2，，比较b，c的大小：b c．
【变式8-2】（23-24八年级·河南周口·期末）设m、n是实数，定义一种新运算：．下面四个推断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-3】（23-24·河北石家庄·八年级期末）每个人都拥有一个快乐数字，我们把自己出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差就是我们自己的快乐数字．比如我国著名的数学家华罗庚出生于年，他的快乐数字是．
(1)某人出生于年，他的快乐数字是______；
(2)你再举几个例子并观察，这些快乐数字都能被______整除，请你用所学知识说明你的猜想．
(3)请你重新对快乐数字定义，并写出一个你找到的规律（直接写出结果，不用证明）．
【题型9 利用添项进行因式分解】
【例9】（23-24八年级·湖南怀化·期中）运用添项法分解因式：．
【变式9-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）(1)；
(2)．
【变式9-2】（23-24八年级·湖南怀化·期中）运用添项法分解因式：分解因式．
【变式9-3】（23-24八年级·陕西榆林·期末）运用添项法分解因式：
(1)；
(2)．
【题型10 利用拆项进行因式分解】
【例10】（23-24八年级·全国·专题练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
如：．
②拆项法：
如：．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①用分组分解法；
②用拆项法；
(2)已知、、为的三条边，，求的周长．
【变式10-1】（23-24八年级·浙江宁波·阶段练习）运用拆项法因式分解：；
【变式10-2】（23-24八年级·全国·专题练习）利用拆项法分解因式：．
【变式10-3】利用拆项法分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
1
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专题4.1 因式分解【十大题型】
【北师大版】
【题型1 整式乘法与因式分解的关系】 3
【题型2 利用因式分解求值】 4
【题型3 利用因式分解进行简便运算】 6
【题型4 利用因式分解解决整除问题】 9
【题型5 利用因式分解确定三角形的形状】 12
【题型6 因式分解的实际应用】 14
【题型7 利用整体思想进行因式分解】 17
【题型8 因式分解中的新定义问题】 24
【题型9 利用添项进行因式分解】 27
【题型10 利用拆项进行因式分解】 28
知识点1：因式分解
1．因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
【注意】
（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；
（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；
（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；
（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．
2．用提公因式法分解因式
（1）公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．
（2）怎样确定公因式（五看）：
一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；
二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；
三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的；
四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；
五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负．
（3）提公因式法的定义：
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
（4）提公因式法分解因式的一般步骤：
①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；
②提公因式并确定另一个因式；
③把多项式写成这两个因式的积的形式．
【注意】
（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．
（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．
（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．
3．用平方差公式分解因式
（1）平方差公式的等号两边互换位置，得
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
（2）特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；
②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积．
4．用完全平方公式分解因式
（1）完全平方公式的等号两边互换位置，得
，
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
（2）特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可．
②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方．
（3）公式法的定义：
如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．
【题型1 整式乘法与因式分解的关系】
【例1】（23-24八年级·全国·单元测试）已知是的一个因式，则 ．
【答案】
【分析】设另一个因式是根据多项式乘多项式法则求出 ，根据多项式乘多项式得出，再求出答案即可．
【详解】解：设另一个因式是
则，
，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的定义和整式的乘法，能灵活运用多项式乘多项式法则进行计算是解此题的关键．
【变式1-1】（23-24·安徽马鞍山·八年级期末）若多项式因式分解后结果是，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程组是解题关键．
根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案．
【详解】解：，
∴，
解得．
故答案为：．
【变式1-2】（23-24八年级·上海长宁·期中）已知多项式可分解为两个整系数的一次因式的积，则 ..
【答案】
【分析】利用十字相乘的方法确定出a的值即可．
【详解】解： 或
所以
故答案为.
【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
【变式1-3】（23-24八年级·广西贵港·期中）在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为 .
【答案】
【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可．
【详解】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6，
∵小刚看错了m的值，
∴n＝﹣6；
（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，
∵小芳看错了n的值，
∴m＝﹣1．
∴x2+mx+n
＝x2﹣x﹣6
＝（x﹣3）（x+2）．
故答案为：（x﹣3）（x+2）．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根据乘法与因式分解的关系确定m、n的值是解决本题的关键．
【题型2 利用因式分解求值】
【例2】（23-24八年级·安徽六安·阶段练习）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先对已知等式进行变形，然后对所求式进行因式分解，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，掌握整体代入思想是解决此题关键．
【变式2-1】（23-24八年级·广西贵港·期中）已知，，则代数式的值为（ ）
A． B．30 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查因式分解的应用，将代数式进行因式分解，再利用整体代入法求值即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
；
故选C．
【变式2-2】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了因式分解的意义，可根据已知条件设出这两个一次因式分别是与，相乘后根据多形式相等可求出、的值，从而得到答案．
【详解】解：设，
，
，
解得，或
或．
故答案为：或．
【变式2-3】（23-24八年级·河北邯郸·阶段练习）若的结果为整数，则整数n的值不可能是（ ）
A．44 B．55 C．66 D．77
【答案】D
【分析】将和各选项进行因式分解，依次判断，即可求解，
本题考查了，因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解．
【详解】解：，
A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意，
故选：D．
【题型3 利用因式分解进行简便运算】
【例3】（23-24八年级·黑龙江大庆·期末）= ．
【答案】
【分析】先利用平方差公式把每一个因数化为两个因数的积，约分后可得余下的因数，再计算乘法，从而可得答案．
【详解】解：
=
=
=
=
故答案为：．
【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，运用平方差公式对有理数进行简便运算，掌握以上知识是解题的关键．
【变式3-1】（23-24八年级·全国·课后作业）利用因式分解计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）提公因式后再进行计算即可；
（2）提公因式后，再用平方差公式计算即可；、
（3）提公因式后，再用完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握利用因式分解进行计算是解题的关键．
【变式3-2】（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）计算： ．
【答案】55
【分析】运用因式分解得原式=.
【详解】
=
=19+15+11+7+3
=55
故答案为：55
【点睛】考核知识点：因式分解应用.利用因式分解将式子进行变形是关键.
【变式3-3】（23-24八年级·全国·课后作业）利用因式分解简便计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用因式分解简便计算，即可求解；
（2）利用因式分解简便计算，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查了利用因式分解简便计算，熟练掌握和运用利用因式分解简便计算是解决本题的关键．
【题型4 利用因式分解解决整除问题】
【例4】（23-24八年级·浙江宁波·期末）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
(1)观察老师的演算后，你认为　　　同学的想法是对的；
(2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
(3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
【答案】(1)小磊
(2)
(3)，
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是理解题意，掌握题目提供的方法．
（1）根据题目中提供的信息进行解答即可；
（2）根据老师提供的方法进行解答即可；
（3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，得出，求出m、n的值．
【详解】（1）解：根据题意可得：，
，
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的；
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
．
（3）解：根据题意得：
∴，，
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，．
【变式4-1】（23-24八年级·全国·课后作业）若n为任意整数，如果的值总能被4整除，则整数k不能取（ ）
A． B．1 C．2 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解的应用，先利用完全平方公式计算，再将代数式分组为一定被4整除的一组和需要确定范围的一组，找到能被整除的数即可得答案．
【详解】解：
．
∵的值总能被4整除，n为任意整数，
∴总能被整除．
整数k为、1、5均满足条件，故选项A、B、D不符合题意，
整数k为，，不能满足n为任意整数时的值总能被4整除，
故选：C．
【变式4-2】（23-24八年级·全国·竞赛）已知：是11的倍数，其中a，b是整数，求证：能被121整除．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了因式分解，整数的整除性，熟练掌握因式分解是解答本题的关键．设，则，先将代数式因式分解，再将b的值代入并化简得，即能证明结论．
【详解】设，则，
．
故能被121整除．
【变式4-3】（23-24八年级·上海·假期作业）试说明：一个三位数字，百位数字与个位数字交换位置后，则得到的新数与原数之差能被11整除．
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，分两种情况：①个位数字为；②个位数字不为，根据不同情况，利用提公因式法因式分解结合整除的概念列式求解即可得到答案．
【详解】解：这个数是三位数，
百位数字不能为，故分两种情况：①个位数字为；②个位数字不为；
①当个位数字为时，设这个三位数为，为0－9之间的整数，
交换百位数字与个位数字后可得新三位字为，
，
∵是整数，
∴能被11整除；
②当个位数字不为时，设这个三位数为，为0－9之间的整数，
交换百位数字与个位数字后可得新三位字为，
，
∵是整数，
∴能被11整除．
【点睛】本题考查利用提取公因式法分解因式，用整式表示三位数是解题的关键．
【题型5 利用因式分解确定三角形的形状】
【例5】（23-24八年级·全国·课后作业）已知等腰三角形的三边长、、均为整数，且满足，则这样的三角形共有 个．
【答案】3
【分析】先将a+bc+b+ca=24 可以化为 （a+b）（c+1）=24，然后根据24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合，讨论是否符合题意即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵等腰的三边长、、均为整数，
∴a+b，c+1为大于或等于2的正整数，
那么24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合2×12，3×8，4×6，6×4，8×3，12×2，
①a+b =2，c+1 =12时，c=11，a+b=2，无法得到满足等腰三角形的整数解；
②a+b =3，c+1 =8时，c=7，a+b=3，无法得到满足等腰三角形的整数解；
③a+b =4，c+1 =6时，c=5，a+b=4，无法得到满足等腰三角形的整数解；
④a+b =6，c+1 =4时，c=3，a+b=6，可以得到a=b=c=3，可以组成等腰三角形；
⑤a+b =8，c+1 =3时，c=2，a+b=8，可得a=b=4，c=2，可以组成等腰三角形；
⑥a+b =12，c+1 =2时，可得 a=b=6，c=1，可以组成等腰三角形．
∴一共有3个这样的三角形．
故答案是：3．
【点睛】本题考查因式分解的应用及等腰三角形的知识，难度一般，在解答本题时将原式化为因式相乘的形式及将24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合是关键．
【变式5-1】（23-24八年级·全国·单元测试）为三角形三边长，，则该三角形形状为 .
【答案】等腰三角形
【分析】把等式左边的多项式因式分解，可知，进而，可得到答案.
【详解】∵，
∴，即，
∴，
∵
∴，即a=b，
∴该三角形是等腰三角形.
故答案是：等腰三角形.
【点睛】本题主要考查利用因式分解，判断三角形的形状，把等式左边的多项式利用分组分解法分解因式，是解题的关键.
【变式5-2】（23-24八年级·贵州黔西·期中）若三角形的三边长分别为、、，满足，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【分析】首先将原式变形为，可以得到或或，进而得到或．从而得出△ABC的形状．
【详解】∵，
∴，
∴，
即，
∴或或(舍去)，
∴或，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解－提公因式法、平方差公式法在实际问题中的运用，注意掌握因式分解的步骤，分解要彻底．
【变式5-3】（23-24八年级·全国·课后作业）若的三边、、满足，则这个三角形是 ．
【答案】等腰三角形
【分析】对等式前两项利用平方差公式进行因式分解，而后两项提出公因式，然后再进一步因式分解观察即可.
【详解】∵，
∴．
∴．
∵、、是的三条边，
∴，
∴，即，
∴为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形.
【点睛】本题主要考查了因式分解的运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
【题型6 因式分解的实际应用】
【例6】（23-24八年级·浙江宁波·期末）学校举行运动会，由若干名同学组成一个长方形队列．如果原队列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？
【答案】原队列有1035人或270人或90人
【分析】本题考查的是因式分解的应用，二元一次方程组的解法；设原队列有m人，增加54人后组成的正方形队列，减少74人后组成的正方形队列.可得：，再利用因式分解的结果建立方程组解题即可；
【详解】解：设原队列有m人，
增加54人后组成的正方形队列，减少74人后组成的正方形队列.
根据题意得：
：
，解得，
∴；
，解得，
∴；
，解得，
∴；
综上所述，原队列有1035人或270人或90人
【变式6-1】（23-24八年级·广西玉林·期末）如图，要用木板为一幅正方形油画装裱边框，其中油画的边长为，边框每条边的宽度为，则制作边框的面积是（ ）（不计接缝）
B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查列代数式，代数式加减，因式分解的应用，油画的边长已知，加框后边长增加，加框后的面积减去画的面积就是边框所需木板面积．解题的关键要熟练运用平方差公式化简所列出的代数式．
【详解】解：∵
，
∴制作边框的面积是．
故选：A．
【变式6-2】（23-24·浙江湖州·八年级期末）龙龙设计了一个翻牌游戏：现有对应着编号为的150张数字牌，牌分为“正面”和“反面”两种状态，每翻一次改变相对应数字牌的状态，所有牌的初始状态为“反面”．第1次把所有编号是1的整数倍的数字牌翻一次，第2次把所有编号是2的整数倍的数字牌翻一次，第3次把所有编号是3的整数倍的数字牌翻一次，，第150次把所有编号是150的整数倍的数字牌翻一次．问最终状态为“正面”的数字牌共有（ ）
A．9张 B．10张 C．11张 D．12张
【答案】D
【分析】本题考查因数分解，完全平方数，理解因数的意义，完全平方数的概念是解题的关键．所有牌的初始状态为“反面”，翻奇数次，则状态为“正面”，翻偶数次，则状态为“反面”，再根据因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，即可求解．
【详解】解：所有牌的初始状态为“反面”，翻奇数次，则状态为“正面”，翻偶数次，则状态为“反面”；
因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，中，完全平方数为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144；有12个数，故有12张牌被翻奇数次，为“正面”的状态；
故选：D．
【变式6-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）根据素材，完成任务．
利用现有木板制作长方体木箱问题
素材1 如图长方体木箱的长、宽、高分别是厘米、厘米、b厘米．
素材2 现有甲、乙、丙三块木板，甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板锯成两块刚好能做成箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计）．
问题解决
任务1 请用含a，b的代数式表示这三块木板的面积．
任务2 若长方体长侧面周长和短侧面周长差为3厘米，长侧面周长和短侧面周长之和为23厘米，则甲、乙、丙三块木板的面积和是多少？
任务3 若甲木板面积是乙木板面积的3倍，求箱子侧面积与表面积的比值．
【答案】任务一：甲木板面积：平方厘米，乙木板面积：平方厘米，丙木板面积： 平方厘米；任务二：；任务三：
【分析】任务一：根据题意结合长方形的面积公式列式整理即可；
任务二：由长方体长侧面周长和短侧面周长差为3厘米，长侧面周长和短侧面周长之和为23厘米，再建立方程组求解的值，再列式计算即可．
任务三：由题意可得：，可得，再列式计算比值即可；
【详解】任务一：
解：由题意得：甲木板面积：平方厘米，
乙木板面积：平方厘米，
丙木板面积： 平方厘米；
任务二：由题意可得：
，
解得：，
∴甲、乙、丙三块木板的面积和为
；
任务三：由题意可得：，
整理得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
箱子侧面积为：，
箱子表面积为：；
∴箱子侧面积与表面积的比值为
；
【点睛】本题考查了整式混合运算的实际应用，因式分解的应用，二元一次方程组的应用，根据题意列出甲、乙、丙三块木板面积的式子是解题的关键．
【题型7 利用整体思想进行因式分解】
【例7】（23-24八年级·江西九江·期末）先阅读材料，再回答问题：
分解因式：．
解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式．
上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题：
(1)因式分解：_______．
(2)因式分解：_______．
(3)若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)理由见解析
【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
（1）把看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）原式变形为，再用平方差公式因式分解即可；
（3）将原式转化为，令，则原式， ，根据为正整数得到也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
【详解】（1）
，
故答案为：；
（2），
，
，
故答案为：；
（3）
令，
则原式，
，
，
原式．
为正整数，
也为正整数，
代数式的值一定是某一个正整数的平方．
【变式7-1】（23-24八年级·山东菏泽·期末）阅读材料A：利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：∵，，
∴，
即：．∴．
阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：令，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
(1)请根据材料A，解答问题：若，，求的值；
(2)请根据材料B，解答问题：
①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果______；
②因式分解：．
(3)综合运用：
若实数x满足，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)
【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握利用完全平方公式分解因式和换元法分解因式．
（1）根据已知条件，利用完全平方公式求出即可；
（2）①设，把含有的多项式换元成含有的多项式，然后利用完全平方公式分解因式即可；
②把当作一个整体，利用完全平方公式分解因式即可；
（3）设，，先求出，，根据已知条件求出，然后利用，求出即可．
【详解】（1）解：，，
，
，
，
，
；
（2）①设，
原式
，
故答案为：；
②；
（3）设，，
，
实数满足，
，
，
，
，
，
，
．
【变式7-2】（23-24八年级·四川成都·阶段练习）小福同学在课后探究学习中遇到题目：分解因式：．小福同学经过几次尝试后发现如下做法：
因式分解：
解：原式
设
∴原式
小福和组内同学分享学习心得时总结：
当有四个一次式连续相乘时，我选择了每两个一次式分别乘积；经过我多次尝试，我发现选择哪两个一次式相乘也很重要，我最后选择了“常数之和相等”的分组相乘方式，之后在乘积中有整体出现，选择了换元完成分解．
另外，我发现在划横线那个步骤时，有时也会选择“常数乘积相等”的分组相乘方式．
小福同学分享了解题方法和学习心得之后很多同学有了自己的思考和理解，纷纷跃跃欲试
请你结合自己的思考和理解完成下列变式训练：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据常数之和相等进行分组相乘，然后换元计算即可．
（2）根据常数乘积相等进行分组相乘，然后换元计算即可．
【详解】（1）
设，
∴原式
；
（2）
设，
∴原式
．
【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法和换元法．看懂和理解题例是解决本题的关键．
【变式7-3】（23-24八年级·河南洛阳·期中）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“x”还原为“”即可．解题过程如下：
解：设，则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）．
问题：
(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；
②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解；
(2)请你模仿以上方法尝试计算：
．
【答案】(1)①该同学没有完成因式分解；最后的结果为；②
(2)2024
【分析】本题考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键．
（1）①根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可；
②利用换元法进行因式分解即可；
（2）设，，则原式，整体代入计算即可．
【详解】（1）①该同学没有完成因式分解；
设，则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
．
∴最后的结果为．
②设，
原式
．
；
（2）设，，
则，
，
原式
．
【题型8 因式分解中的新定义问题】
【例8】（23-24八年级·浙江衢州·阶段练习）对于正整数，若（，且为整数），当最小时，则称为的“最佳分解”，并规定如：12的分解有，，，其中，为的最佳分解，则．若关于正整数的代数式也有同样的最佳分解，则下列结果不可能的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意，分别找到时，根据新定义逐项分析判断，即可求解．
【详解】A、当时，，，故该选项不符合题意；
B、当时，，，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、当时，，，故该选项不符合题意；
故选：C．
【变式8-1】（23-24八年级·四川成都·期末）定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若a＝2，，比较b，c的大小：b c．
【答案】
【分析】此题考查了整式运算和因式分解的应用能力，关键是能准确根据题意列式、计算、变形．先按照题意表示出，再运用作差法比较与的大小即可．
【详解】解：由题意得，当，时，
，
，
，
故答案为：．
【变式8-2】（23-24八年级·河南周口·期末）设m、n是实数，定义一种新运算：．下面四个推断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】各式利用题中的新定义判断即可．
【详解】解：根据题中的新定义得：
A．，，故推断正确；
B．，，故推断不正确；
C．，，故推断不正确；
D．，，故推断不正确．
故选：A．
【点睛】此题考查了整式的运算和因式分解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【变式8-3】（23-24·河北石家庄·八年级期末）每个人都拥有一个快乐数字，我们把自己出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差就是我们自己的快乐数字．比如我国著名的数学家华罗庚出生于年，他的快乐数字是．
(1)某人出生于年，他的快乐数字是______；
(2)你再举几个例子并观察，这些快乐数字都能被______整除，请你用所学知识说明你的猜想．
(3)请你重新对快乐数字定义，并写出一个你找到的规律（直接写出结果，不用证明）．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)答案不唯一，见解析
【分析】本题考查数字变化的规律，
（1）根据快乐数字的定义即可解决问题；
（2）按要求举几个例子，并发现规律即可解决问题；
（3）根据（2）中发现的规律，进行重新定义即可；
理解题中“快乐数字”的定义是解题的关键．也考查了因式分解的应用．
【详解】（1）解：由题知，
，
即他的快乐数字是，
故答案为：；
（2）例如：，其快乐数字为：，
又如：，其快乐数字为：，
∵，，
发现：这些快乐数字都能被整除．
理由：令这个四位数为：，
∴
，
∴此代数式是的倍数，
∴猜想正确；
（3）令这个四位数为：，
∴
，
∴此代数式是的倍数，
定义如下：
若一个四位数的千位数字与十位数字相等，个位数字与百位数字相等，则称这个数为“快乐数字”．
发现的规律是：“快乐数字”能被整除．（答案不唯一）．
【题型9 利用添项进行因式分解】
【例9】（23-24八年级·湖南怀化·期中）运用添项法分解因式：．
【答案】
【详解】解：
．
【变式9-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式9-2】（23-24八年级·湖南怀化·期中）运用添项法分解因式：分解因式．
【答案】
【详解】解：
【变式9-3】（23-24八年级·陕西榆林·期末）运用添项法分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
.
【题型10 利用拆项进行因式分解】
【例10】（23-24八年级·全国·专题练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
如：．
②拆项法：
如：．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①用分组分解法；
②用拆项法；
(2)已知、、为的三条边，，求的周长．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①根据题意，得，平方差公式分解即可；
②根据题意，得，分解即可；
（2）根据题意，得，根据非负性解答即可．
本题考查了分组法，拆项法分解因式，实数的非负性，熟练掌握方法，活用实数的非负性是解题的关键．
【详解】（1）①
；
②
．
（2）根据题意，得，
∴，
∴，
∴，
故的周长为．
【变式10-1】（23-24八年级·浙江宁波·阶段练习）运用拆项法因式分解：；
【答案】
【详解】
【变式10-2】（23-24八年级·全国·专题练习）利用拆项法分解因式：．
【答案】．
【分析】将拆解成，再根据完全平方公式得，然后利用平方差公式进一步分解．
【详解】解：
，
，
，
．
【点睛】此题考查了因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，理解题中的分解因式方法并能灵活运用是解题的关键．
【变式10-3】利用拆项法分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：
；
（2）
（3）
【点睛】本题考查了因式分解，理解题意，正确的增项是解题的关键．
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