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专题5.3 分式的运算【十大题型】
【北师大版】
【题型1 已知分式恒等式求分子（分母）】 2
【题型2 分式的混合运算】 4
【题型3 分式的化简求值】 7
【题型4 比较分式的大小】 10
【题型5 分式运算的实际应用】 13
【题型6 分式运算的规律探究】 18
【题型7 分式运算的新定义问题】 21
【题型8 分式运算的阅读材料题】 26
【题型9 整数指数幂】 31
【题型10 利用科学记数法表示小于1的正数】 32
知识点1：分式的运算
分式的乘除法法则：
1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即：
2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即：
3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。=
4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括号外的。
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式.
分式的加减法则：
1）同分母分式：分母不变，分子相加减
2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减
注：①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分;②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。
【题型1 已知分式恒等式求分子（分母）】
【例1】（24-25八年级·湖南长沙·阶段练习）已知，其中，，，为常数，则 ．
【答案】6
【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：，且，
当时，①
当时，②
当时，③
∵,
即
∴④
联立解之得
、、，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题．
【变式1-1】（24-25八年级·浙江台州·期末）已知，且，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查分式的加减，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会恒等变形，由题意，可得，因为，所以，推出，由此即可解决问题．
【详解】解析：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
【变式1-2】（24-25·山东烟台·八年级统考期末）若 ，其中a，b为常数，则 ．
【答案】1
【分析】原等式整理变形后得：，可得，求出a、b即可得到答案．
【详解】解：已知等式整理得： ，
∴，
可得，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式的变形求值，正确得到是解题的关键．
【变式1-3】（24-25八年级·山东威海·阶段练习）若，对任意自然数都成立，则 ．
【答案】/
【分析】先通分，使得等式左右两边式子分母一致，从而得到，进而得到关于a、b的方程组，解方程得出a、b的值，即可得到答案．
【详解】解：
，
，对任意自然数都成立，
，即，
解得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加法运算，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
【题型2 分式的混合运算】
【例2】（24-25八年级·辽宁葫芦岛·期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，分式的化简．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键．
利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果．
【详解】解：由题意知，
被污染的代数式为，
故选：C．
【变式2-1】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　）

A．段① B．段②
C．段③ D．段④
【答案】B
【分析】先将分式化简、变形为，由x为正整数知，据此可得，从而得出答案．
【详解】解：
=
∵x为正整数，
∴，，
∴，
∴
∴表示的值的点落在②．
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
【变式2-2】（2024·山东烟台·八年级统考期末）根据如图所示的程序，求输出的化简结果．
【答案】
【分析】根据题意列式，再结合分式混合运算法则进行计算即可．本题考查分式的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
【详解】解：依题意：
．
∴输出的化简结果为
【变式2-3】（24-25八年级·河北保定·期末）式子的值不可能等于(　　)
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】C
【分析】根据分式的加减运算，对式子进行化简，然后根据分式有意义，即可得出答案.
【详解】解：
= ，
分式的值不能为0，因为只有a=b=c时，分母才为0，此时分式没意义，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算以及分式有意义的定义，解题的关键是分式的加减运算要正确进行通分，以及注意分式的分母不能为零.
【题型3 分式的化简求值】
【例3】（24-25八年级·贵州遵义·期末）下面是小星同学进行分式化简的过程：
化简 解：原式 第一步 第二步 第三步
(1)小星同学的化简过程从第_____________步开始出现错误；
(2)请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数带入求值．
【答案】(1)二
(2)，当时，原式
【分析】本题考查了分式的化简求值．
（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有有意义的条件，得出x的值，最后将x的值代入进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号，
∴小星同学的化简过程从第二步开始出现错误，
故答案为：二；
（2）解：
；
∵，
∴，
当时，原式．
【变式3-1】（24-25八年级·河北石家庄·期末）已知时，代数式的值为（ ）
A．6 B．－2 C．6或－2 D．0
【答案】B
【分析】本题考查分式化简求值．先化简分式，再把代入计算即可．
【详解】解：
∵
∴
∵
∴
当时，原式．
故选：B．
【变式3-2】（24-25八年级·山东菏泽·期中）已知
(1)化简W；
(2)若a，2，3恰好是△ABC的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值．
【答案】(1)
(2)当时，；当时，．
【分析】本题考查了分式的混合运算，三角形三边的关系，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
（1）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简；
（2）根据三角形三边的关系求出a的取值范围，然后去一个使原分式有意义的整数代入计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵a，2，3恰好是△ABC的三边长，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴a可以取得整数为2或4，
当时，；
当时，．
【变式3-3】（24-25八年级·全国·课堂例题）如图，将四张长、宽分别为的长方形硬纸片拼成一个中间“带孔”的大正方形，已知拼成的大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，求的值．

【答案】14
【分析】根据题意得到，，根据完全平方公式求出、根据分式的乘除法法则把原式化简，代入计算即可．
【详解】解：由题意得，，，，，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
【题型4 比较分式的大小】
【例4】（24-25八年级·广西来宾·期末）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式、的大小，只要作出差：若，则；若，则；若，则．
【解决问题】
(1)若，则________0（填、或）；
(2)已知，，当时，比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查不等式的性质及分式的运算，熟练掌握不等式的性质并能够灵活运用是本题的关键．
（1）并根据作出判断即可；
（2）计算，并根据作出判断即可；
【详解】（1），
，
．
故答案为：．
（2）．理由如下：
．
，
，
，
．
【变式4-1】（24-25八年级·河北保定·期末）两个分式A＝，B＝﹣，（其中x≠±2，）则A和B的关系是（　　）
A．A＝B B．AB＝1 C．A＞B D．A+B＝0
【答案】D
【分析】先把B式进行化简，再判断出A和B的关系即可．
【详解】∵B＝
＝，
∴A和B互为相反数，即A+B＝0．
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式的加减法，先根据题意判断出A和B互为相反数是解答此题的关键．
【变式4-2】（24-25八年级·广东梅州·期中）设，，则m，n的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：
故选：D
【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
【变式4-3】（24-25八年级·贵州六盘水·阶段练习）阅读下列材料，回答问题：爱动脑的小明在学习不等式知识时，查阅资料了解到：当给出不等式时，我们可以将表示为（其中为增量），从而将用代换进一步变形不等式．结合“作差法比较大小”，小明创新出一种证明不等式的方法——增量代换作差法证明不等式．
例如：已知，，求证：．
证明：令，，其中，，
作差得：
∵，
∴，，
∴
所以：．
根据上述材料，解决下列问题：
(1)已知，求证：；
(2)已知，试比较代数式与的大小．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了不等式的性质，分式的加减计算：
（1）令，，其中，，则可得，据此可证明结论；
（2）先得到，进而得到，进一步推出，再由即可得到结论．
【详解】（1）证明：令，，其中，，
∴
，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴，
∴．
【题型5 分式运算的实际应用】
【例5】（24-25八年级·天津和平·期末）有一块边长为x米的正方形空地，计划按如图所示的方式去种植草皮（图中阴影部分种植草皮）．方式一，在正方形空地上留两条宽为2a米的互相垂直的路；方式二，在正方形空地四周各留一块边长为a米的小正方形空地种植树木，现准备用5000元购进草皮．关于哪种方式种植草皮的单价高以及较高的单价是较低的单价的多少倍（　　）
A．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍
B．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍
C．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍
D．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍
【答案】A
【分析】先求出每种方式草皮的面积，再5000元除以面积，即可得出答案；列出算式两种草皮单价之比为：，再求出即可．
【详解】解：方式一种植草皮每平方米的单价是5000÷[x2﹣2ax﹣2ax+（2a）2]＝（元）；
方式二种草皮每平方米的单价是5000÷（x2﹣4a2）＝＝（元），
∵x+2a＞x﹣2a，
∴＞，
∴用方式一比用方式二种植草皮的单价高，
两种草皮单价之比为：
＝
＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了列代数式与分式的混合运算的应用，解此题的关键是能关键题意列出算式，熟练进行计算．
【变式5-1】（24-25八年级·河北保定·期末）有甲，乙两块边长为a米的正方形试验田．负责试验田的杨师傅将试验田的形状进行了调整（如图）：沿甲试验田的一边在试验田内修了1米宽的水池，又在邻边增加了1米宽的田地；沿乙试验田的一组邻边在试验田内均修了1米宽的小路．杨师傅在调整后的试验田上种植了某种小麦，其中甲试验田收获了180千克小麦，乙试验田收获了130千克小麦，对于这两块试验田的单位面积产量，下列说法正确的是（）
A．甲试验田的单位面积产量高 B．乙试验田的单位面积产量高
C．两块试验田的单位面积产量一样 D．无法判断哪块试验田的单位面积产量高
【答案】D
【分析】根据单位面积产量=产量÷面积，分别表示出甲、乙的单位面积产量，再比较即可．
【详解】解∶甲的单位面积产量为∶(干克/平方米)，
乙的单位面积产量为∶(千克/平方米)，
则无法判断哪块试验田的单位面积产量高．
故选：D．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是分别表示出甲、乙的单位面积产量．
【变式5-2】（24-25八年级·河北石家庄·期末）某资料上有这样一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．”下面是小刚和小明的对话，请根据对话内容回答问题．
(1)请你通过计算，验证小明的说法；
(2)假设某住宅窗户面积为平方米，地板面积为平方米，且，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件变好了吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)条件会更好，见解析
【分析】（1）根据题意计算出增加1平方米前面窗户面积与地板面积的比值进行比较即可；
（2）根据题意表示出增加1平方米前面窗户面积与地板面积的比值，利用作差法比较大小即可．
【详解】（1）解：∵住宅窗户面积为3平方米，地板面积为15平方米，∴
∵窗户面积和地板面积同时增加1平方米，∴
∵，∴所以窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅采光条件会更好．
（2）∵窗户面积为平方米，地板面积为平方米，∴
∵窗户面积和地板面积同时增加1平方米，∴
∴，
∵，∴，，
∴，∴，
∴窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件会更好．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，弄清作差法比较大小的方法是解本题的关键．
【变式5-3】（24-25八年级·江苏扬州·期中）数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．
(1)糖水实验一：加入克水，则糖水的浓度为_____________．生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式_____________，我们趣称为“糖水不等式”．
(2)糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，则糖水的浓度为____________．根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”____________．
(3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设为三边的长，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可；
（2）加入克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可；
（3）利用（2）的结论来证明即可．
【详解】（1）解： 由题意得，加入克水，糖水为克，
∴糖水的浓度为；
∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小，
∴；
故答案为：；．
（2）解：由题意得，加入克糖，糖水为克，糖为克，
∴糖水的浓度为；
假设新的“糖水不等式”为，下面用数学知识证明：
，其中，
∴，
∴，即，
故答案为：；．
（3）证明：由（2）可知
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键．
【题型6 分式运算的规律探究】
【例6】（24-25八年级·山东青岛·阶段练习）观察下列各式：
，，，
(1)由此推测________
(2)请你用含字母m的等式表示一般规律（m表示整数）
(3)请直接用（2）的规律计算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)0
【分析】本题考查数字的变化类以及分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，求出所求式子的值．
（1）根据题目中的例子的计算方法可以解答本题；
（2）根据（1）中的例子可以写出含m的等式；
（3）根据（2）中的规律进行分式的混合运算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：由（）可得
；
（3）解：
．
【变式6-1】（24-25八年级·福建泉州·期末）观察下列等式：，，，…；根据其蕴含的规律可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】归纳总结得到一般性规律，即可得到结果．
【详解】由a1=n，得到：
以为循环节3次一循环，
∵2013÷3=671，
∴
故选D．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式6-2】（24-25八年级·山东枣庄·期末）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：_________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查找规律，分式的运算．
（1）根据题目中的等式，可以写出第4个等式；
（2）先写出猜想，然后将等号两边的式子化简，即可证明猜想成立．
【详解】（1）解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
∴第4个等式为：；
故答案为：；
（2）解：第n个等式为：，
证明：∵左边，
右边左边，
∴．
【变式6-3】（24-25八年级·安徽亳州·期末）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．
【详解】（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；

第6个等式：；
故答案为：；
（2）猜想：第个等式：，
证明：∵
，
∴成立．
故答案为：．
【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，分式的混合运算，平方差公式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明．
【题型7 分式运算的新定义问题】
【例7】（24-25八年级·江苏无锡·期中）定义：若两个分式A与B满足：，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式 ．
【答案】或
【分析】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．
根据分式与互为“美妙分式”，得到，求出①，②，分别把①②代入分式中求出结果即可．
【详解】与互为“美妙分式”，
，
，
或，
或，
、均为不等于的实数，
①，②，
把①代入，
把②代入，
综上：分式的值为或．
故答案为：或．
【变式7-1】（24-25八年级·江苏南通·期末）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．
(1)下列3组分式：
①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有____________（只填序号）；
(2)若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”；
(3)若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值．
【答案】(1)②③
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查了分式的加减运算，求解分式的值，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．
（1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断；
（2）根据a，b互为倒数，得ab=1，把 代入 计算出结果即可；
（3）根据分式与属于“友好分式组”，得求出①a=-4b，②ab=4b2-2a2，分别把①②代入分式求出结果即可．
【详解】（1）解：①
② ；
③
则
∴属于“友好分式组”的有②③．
故答案为：②③
（2）∵a，b互为倒数，
∴，，
∴
∴与属于“友好分式组”
（3）
∵a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，
或
把①代入
把②代入
∴的值为或
【变式7-2】（24-25八年级·浙江湖州·期末）新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（ ）
A．是的“3分式”
B．若的值为，则是的“2分式”
C．若是的“1分式”，则
D．若与互为倒数，则是的“5分式”
【答案】C
【分析】根据新定义运算逐个验证正确与否即可．
【详解】A、，A说法正确；
B、，B说法正确；
C、由已知条件得：，化简得：，C说法错误；
D、由已知得：，，D说法正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义运算，解题的关键是正确运用新定义的运算规则．
【变式7-3】（24-25八年级·浙江杭州·期末）定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的一个字母（x）均换成另一个字母（y），同时另一个字母（y）均换成这个字母（x），若所得代数式是和原代数式相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”．如，，等．
(1)代数式①，②，③，④中，是对称式的有____．
(2)若关于m，n的代数式（k是常数，）是对称式，求常数k的值．
(3)在（2）的条件下，若，当时，求的值．
【答案】(1)②③④
(2)
(3)
【分析】本题考查新定义，代数式的运算，以及利用完全平方公式的变形求值：
（1）根据新定义，逐一进行判断即可；
（2）根据新定义，进行求解即可；
（3）将值代入求出的值，再利用完全平方公式变形求值即可．
【详解】（1）解：对于①，将互换后，得到，不符合题意；
对于②，将互换后，得到，符合题意；
对于③，将互换后，得到，符合题意；
对于④，将互换后，得到，符合题意；
故答案为：②③④
（2）∵是对称式，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）由题意，得：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【题型8 分式运算的阅读材料题】
【例8】（24-25八年级·福建泉州·阶段练习）阅读材料，并解决问题：
我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于字母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式，如：，再如：
，这样，分式就被拆分成了带分式（即一个整式与一个分式的差）的形式．
解决问题：
(1)判断：是真分式还是假分式：　　　（填“真分式”或“假分式”）；如果是，化成带分式的形式：　　　　；
(2)思考：当x取什么整数时，分式的值为整数？
(3)探索：当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？
【答案】(1)假分式；
(2)当时，原式为整数
(3)，5
【分析】本题考查了分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母化简．
（1）根据题意判断，即可求解；
（2）分式若为整数，则真分式的值要为整数，即可求解；
（3）分式拆分成带分式即的形式．利用完全平方公式将分母变形，求出分母的最小值即可得原分式的最大值．
【详解】（1）解：分子，分母的次数相等，
故答案为：假分式；
（2）解：原式，
当时，原式为整数；
（3）解：，
，
时，有最小值，值最大，
，即时，，
当a为2，分式有最大值，最大值是5.
【变式8-1】（24-25八年级·江苏徐州·期中）【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．
例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：设，则．
原式
∴．
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
【应用】
(1)使用分离整式法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；
(2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；
【拓展】
(3)已知分式的值为整数，求正整数x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)4或2或16
【分析】（1）根据题意将化简为一个整式与一个分式和的形式即可；
（2）设，则，根据例题将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式；
（3）设，则，先将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式，然后再根据结果是整数进行分析即可求解．
【详解】（1）解： ，
故答案为：；
（2）设，则，
∴
∴，
故答案为：；
（3）设，则，
∴
∵分式的值为整数，且x是正整数，∴，，
由，得或
由，得或（舍）
∴正整数x的值为4或2或16．
【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键是正确理解题目给出的方法，熟练掌握运算法则．
【变式8-2】（24-25八年级·河南南阳·期中）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．
例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得
，依据题意，得，解得，所以请你适用上面所学到的方法，解决下面的问题：
(1)将分式表示成部分分式；
(2)按照（1）的规律，求的值．
【答案】(1)，见解析．
(2)．
【分析】（1）模仿阅读材料可得答案；
（2）根据（1）的规律变形，再计算即可．
【详解】（1）解：设，
∴，
∴，
∴．
（2）
；
【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式．
【变式8-3】（24-25八年级·湖南长沙·阶段练习）阅读下列解题过程：
已知，求的值．
解：由，知，所以，即，
∴，
∴的值为的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查分式的运算，理解“倒数求值法”，再根据分式的运算进行求解是解题的关键．
（1）先求，再求，即可求解．
（2）先求，再求，即可求解．
（3）由（1）、（2）的方法可得，将所求式子化简，代入求值即可．
【详解】（1）解：由，知，所以，即．
∴．
∴的值为2的倒数，即．
（2）由，得到，
即，
∴，
则；
（3）根据题意得：，，，
∴，
∴
∴
∴．
【题型9 整数指数幂】
【例9】（24-25八年级·四川绵阳·期末）若，则 ．
【答案】
【分析】根据完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，负整数指数幂，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式9-1】（24-25八年级·山东东营·期末）已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先计算幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂，再进行有理数的大小比较即可．
【详解】解：，，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂、有理数的大小比较，熟练掌握幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂是解题的关键．
【变式9-2】（24-25八年级·河南三门峡·期末）计算a﹣2b2 （a2b﹣2）﹣2正确的结果是（ ）
A． B． C．a6b6 D．
【答案】B
【分析】根据负整数指数幂，积的乘方，同底数幂的乘法，进行幂的混合运算即可求解．
【详解】解：原式＝，
故选B.
【点睛】本题考查了幂的混合运算，掌握幂的运算法则是解题的关键．
【变式9-3】（24-25八年级·江苏镇江·期末）我们知道：，，……，，那么接近于( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由负整数指数幂的含义结合整数指数幂的运算可得：再分别把各选项变形，再比较即可得到答案.
【详解】解：
而
即
是一个10位整数，最高位的数字为1，
是一个10位整数，最高位的数字为1，是一个11位整数，最高位的数字为1，
所以更接近
所以最接近
故选B
【点睛】本题考查的是负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算，掌握“整数指数幂的运算法则与负整数指数幂的含义”是解本题的关键.
【题型10 利用科学记数法表示小于1的正数】
【例10】（24-25八年级·山东菏泽·期末）用科学记数法表示0.000032＝ ，把2.36用小数表示为 ．
【答案】 0.0000236
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此可得．
【详解】用科学记数法表示0.000032=3.2×10-5，用小数表示2.36×10-5=0.0000236，
故答案为：3.2×10-5，0.0000236．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【变式10-1】（2024八年级·天津南开·专题练习）某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为mm（n为负整数），则n的值为（ ）
A．-5 B．-6 C．-7 D．-8
【答案】C
【详解】解：∵0.000 000 67mm=6.7×10-7
∴n=-7
故选：C
【变式10-2】（2024·山东聊城·中考真题）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积是太阳体积的倍数约是(　　)
A．7.1×10-6 B．7.1×10-7
C．1.4×106 D．1.4×107
【答案】B
【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案．
【详解】解：∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，
∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷1.4×1018≈7.1×10﹣7．
故选：B
【点睛】本题考查整式的除法．
【变式10-3】（24-25八年级·江苏镇江·期末）去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto，此前，国际单位制最小单位词头为“幺”（yocto）．
1幺．一个光子的质量约为幺克．换算后约为 ronto克．
【答案】
【分析】运用科学记数法的运算法则解答即可．
【详解】一个光子的质量约为幺克．换算后约为 ronto克
故答案为．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示的数的除法运算，解题的关键是掌握用科学计数法表示数的运算方法．
1专题5.3 分式的运算【十大题型】
【北师大版】
【题型1 已知分式恒等式求分子（分母）】 2
【题型2 分式的混合运算】 2
【题型3 分式的化简求值】 3
【题型4 比较分式的大小】 4
【题型5 分式运算的实际应用】 5
【题型6 分式运算的规律探究】 7
【题型7 分式运算的新定义问题】 8
【题型8 分式运算的阅读材料题】 9
【题型9 整数指数幂】 10
【题型10 利用科学记数法表示小于1的正数】 11
知识点1：分式的运算
分式的乘除法法则：
1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即：
2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即：
3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。=
4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括号外的。
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式.
分式的加减法则：
1）同分母分式：分母不变，分子相加减
2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减
注：①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分;②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。
【题型1 已知分式恒等式求分子（分母）】
【例1】（24-25八年级·湖南长沙·阶段练习）已知，其中，，，为常数，则 ．
【变式1-1】（24-25八年级·浙江台州·期末）已知，且，则 ．
【变式1-2】（24-25·山东烟台·八年级统考期末）若 ，其中a，b为常数，则 ．
【变式1-3】（24-25八年级·山东威海·阶段练习）若，对任意自然数都成立，则 ．
【题型2 分式的混合运算】
【例2】（24-25八年级·辽宁葫芦岛·期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　）

A．段① B．段②
C．段③ D．段④
【变式2-2】（2024·山东烟台·八年级统考期末）根据如图所示的程序，求输出的化简结果．
【变式2-3】（24-25八年级·河北保定·期末）式子的值不可能等于(　　)
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【题型3 分式的化简求值】
【例3】（24-25八年级·贵州遵义·期末）下面是小星同学进行分式化简的过程：
化简 解：原式 第一步 第二步 第三步
(1)小星同学的化简过程从第_____________步开始出现错误；
(2)请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数带入求值．
【变式3-1】（24-25八年级·河北石家庄·期末）已知时，代数式的值为（ ）
A．6 B．－2 C．6或－2 D．0
【变式3-2】（24-25八年级·山东菏泽·期中）已知
(1)化简W；
(2)若a，2，3恰好是△ABC的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值．
【变式3-3】（24-25八年级·全国·课堂例题）如图，将四张长、宽分别为的长方形硬纸片拼成一个中间“带孔”的大正方形，已知拼成的大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，求的值．

【题型4 比较分式的大小】
【例4】（24-25八年级·广西来宾·期末）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式、的大小，只要作出差：若，则；若，则；若，则．
【解决问题】
(1)若，则________0（填、或）；
(2)已知，，当时，比较与的大小，并说明理由．
【变式4-1】（24-25八年级·河北保定·期末）两个分式A＝，B＝﹣，（其中x≠±2，）则A和B的关系是（　　）
A．A＝B B．AB＝1 C．A＞B D．A+B＝0
【变式4-2】（24-25八年级·广东梅州·期中）设，，则m，n的关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（24-25八年级·贵州六盘水·阶段练习）阅读下列材料，回答问题：爱动脑的小明在学习不等式知识时，查阅资料了解到：当给出不等式时，我们可以将表示为（其中为增量），从而将用代换进一步变形不等式．结合“作差法比较大小”，小明创新出一种证明不等式的方法——增量代换作差法证明不等式．
例如：已知，，求证：．
证明：令，，其中，，
作差得：
∵，
∴，，
∴
所以：．
根据上述材料，解决下列问题：
(1)已知，求证：；
(2)已知，试比较代数式与的大小．
【题型5 分式运算的实际应用】
【例5】（24-25八年级·天津和平·期末）有一块边长为x米的正方形空地，计划按如图所示的方式去种植草皮（图中阴影部分种植草皮）．方式一，在正方形空地上留两条宽为2a米的互相垂直的路；方式二，在正方形空地四周各留一块边长为a米的小正方形空地种植树木，现准备用5000元购进草皮．关于哪种方式种植草皮的单价高以及较高的单价是较低的单价的多少倍（　　）
A．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍
B．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍
C．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍
D．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍
【变式5-1】（24-25八年级·河北保定·期末）有甲，乙两块边长为a米的正方形试验田．负责试验田的杨师傅将试验田的形状进行了调整（如图）：沿甲试验田的一边在试验田内修了1米宽的水池，又在邻边增加了1米宽的田地；沿乙试验田的一组邻边在试验田内均修了1米宽的小路．杨师傅在调整后的试验田上种植了某种小麦，其中甲试验田收获了180千克小麦，乙试验田收获了130千克小麦，对于这两块试验田的单位面积产量，下列说法正确的是（）
A．甲试验田的单位面积产量高 B．乙试验田的单位面积产量高
C．两块试验田的单位面积产量一样 D．无法判断哪块试验田的单位面积产量高
【变式5-2】（24-25八年级·河北石家庄·期末）某资料上有这样一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．”下面是小刚和小明的对话，请根据对话内容回答问题．
(1)请你通过计算，验证小明的说法；
(2)假设某住宅窗户面积为平方米，地板面积为平方米，且，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件变好了吗？请说明理由．
【变式5-3】（24-25八年级·江苏扬州·期中）数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．
(1)糖水实验一：加入克水，则糖水的浓度为_____________．生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式_____________，我们趣称为“糖水不等式”．
(2)糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，则糖水的浓度为____________．根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”____________．
(3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设为三边的长，求证：．
【题型6 分式运算的规律探究】
【例6】（24-25八年级·山东青岛·阶段练习）观察下列各式：
，，，
(1)由此推测________
(2)请你用含字母m的等式表示一般规律（m表示整数）
(3)请直接用（2）的规律计算的值．
【变式6-1】（24-25八年级·福建泉州·期末）观察下列等式：，，，…；根据其蕴含的规律可得（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（24-25八年级·山东枣庄·期末）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：_________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【变式6-3】（24-25八年级·安徽亳州·期末）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【题型7 分式运算的新定义问题】
【例7】（24-25八年级·江苏无锡·期中）定义：若两个分式A与B满足：，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式 ．
【变式7-1】（24-25八年级·江苏南通·期末）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．
(1)下列3组分式：
①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有____________（只填序号）；
(2)若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”；
(3)若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值．
【变式7-2】（24-25八年级·浙江湖州·期末）新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（ ）
A．是的“3分式”
B．若的值为，则是的“2分式”
C．若是的“1分式”，则
D．若与互为倒数，则是的“5分式”
【变式7-3】（24-25八年级·浙江杭州·期末）定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的一个字母（x）均换成另一个字母（y），同时另一个字母（y）均换成这个字母（x），若所得代数式是和原代数式相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”．如，，等．
(1)代数式①，②，③，④中，是对称式的有____．
(2)若关于m，n的代数式（k是常数，）是对称式，求常数k的值．
(3)在（2）的条件下，若，当时，求的值．
【题型8 分式运算的阅读材料题】
【例8】（24-25八年级·福建泉州·阶段练习）阅读材料，并解决问题：
我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于字母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式，如：，再如：
，这样，分式就被拆分成了带分式（即一个整式与一个分式的差）的形式．
解决问题：
(1)判断：是真分式还是假分式：　　　（填“真分式”或“假分式”）；如果是，化成带分式的形式：　　　　；
(2)思考：当x取什么整数时，分式的值为整数？
(3)探索：当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？
【变式8-1】（24-25八年级·江苏徐州·期中）【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．
例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：设，则．
原式
∴．
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
【应用】
(1)使用分离整式法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；
(2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；
【拓展】
(3)已知分式的值为整数，求正整数x的值．
【变式8-2】（24-25八年级·河南南阳·期中）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．
例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得
，依据题意，得，解得，所以请你适用上面所学到的方法，解决下面的问题：
(1)将分式表示成部分分式；
(2)按照（1）的规律，求的值．
【变式8-3】（24-25八年级·湖南长沙·阶段练习）阅读下列解题过程：
已知，求的值．
解：由，知，所以，即，
∴，
∴的值为的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值．
(3)已知，求的值．
【题型9 整数指数幂】
【例9】（24-25八年级·四川绵阳·期末）若，则 ．
【变式9-1】（24-25八年级·山东东营·期末）已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（24-25八年级·河南三门峡·期末）计算a﹣2b2 （a2b﹣2）﹣2正确的结果是（ ）
A． B． C．a6b6 D．
【变式9-3】（24-25八年级·江苏镇江·期末）我们知道：，，……，，那么接近于( )
A． B． C． D．
【题型10 利用科学记数法表示小于1的正数】
【例10】（24-25八年级·山东菏泽·期末）用科学记数法表示0.000032＝ ，把2.36用小数表示为 ．
【变式10-1】（2024八年级·天津南开·专题练习）某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为mm（n为负整数），则n的值为（ ）
A．-5 B．-6 C．-7 D．-8
【变式10-2】（2024·山东聊城·中考真题）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积是太阳体积的倍数约是(　　)
A．7.1×10-6 B．7.1×10-7
C．1.4×106 D．1.4×107
【变式10-3】（24-25八年级·江苏镇江·期末）去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto，此前，国际单位制最小单位词头为“幺”（yocto）．
1幺．一个光子的质量约为幺克．换算后约为 ronto克．
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