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浙江省2025年重点高中提前招生数学针对性练习3（附答案）
一、选择题
若关于的方程有两个正整数解，则自然数的值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
若可分解为两个连续正偶数的积，则整数的值为（ ）
A.-17 B.2 C.-17或2 D.-17或2或4
若、均为正偶数，且关于的方程有整数根.则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
若质数和正整数满足.则=（ ）
A.27 B.36 C.45 D.48
若正整数满足方程，则的值为（ ）
A.2026 B.2025 C.2013 D.2012
已知，若正整数，使成立，则的值为（ ）
A.84 B.72 C.48 D.36
二、填空题
若关于的方程的根为整数，求实数的值为 .
若关于的方程只有整数根，则的值为 .
若关于的方程至少有一个整数根，则非负整数的值为 .
方程的非负整数解有 组.
若关于的方程有两个有理根，则正整数的值为 .
三、解答题
当为整数时，关于的方程是否有有理根？如果有，求出的值；如果没有，请说明理由.
若关于的方程的根都是整数，求正整数的值及方程的整数根.
设函数，若关于的方程有三个整数根，求.
求方程的整数解.
方程有无整数解？若有，求出方程的整数解；若没有，请说明理由.
17.求证：一次函数的图象对一切有意义的恒过一定点，并求这个定点.
18.如图，已知AC为⊙O的直径，B为圆上（除点A、C外）一点，∠ABC的角平分线交⊙O于点D，若AB=6，BC=2，求BD的长.
19.设D是△ABC的边BC上一点(不是中点).设和分别是△ABD和 △ADC的外心，K为BC的中点，AK的垂直平分线交于点N,求证：.
20.已知正整数满足，且，求的最大值.
参考答案
选择题：1.D 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B
填空题：7. 8. 9. 1或13 10. 2 11. 6或9
解答题：
12.解：关于的方程没有有理根，理由如下：
假设关于的方程有有理根，则为完全平方数.设
（为自然数），则.
同奇偶，且，又-4=-2×2，，解得（不合题意）.
∴关于的方程没有有理根.
13.解：原方程可化为.则方程有2个负整数根，设为.，且.由韦达定理得：，.
或
当时，原方程的整数根为1、－1、和 －56；当时，原方程的整数根为1、－2和－28.
14.解：.由题意可知为整数，且方程的两根为整数，
其为完全平方数.设（为自然数）.
则.而同为偶数..
，解得.
15.解：原方程可化为：为整数，.
，当时，（舍去）；当时，，满足题意；当时，（舍去）；当时，（1）式不成立.
∴原方程的整数解为.
16.解：原方程没有整数解，理由如下：原方程可化为.
∵3个连续整数的乘积是3的倍数，∴（1）式左边是3的倍数，而右边除以3余2，矛盾.
∴原方程无整数解.
17.证明：显然.，∴对一切有意义的k都成立.
.解得.∴一次函数经过定点.
18.解：连接AD、CD，作AH⊥BD于H.∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=∠ADC=.
.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=.
∵∠ADC=，∠ACD=∠ABD=,∴AD=CD=AC ,AH=BH=AB .
.
∴BD=BH+DH=.
19.提示：分别过作BC的垂线，垂足分别为F,E,G.分别是△ABD和△ADC的外心，.
为AD的中垂线.又∵为AK的中垂线，∴N为△ADK的外心.∴DE=EK.同理，BF=DF.
∴DE+DF=EK+BF.∴EF=BK.∵BF=DF，DG=CG，∴FG=BC.∵AK为△ABC的中线，∴BK=BC.
∴BK=FG.∴EF=FG.∴EF=EG.又∵F//NE//G，.
20.解：由题设可知均是小于14的整数,将等式化为.
则.又，至少有一个为7.不妨设，则等式又化为.
.此时的最大值为.的最大值为

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