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专题5.4 分式方程【十二大题型】
【北师大版】
【题型1 分式方程及其解】 1
【题型2 分式方程的一般解法】 2
【题型3 由分式方程的增根求字母的值】 3
【题型4 由分式方程有（无）解求字母的值】 3
【题型5 由分式方程的整数解求字母的值】 3
【题型6 由由分式方程解的取值范围求字母的值】 4
【题型7 换元法解分式方程】 4
【题型8 裂项法解分式方程】 5
【题型9 由实际问题抽象出分式方程】 7
【题型10 分式方程的新定义问题】 7
【题型11 分式方程的规律探究】 9
【题型12 分式方程的阅读材料题】 10
知识点1：分式方程
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
【题型1 分式方程及其解】
【例1】（24-25八年级·河南南阳·期中）给出以下方程：，，，，其中分式方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-1】（24-25八年级·河北秦皇岛·期中）已知分式方程的解为，则a的值为 ．
【变式1-2】（24-25八年级·全国·课后作业）下列关于x的方程①，②，③1，④中，是分式方程的是__________.（填序号）
【变式1-3】（24-25八年级·湖南郴州·期中）已知关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ．
知识点2：分式方程的解法
分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。
分式方程解方程的步骤：
①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
②解整式方程
③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
④作答
【题型2 分式方程的一般解法】
【例2】（24-25八年级·湖南常德·期中）关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值．
【变式2-1】（24-25八年级·山东烟台·期中）已知分式 （m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为 ．
x的取值 4 a 16
分式的值 无意义 0 b
【变式2-2】（24-25八年级·河南周口·期末）小明写出下列四个方程：①；②；③；④．其中有解的是 填写序号即可
【变式2-3】（24-25八年级·河南南阳·期中）如图是小丽同学完成的一道作业题．结合小丽作业，完成下列问题：
小丽作业： 解方程：． 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得．
(1)小丽解方程的结果“”是不是原方程的解？请写出判断过程．
(2)解方程．并判断所求“结果”是不是原方程的解，简要说明理由．
(3)反思以上过程，你有什么疑问或建议请写下来（一条即可）．
【题型3 由分式方程的增根求字母的值】
【例3】（24-25八年级·河北邢台·阶段练习）关于的分式方程．
（1）若方程的根为，则 ；
（2）若方程有增根，则
【变式3-1】（24-25八年级·吉林·期中）若关于x的方程有增根，则a的值为 ．
【变式3-2】（24-25八年级·四川眉山·期中）若分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【变式3-3】（24-25八年级·湖南娄底·期中）若关于的分式方程有增根，求的值．
【题型4 由分式方程有（无）解求字母的值】
【例4】（24-25八年级·江苏无锡·期中）若解关于x的方程时，该方程有解，则m （填满足条件）．
【变式4-1】（24-25八年级·北京顺义·期中）当 时，方程无解．
【变式4-2】（24-25八年级·湖南岳阳·期中）关于x的分式方程有解，则满足 ．
【变式4-3】（24-25八年级·四川绵阳·开学考试）若关于x的分式方程无解，则的值为 ．
【题型5 由分式方程的整数解求字母的值】
【例5】（24-25八年级·重庆·开学考试）已知关于x 的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组有解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ．
【变式5-1】（24-25八年级·湖南永州·期中）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．2 B．5 C．2或5 D．5或7
【变式5-2】（24-25八年级·重庆·阶段练习）如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为 ．
【变式5-3】（24-25八年级·重庆沙坪坝·期末）若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为（ ）
A． B．4 C． D．4或
【题型6 由由分式方程解的取值范围求字母的值】
【例6】（24-25八年级·吉林·期中）若关于的分式方程的解是正数，求的取值范围．
【变式6-1】（24-25八年级·福建泉州·期中）关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ．
【变式6-2】（2024八年级·全国·专题练习）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ．
【变式6-3】（24-25八年级·山东淄博·期中）若分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A． B．且
C． D．且
【题型7 换元法解分式方程】
【例7】（24-25八年级·陕西西安·阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：．
解：设，则原方程化为，方程两边同时乘y，得，
解得．经检验：都是方程的解．
当时，，解得；当时，，解得．
经检验：和都是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为或．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
用换元法解：．
【变式7-1】（24-25八年级·上海金山·阶段练习）用换元法解分式方程时，如果设将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是 ．
【变式7-2】（2024八年级·江苏·专题练习）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：．解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：，解得：，经检验：都是方程的解，当时，，解得，当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解，原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
(1)若在方程中，设，则原方程可化为：　　；
(2)若在方程中，设，则原方程可化为：　　；
(3)模仿上述换元法解方程：．
【变式7-3】（2024八年级·全国·专题练习）换元法解方程：．
【题型8 裂项法解分式方程】
【例8】（24-25八年级·江西景德镇·期末）马超同学在学习物理第七章第二节《怎样比较运动的快慢》时，遇到一个这样的问题：甲、乙两地之间为一座山丘，一同学从甲地到乙地先上坡再下坡，上坡速度为，下坡速度为，上坡和下坡路程相等，则这位同学从甲地到乙地的平均速度为多少？马超经过计算得出平均速度为．聪明的马超对公式进行变形得到，他马上联想到数学中也有类似变形，例如，，通过查阅资料知道了这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．请你利用上述方法，解决以下问题：
(1)计算：______；
(2)解方程：；
(3)若分式方程有增根，求m的值．
【变式8-1】（24-25八年级·四川绵阳·开学考试）解方程：．
【变式8-2】（24-25八年级·广东珠海·期末）李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：，利用上面这个运算规律解决以下问题：
(1)求的值；
(2)证明：；
(3)解方程：．
【变式8-3】（24-25八年级·广东广州·开学考试）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法．
观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法．
请用类比的方法，解决以下问题：
(1)①已知，则依据此规律____；
②请你利用拆项法进行因式分解：_____；
(2)若满足，求的值；
(3)受此启发，解方程．
【题型9 由实际问题抽象出分式方程】
【例9】（2024·江苏镇江·模拟预测）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得15个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（　　）
A． B．
C． D．
【变式9-1】（2024·江苏苏州·模拟预测）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 ．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/，根据题意列方程，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式9-2】（24-25八年级·山东泰安·期中）张老师和李老师同时从学校出发，乘车去距学校35千米的新华书店购买书籍，张老师比李老师每小时多走2千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？ 设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是 ．
【变式9-3】（2024·山东青岛·模拟预测）某商店第一次用600元购进铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．求第一次每支铅笔的进价．设第一次每支铅笔的进价是x元，根据题意得方程： ．
【题型10 分式方程的新定义问题】
【例10】（24-25八年级·北京·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．
例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”若不是，打“”．①（ ）；②（ ）．
(2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求的值．
(3)若数对 是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数的值．
【变式10-1】（24-25八年级·河南南阳·期中）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ．
【变式10-2】（24-25八年级·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．
例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”．
①（ ）；②（ ）；
③（ ）； ④（ ）；
(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值；
(3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值．
【变式10-3】20-21八年级·湖南长沙·阶段练习）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．如分式，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
(1)已知分式判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”；
(2)已知分式，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和；
(3)已知分式（a，b，c为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求的值．
【题型11 分式方程的规律探究】
【例11】（24-25八年级·重庆南岸·期中）观察下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；…根据以上规律，第个方程以及它的解是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【变式11-1】（24-25八年级·山东潍坊·阶段练习）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，若．（为正整数），则的值为 ．
【变式11-2】（24-25八年级·湖南衡阳·阶段练习）一列方程如下排列：
的解是；
的解是；
的解是；
……
根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ．
【变式11-3】（24-25八年级·河北·期末）已知（，且），，，…，．
（1）根据上述规律，可得 （用含字母的代数式表示）；
（2）当时， ；
（3）若的值为5，则的值为 ．
【题型12 分式方程的阅读材料题】
【例12】（24-25八年级·江苏泰州·阶段练习）阅读下列材料：
方程有两个解，它们是，；
关于x的方程：上有两个解，它们是，；
（即）的解是，；
的解是，；
的解是，；
…
(1)请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．
(2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：．
【变式12-1】（24-25八年级·广东广州·期末）阅读以下材料：
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的和与交换位置后两个新两位数的和相等，则称这样的两个两位数为“臻美数对”，例如，所以与、与都是“臻美数对”．
解决如下问题：
(1)请判断与是否是“臻美数对”？并说明理由；
(2)为探究“臻美数对”的本质，可设“臻美数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明之间满足怎样的数量关系，并证明“臻美数对”的两数和是的倍数；
(3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为，假设这两个数为“臻美数对”，求出这两个两位数．
【变式12-2】（24-25八年级·湖南邵阳·阶段练习）阅读下列材料，关于x的方程：的解是x1＝c，x2＝；（即）的解是x1＝c，x2＝；的解是：x1＝c，x2＝，…
（1）观察上述方程及其解的特征，直接写出关于x的方程（m≠0）的解，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（2）通过（1）的验证所获得的结论，你能解出关于x的方程：的解吗？若能，请求出此方程的解；若不能，请说明理由．
（3）已知：，且，求的值．
【变式12-3】（24-25八年级·江苏南通·期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为．
(1)理解应用：方程的解为： ______， _______；
(2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值；
(3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值．
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专题5.4 分式方程【十二大题型】
【北师大版】
【题型1 分式方程及其解】 1
【题型2 分式方程的一般解法】 3
【题型3 由分式方程的增根求字母的值】 7
【题型4 由分式方程有（无）解求字母的值】 9
【题型5 由分式方程的整数解求字母的值】 11
【题型6 由由分式方程解的取值范围求字母的值】 13
【题型7 换元法解分式方程】 16
【题型8 裂项法解分式方程】 19
【题型9 由实际问题抽象出分式方程】 24
【题型10 分式方程的新定义问题】 26
【题型11 分式方程的规律探究】 33
【题型12 分式方程的阅读材料题】 36
知识点1：分式方程
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
【题型1 分式方程及其解】
【例1】（24-25八年级·河南南阳·期中）给出以下方程：，，，，其中分式方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，进行逐一判断即可．
【详解】解：中分母不含未知数，不是分式方程；
中分母含有未知数，是分式方程；
中分母含有未知数，是分式方程；
中分母不含未知数，不是分式方程，
共有两个是分式方程，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是分式方程的定义，掌握定义并进行准确判断是解题的关键．
【变式1-1】（24-25八年级·河北秦皇岛·期中）已知分式方程的解为，则a的值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了分式方程解的意义，将代入分式方程即可得出答案．
【详解】解：∵分式方程的解为，
∴，
解得：，
故答案为：7．
【变式1-2】（24-25八年级·全国·课后作业）下列关于x的方程①，②，③1，④中，是分式方程的是__________.（填序号）
【答案】②
【分析】分式方程 分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程，等号两边至少有一个分母含有未知数．
【详解】根据分式方程的定义即可判断.符合分式方程的定义的是②.
【点睛】本题考查的是分式方程的定义，解题的关键是掌握分式方程的定义.
【变式1-3】（24-25八年级·湖南郴州·期中）已知关于的方程的解为，则关于的方程的解为
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，把分式方程化为整式方程解题的关键，分式方程一定要进行检验．
将代入关于x的方程中，求出，再将，代入关于y的方程中，求出，再进行检验即可得出答案．
【详解】解：∵方程的解为，
∴，解得：
当时，关于y的方程是：，
∴，
∴，
经检验：是关于y的方程的解．
故答案为：
知识点2：分式方程的解法
分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。
分式方程解方程的步骤：
①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
②解整式方程
③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
④作答
【题型2 分式方程的一般解法】
【例2】（24-25八年级·湖南常德·期中）关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，准确进行计算是解题的关键，注意要检验．
先将方程的解求出，再将该解代入，得到关于a的方程，最后解方程并在检验后得出结论．
【详解】解：解方程得；
经检验是方程的解；
∵两方程的解相同；
∴将代入方程中得，
解得，
经检验是方程的解
∴．
【变式2-1】（24-25八年级·山东烟台·期中）已知分式 （m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为 ．
x的取值 4 a 16
分式的值 无意义 0 b
【答案】
【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式的求值，解分式方程，代数式求值等等，分式无意义的条件是分母为0，据此可求出m的值；根据当时，分式的值为0，可求出n的值，进而得到关于a的方程，解方程求出a的值，再求出b的值即可得到答案．
【详解】解：∵当时分式无意义，
∴，
∴；
∵当时，分式的值为0，
∴，
∴；
∴，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
故答案为：．
【变式2-2】（24-25八年级·河南周口·期末）小明写出下列四个方程：①；②；③；④．其中有解的是 填写序号即可
【答案】④
【分析】此题考查了分式方程的解．根据分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根，即可得出答案．
【详解】解：①，
去分母得：，
则方程无解；
②，
，
，
去分母得：，
则原方程无解；
③，
去分母得：，
解得：，
经检验时，，
则原方程无解；
④，
，
，
，
经检验是原方程的解．
其中有解的是④．
故答案为：④．
【变式2-3】（24-25八年级·河南南阳·期中）如图是小丽同学完成的一道作业题．结合小丽作业，完成下列问题：
小丽作业： 解方程：． 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得．
(1)小丽解方程的结果“”是不是原方程的解？请写出判断过程．
(2)解方程．并判断所求“结果”是不是原方程的解，简要说明理由．
(3)反思以上过程，你有什么疑问或建议请写下来（一条即可）．
【答案】(1)小丽解方程的结果“”不是原方程的解，判断过程见解析
(2)解方程得，是原方程的解，理由见解析
(3)解分式方程最后一定要检验
【分析】本题主要考查了解分式方程：
（1）当时，，此时违背了分母不能为0的条件，据此可得结论；
（2）先解分式方程，再把求出的未知数的值代入公分母中，若公分母不为0，则该未知数的值是原方程的解，反之不是；
（3）围绕解分式方程最后一定要检验进行阐述即可．
【详解】（1）解：小丽解方程的结果“”不是原方程的解，判断过程如下：
∵当时，，而分式的不能为0，
∴不是原方程的解．
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解；
（3）解：根据（1）（2）可知，再解分式方程时，求出方程的解之后一定要把方程的解代入原方程中进行检验，若分母为0，则所得的解不是原方程的解，若分母不为0，则所对的解是原方程的解，即解分式方程最后一定要检验．
【题型3 由分式方程的增根求字母的值】
【例3】（24-25八年级·河北邢台·阶段练习）关于的分式方程．
（1）若方程的根为，则 ；
（2）若方程有增根，则
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的增根和分式方程的解，解题的关键使牢记增根的定义．
（1）将代入分式方程即可求解；
（2）分式方程的增根：使分式方程最简公分母为的未知数的值，根据增根的含义可得答案．
【详解】解：（1）将代入得：，
解得：；
（2），
，
，
的分式方程有增根，
，
，
；
故答案为：，．
【变式3-1】（24-25八年级·吉林·期中）若关于x的方程有增根，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【详解】解：，
去分母，得
，
∵方程有增根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式3-2】（24-25八年级·四川眉山·期中）若分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的增根：把分式方程化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分
式方程左右两边不成立（或分母为，那么这个未知数的值叫分式方程的增根．方程两边同乘以得，整理得，由于关于的方程有增根，则有，解得或，然后把或别代入即可求得对应的值．
【详解】解：依题意，原式去分母得，
整理得，
关于的方程有增根，
，
解得或，
当时，；
当时，，
的值为或，
故选：D．
【变式3-3】（24-25八年级·湖南娄底·期中）若关于的分式方程有增根，求的值．
【答案】的值为或．
【分析】本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键．
【详解】方程两边都乘，得，
则，
∵原方程增根为或，
∴把代入整式方程，得，
把代入整式方程，得，
∴的值为或．
【题型4 由分式方程有（无）解求字母的值】
【例4】（24-25八年级·江苏无锡·期中）若解关于x的方程时，该方程有解，则m （填满足条件）．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法以及增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程的解法以及增根的定义进行计算即可．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
该方程有解，
，
，
解得：，
故答案为．
【变式4-1】（24-25八年级·北京顺义·期中）当 时，方程无解．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程无解的情况，熟悉掌握分式方程无解的含义是解题的关键．
去分母后，根据无解时的取值情况运算求解即可．
【详解】解：对进行去分母可得：，
整理可得：，
∵当时，此分式方程无解，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【变式4-2】（24-25八年级·湖南岳阳·期中）关于x的分式方程有解，则满足 ．
【答案】且
【分析】本题考查了分式方程的含参问题，解题的关键重在结合题干的限定，同时不要忘记分母不能为0，故先去分母得到，再通过去括号、移项、合并同类项得到，再根据分式方程有意义的条件即可得到答案．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：，
∵该方程有解，
∴且，
∴且，
∴且，
故答案为：且
【变式4-3】（24-25八年级·四川绵阳·开学考试）若关于x的分式方程无解，则的值为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，根据分式方程无解的两种情况即可求出的值．
【详解】解：
去分母得，
，
当增根为或时，
或
解得或，
即或时，分式方程无解，
当时，即时，整式方程无解，分式方程无解，
综上可知，当的值为或或．
故答案为：或或．
【题型5 由分式方程的整数解求字母的值】
【例5】（24-25八年级·重庆·开学考试）已知关于x 的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组有解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为整数确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组有解且至多5个整数解，确定出a的取值，即可求解，
本题考查了，分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】解：分式方程得：，
∵分式方程有整数解，
∴或或或，且，即，
解得：或2或或3或4或或7，
不等式组整理得：，即，
由不等式组有解且至多5个整数解，得到，解得：，
∴则符合条件的所有整数a的为和，和为，
故答案为：．
【变式5-1】（24-25八年级·湖南永州·期中）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．2 B．5 C．2或5 D．5或7
【答案】B
【分析】先解方程得，，因为分式方程有正整数解，进而可得到整数m的值．
【详解】解：原方程为，，
可化为整式方程，，
解得，
经检验，是分式方程的解，
∵分式方程有正整数解，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意；
∴整数m的值是5，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是准确求出分式方程的整数解．
【变式5-2】（24-25八年级·重庆·阶段练习）如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为 ．
【答案】13
【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程、一元一次不等式组的解法是解题关键．先根据不等式组无解求得，再解分式方程得，然后根据分式方程的解为非负整数得且，最后根据为整数，为非负整数，确定出符合条件的所有整数，即可得出答案．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组无解
分式方程去分母得：
分式方程的解为非负整数
且
且
解得：且
为整数，为非负整数
，5，7
符合条件的所有整数的和为：
故答案为：13．
【变式5-3】（24-25八年级·重庆沙坪坝·期末）若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为（ ）
A． B．4 C． D．4或
【答案】C
【分析】先解分式方程，再根据是一个完全平方式求出a的值，最后找出符合条件的值．
【详解】方程两边同时乘以得
去括号得
移项合并同类项得
∵是一个完全平方式，
∴，
解得，
∵关于y的分式方程的解为整数，
当时，，经检验，是原分式方程的解；
当时，，此时分式分母为0；
故选C．
【点睛】本题考查了解分式方程和完全平方式，求出y的值后注意检验．
【题型6 由由分式方程解的取值范围求字母的值】
【例6】（24-25八年级·吉林·期中）若关于的分式方程的解是正数，求的取值范围．
【答案】的取值范围为且．
【分析】本题主要考查了解分式方程，先根据解分式方程的一般步骤求出的表达式，然后根据分式方程的解为正数列不等式求解即可，根据分式方程解的情况求参数的范围，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
；
∵关于的分式方程的解是正数，
∴，
解得：且，
∴的取值范围为且．
【变式6-1】（24-25八年级·福建泉州·期中）关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，表示出，根据分式方程的解为正数，得到大于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围．
【详解】解：解得，
关于的分式方程的解为非正数，
，
解得：，
，
，
，
，
的取值范围是且，
故答案为：且．
【变式6-2】（2024八年级·全国·专题练习）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ．
【答案】，
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的运算法则，以及分式有意义的条件，
把m当作已知数，根据解分式方程的运算法则求出x，再根据分式方程的解为非负数，即可得出m的取值范围，再根据分式方程有意义的条件即可求解，
【详解】解：
，
关于x的方程的解为非负数，
解得：，
又
即，
即，
故答案为：且
【变式6-3】（24-25八年级·山东淄博·期中）若分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先把原方程化为整式方程，再解方程，接着根据方程的解为正数求出m的范围，再根据分母不为0，即可确定m的最终取值范围．
【详解】解：
去分母得：，
解得，
∵分式方程的解为正数，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
综上所述，且，
故选：B．
【题型7 换元法解分式方程】
【例7】（24-25八年级·陕西西安·阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：．
解：设，则原方程化为，方程两边同时乘y，得，
解得．经检验：都是方程的解．
当时，，解得；当时，，解得．
经检验：和都是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为或．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
用换元法解：．
【答案】答案见解析．
【分析】按照材料中分式方程换元的方法，可设，原方程化为，按照解分式方程的方法，可求得的值，进而求得的值．
【详解】解：设，则原方程化为．
方程两边同时乘，得
，
解得．
经检验：都是的解．
当时，
，
解得．
当时，
，
解得．
经检验：和都是原分式方程的解．
所以原分式方程的解为和．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，牢记分式方程的解题步骤是解答的关键．
【变式7-1】（24-25八年级·上海金山·阶段练习）用换元法解分式方程时，如果设将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是 ．
【答案】
【分析】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，体现了整体思想．设，则，进而将原方程变为，再去分母即可．
【详解】解：设，则，
原方程可变为：，
两边都乘以得，，
故答案为：．
【变式7-2】（2024八年级·江苏·专题练习）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：．解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：，解得：，经检验：都是方程的解，当时，，解得，当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解，原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
(1)若在方程中，设，则原方程可化为：　　；
(2)若在方程中，设，则原方程可化为：　　；
(3)模仿上述换元法解方程：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．
（1）和（2）将所设的代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出的值并检验是否为原方程的解，然后求解的值即可．
【详解】（1）解：将代入原方程，则原方程化为；
故答案为：；
（2）将代入方程，则原方程可化为；
故答案为：；
（3）原方程化为：，
设，则原方程化为：，
方程两边同时乘得：，
解得：，
经检验：都是方程的解．
当时，，该方程无解；
当时，，解得：；
经检验：是原分式方程的解，
原分式方程的解为．
【变式7-3】（2024八年级·全国·专题练习）换元法解方程：．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的解法．利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
【详解】解：原方程可化为，设，则原方程可化为，
方程两边同时乘y，得，
解得，
经检验，都是方程的解；
当时，，该方程无解；
当时，，解得，
经检验，是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为．
【题型8 裂项法解分式方程】
【例8】（24-25八年级·江西景德镇·期末）马超同学在学习物理第七章第二节《怎样比较运动的快慢》时，遇到一个这样的问题：甲、乙两地之间为一座山丘，一同学从甲地到乙地先上坡再下坡，上坡速度为，下坡速度为，上坡和下坡路程相等，则这位同学从甲地到乙地的平均速度为多少？马超经过计算得出平均速度为．聪明的马超对公式进行变形得到，他马上联想到数学中也有类似变形，例如，，通过查阅资料知道了这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．请你利用上述方法，解决以下问题：
(1)计算：______；
(2)解方程：；
(3)若分式方程有增根，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)4或8
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，解分式方程：
（1）根据题意把所求式子裂项求解即可；
（2）把裂项变成，再化简解分式方程即可；
（3）先把式子，裂项变成，，再化简得到，再根据分式方程有增根进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解；
（3）解：∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∵原方程有增根，
∴当时，，
当时，，
当时，（舍去）
综上所述，m的值为4或8．
【变式8-1】（24-25八年级·四川绵阳·开学考试）解方程：．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
先去分母非常麻烦，通过观察分式特点，联想到“”， 可考虑化积为差，裂项抵消来简化运算，然后将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可．
【详解】解:原方程变形为:
，
合并，得，
去分母，得
经检验，是原方程的根．
【变式8-2】（24-25八年级·广东珠海·期末）李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：，利用上面这个运算规律解决以下问题：
(1)求的值；
(2)证明：；
(3)解方程：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据“裂项”的方法，计算即可；
（2）根据“裂项”的方法，计算证明即可；
（3）首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）证明：
，
∵，
∴，
∴；
（3）解：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
检验：是原分式方程的解，
∴原方程的解为．
【点睛】本题考查了有理数四则混合运算、解分式方程，解本题的关键在理解题意，充分利用运算规律计算．
【变式8-3】（24-25八年级·广东广州·开学考试）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法．
观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法．
请用类比的方法，解决以下问题：
(1)①已知，则依据此规律____；
②请你利用拆项法进行因式分解：_____；
(2)若满足，求的值；
(3)受此启发，解方程．
【答案】(1)①；②；
(2)；
(3)．
【分析】（1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解；
（2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解；
（3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可．
【详解】（1）解：①∵
∴类比得，
故答案为：；
②，
故答案为：；
（2）解：∵满足，即
∴，，
解得，，
∴，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程．
【题型9 由实际问题抽象出分式方程】
【例9】（2024·江苏镇江·模拟预测）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得15个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是设甲农妇有x个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，根据题目中的等量关系，列出方程即可．
【详解】解：设甲农妇有x个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，根据题意，得：
，
整理得．
故选：A．
【变式9-1】（2024·江苏苏州·模拟预测）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 ．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/，根据题意列方程，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出用水量是解题关键．利用总水费单价用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多，进而得出等式即可．
【详解】解：设去年居民用水价格为x元/，根据题意列方程：
，
故选：A.
【变式9-2】（24-25八年级·山东泰安·期中）张老师和李老师同时从学校出发，乘车去距学校35千米的新华书店购买书籍，张老师比李老师每小时多走2千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？ 设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是分式方程的应用．李老师每小时走x千米，张老师每小时走千米，利用张老师比李老师早到半小时，再建立分式方程求解即可．
【详解】解：李老师每小时走x千米，张老师每小时走千米，
根据时间的关系可列方程为：，
故答案为：．
【变式9-3】（2024·山东青岛·模拟预测）某商店第一次用600元购进铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．求第一次每支铅笔的进价．设第一次每支铅笔的进价是x元，根据题意得方程： ．
【答案】
【分析】本题考查了列分式方程．设第一次每支铅笔的进价是元，则第二次每支铅笔的进价是元，根据数量总价单价结合第二次比第一次少购进30支，即可得出关于的分式方程．
【详解】解：设第一次每支铅笔的进价是元，则第二次每支铅笔的进价是元，
根据题意得：，
故答案为：．
【题型10 分式方程的新定义问题】
【例10】（24-25八年级·北京·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．
例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”若不是，打“”．①（ ）；②（ ）．
(2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求的值．
(3)若数对 是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数的值．
【答案】(1)①×；②√；
(2)；
(3)或
【分析】（1）根据“关联数对”定义分别判断即可；
（2）根据“关联数对”定义计算即可；
（3）根据“关联数对”定义计算即可；
【详解】（1）解：当，时，
分式方程为：分式方程，方程无解，故①的答案是×，
当，时，
分式方程为：分式方程，方程的解为：，
∵，
故②的答案是√；
（2）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”，
∴，，
∴，
解得：；
（3）解：∵数对 是关于x的分式方程的“关联数对”，
∴，，
∴，
∴，
化简得：，
解得：，
∵关于x的方程有整数解，
∴或，
解得：或或1或，
∵，
∴或
【点睛】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键．
【变式10-1】（24-25八年级·河南南阳·期中）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，新定义，根据新定义得到，解分式方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
【变式10-2】（24-25八年级·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．
例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”．
①（ ）；②（ ）；
③（ ）； ④（ ）；
(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值；
(3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值．
【答案】(1)①；②；③；④
(2)
(3)
【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键．
（1）根据“关联数对”定义分别判断即可；
（2）根据“关联数对”定义计算即可；
（3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可．
【详解】（1）解：当，时，分式方程为，，
∵，
∴①不是关于的分式方程的“关联数对”；
当，时，分式方程为，
解得：，
，
②不是关于的分式方程的“关联数对”；
当，时，分式方程为，
解得，
，
③是关于的分式方程的“关联数对”；
当，时，分式方程为，
此方程无解，
④是关于的分式方程的“关联数对”；
故答案为：①；②；③；④．
（2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”，
，
解得：，
，
解得；
（3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”，
，，
，
解得，
∵可化为，
∴，
解得：，
方程有整数解，
整数，即，
又，，
．
【变式10-3】20-21八年级·湖南长沙·阶段练习）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．如分式，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
(1)已知分式判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”；
(2)已知分式，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和；
(3)已知分式（a，b，c为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求的值．
【答案】(1)C不是D的“雅中式”，理由
(2)，27
(3)或或或
【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
（1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案；
（2）由定义可得：整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案；
（3）由定义可得： 整理可得：从而可得：，再消去，结合因式分解可得结合、、为整数，分类讨论后可得答案．
【详解】（1）解：C不是D的“雅中式”，理由如下：
不是的“雅中式”．
（2）解： 关于的“雅中值”是，
，
，
，
为整数，且“雅中式”的值也为整数，
是的因数，
可能是：
的值为：
的值为：
（3）解： 是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，
整理得：
由上式恒成立：
消去可得：
、、为整数
为整数，
当时，
此时：
当时，
此时：
当时，
此时：
当时，
此时：
综上：的值为：或或或
【题型11 分式方程的规律探究】
【例11】（24-25八年级·重庆南岸·期中）观察下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；…根据以上规律，第个方程以及它的解是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】先由所给方程找出规律，根据规律写出第个方程再求该方程的解．
【详解】解：（1）可化为；（2）可化为；（3）可化为；
经观察，第个方程为：．
将方程两边同乘以，得
，即．
由题意知
经检验是原方程的解，
故选：B．
【点睛】本题考查了方程的规律及其解，解题的关键是应先根据所给方程找出规律，根据规律列出第个方程，最后求解．
【变式11-1】（24-25八年级·山东潍坊·阶段练习）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，若．（为正整数），则的值为 ．
【答案】4047
【分析】本题考查了找规律-图形类，先根据已知图形得出，代入到方程中，再利用所得规律化简即可．
【详解】解：由图形知，，，，
，
可化为：，
，
，
解得：或0（不合题意，舍去），
故答案为：4047．
【变式11-2】（24-25八年级·湖南衡阳·阶段练习）一列方程如下排列：
的解是；
的解是；
的解是；
……
根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ．
【答案】
【分析】本题考查了方程的解，观察方程得出规律是解题的关键．根据观察，可发现规律：第一个的分子是分母是解的二倍，第二个分子是减比解小1的数，分母是2，可得答案．
【详解】解：由一列方程如下排列：
的解是，
的解是，
的解是，
得第一个的分子是分母是解的二倍，第二个分子是减比解小1的数，分母是2，
解是的方程：，
故答案为：．
【变式11-3】（24-25八年级·河北·期末）已知（，且），，，…，．
（1）根据上述规律，可得 （用含字母的代数式表示）；
（2）当时， ；
（3）若的值为5，则的值为 ．
【答案】
【分析】（1）把代入中即可求得；
（2）再求出，，，，，则可得出规律，即可求得，从而求得当时的值；
（3）由（2）的结论，当的值为5时，得关于的方程，解方程则可求得的值．
【详解】（1）把代入中，得，
故答案为：；
（2）当时，；当时，；当时， ，当时，；当时，；…，由此可得：每三次一循环，而，即，
当时，；
故答案为：；
（3），则，解得；
故答案为：．
【点睛】本题是分式的规律探索问题，考查了分式的运算，解分式方程等知识，关键是由特殊出发得到一般规律．
【题型12 分式方程的阅读材料题】
【例12】（24-25八年级·江苏泰州·阶段练习）阅读下列材料：
方程有两个解，它们是，；
关于x的方程：上有两个解，它们是，；
（即）的解是，；
的解是，；
的解是，；
…
(1)请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．
(2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：．
【答案】(1)见解析
(2)，．
【分析】（1）找到规律：的解为，，据规律解题即可．
（2）根据例题解方程即可求解．
【详解】（1）猜想的解是，．
验证：当时，方程左边，方程右边，
方程成立；
当时，方程左边，方程右边，
方程成立；
的解是，；
（2）由得，
，，
，．
【点睛】考查解分式方程，通过观察，比较，猜想，验证，可以得出结论.解决此题的关键是理解题意，认真审题，寻找规律.
【变式12-1】（24-25八年级·广东广州·期末）阅读以下材料：
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的和与交换位置后两个新两位数的和相等，则称这样的两个两位数为“臻美数对”，例如，所以与、与都是“臻美数对”．
解决如下问题：
(1)请判断与是否是“臻美数对”？并说明理由；
(2)为探究“臻美数对”的本质，可设“臻美数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明之间满足怎样的数量关系，并证明“臻美数对”的两数和是的倍数；
(3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为，假设这两个数为“臻美数对”，求出这两个两位数．
【答案】(1)是，理由见详解
(2)，理由见详解；证明见详解
(3)
【分析】本题考查了整式的加减、分式的运算和分式方程，读懂题意是解题关键．
（1）根据“臻美数对”的定义即可求解；
（2）结合“臻美数对”的定义及整式的加减即可求解；
（3）由（2）的结合分式的加减即可求解．
【详解】（1）解：将与各自的十位数字和个位数字交换位置可得：，
，
与是“臻美数对；
（2），理由如下：
由题意得：
，
移项合并同类项可得：
，
左右两边同时除以9可得：
；
两“臻美数对”的和为：
两“臻美数对”的和是的倍数；
（3）这两个数为“臻美数对”，
即
解得：，
，；
，，
这两个数分别为：．
【变式12-2】（24-25八年级·湖南邵阳·阶段练习）阅读下列材料，关于x的方程：的解是x1＝c，x2＝；（即）的解是x1＝c，x2＝；的解是：x1＝c，x2＝，…
（1）观察上述方程及其解的特征，直接写出关于x的方程（m≠0）的解，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（2）通过（1）的验证所获得的结论，你能解出关于x的方程：的解吗？若能，请求出此方程的解；若不能，请说明理由．
（3）已知：，且，求的值．
【答案】（1），，验证见解析；（2），；（3）
【分析】（1）根据材料总结即可得出方程的解，然后代入验证即可；
（2）通过配凑的方法构造出与材料中的方程相同的形式，然后结合（1）的思路求解即可；
（3）同样运用配凑的方法进行变形，从而求出a与b之间的关系式，结合已知条件判断符合题意的情况，再变形求解即可．
【详解】（1）观察发现，，，
将代入得：
左边右边，
将代入得：
左边右边，
∴，，是方程的解；
（2）能，，，解法如下：
对于方程，，
左右同时减1变形为，，
根据（1）的结论可得，或，
∴，；
（3）对于方程，
左右同时加1变形为，，
∴或，
∵，
∴只有成立，
对上式整理得：，
即：，
∴左右同时除以得：，
∴．
【点睛】本题考查与分式方程相关的探究问题，首先要理解材料中的信息，总结出一般规律，然后熟练运用整体思想求解是解题关键．
【变式12-3】（24-25八年级·江苏南通·期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为．
(1)理解应用：方程的解为： ______， _______；
(2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值；
(3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值．
【答案】(1)3，
(2)21
(3)
【分析】本题主要考查了分式方程的解、完全平方公式、代数式求值等知识点，理解阅读材料的方法是解题的关键．
（1）根据材料所给的结论解答即可；
（2）由题意可得，再由完全平方公式可得，然后代入计算即可；
（3）由可得,令，则，
进而得到，即，然后验证其符合题意，最后代入计算即可．
【详解】（1）解：∵关于x的方程的解为，
∴，即的解为：．
故答案为：．
（2）解：∵，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
令，则，
∵关于x的方程的解为，
∴方程的解为：，即，
∴，
∵，
∴符合题意，
∴．
1
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