资源简介

第八章 实 数
1.平方根：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根.
2.算术平方根：正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根.0有一个平方根，就是0，0的算术平方根是0.负数没有平方根，进而也没有算术平方根.
3.立方根：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根.
4.无理数：无限不循环小数叫作无理数.无理数是不能写成两个整数之比（分数）的数.
5.实数：有理数和无理数统称为实数.实数与数轴上的点是一一对应的.
例1 （1）如果一个自然数a的算术平方根为x，那么a+1的立方根是 .
（2）已知是a+3的算术平方根，是b-3的立方根，则x-y的立方根是 .
（3）已知a是整数，则使为最小正有理数的a的值为 .
前两小题主要考查算术平方根和立方根的概念，根据概念直接求解即可.对于第（3）题，根据题意，得出1989a是完全平方数，再将1989表示成质数乘积的形式，即可求解.
解析 （1）由已知得，，所以.
由已知得，解得
则x=2,y=1,则x-y的立方根是1.
∵，且1989a是完全平方数，
∴满足题意的a的值为13×17=221.
答案 （1） （2）1 （3）221
对于实数相关概念应用的题目，一是要明晰相关概念，切勿混淆，尤其是平方根与算术平方根；二是要审清题目，看准未知量的位置，是位于根号内，还是根号外；三是要注意隐含的条件或计算，例如的算术平方根是，而不是5.
1．已知的整数部分是，小数部分是，是的算术平方根，则的值是 ．
2．已知：a的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4．
(1)直接写出a，b，m的值；
(2)求的平方根；
(3)若的整数部分是x，小数部分是y，计算的值．
3．已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分；
(1)求a、b、c的值；
(2)若x是的小数部分，则的算术平方根．
1.平方的非负性：（b≥0）.
2.绝对值的非负性：
3.算术平方根的非负性：表示非负数a的算术平方根，它具有双重非负性，即.
例2 已知a，b，c满足，求的值.
根据算术平方根的双重非负性，将已知条件改为几个非负数相加的形式，进而求出a，b，c的值，从而得到答案.
解析 由已知得，，
则，即，则.
对于非负性应用的试题，已知条件往往都是几个非负数相加的形式，要先确定是否为相加的形式，再注意各项是否都为非负数，值得注意的是，算术平方根是具有双重非负性的.
4．已知三角形的三边分别为，其中两边满足，那么这个三角形的最长边的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，满足，则的值为 ．
6．小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为 ．
1.实数的大小比较：比较有理数大小的方法同样适用于实数的大小比较，此外，还有两个常用的方法.
（1）比较被开方数：当a>0，b>0时，若a>b，则.
（2）比较乘方：当a>0，b>0时，若，则a>b；若，则a>b.
2.平方根的估算：估算时，可先确定在哪两个正整数的平方之间，如果想再精确一些，则用接近这两个正整数的小数平方后与，进行比较.举例如下：由，得，则的整数部分为5；由，，可得.
例3 （1）比较大小： .（填“<”“>”或“=”）
（2）的整数部分为 .
对于第（1）题，利用平方法比较大小，平方含根号的实数，与10比较大小即可得出答案；对于第（2）题，由内向外依次确定范围，即先确定的范围，再求的整数部分.
解析 （1）∵，
∴.故填>.（2）∵，∴，
∴，∴，
∴，即的整数部分为45.
对于比较实数大小的题目，要依据已知条件灵活选取方法，便于开方的则比较被开方数，含根号的则比较乘方之后的结果，有中间项的与中间项比较；对于平方根的估算，要找准最近的两个完全平方数，此外，估算两个无理数相加减的结果，要多估算一位，最后结果才准确.
7．设，则数的值应在（ ）．
A．8和9之间 B．7和8之间 C．6和7之间 D．5和6之间
8．如图，估计的值所对应的点可能落在（ ）
A．点处 B．点处 C．点处 D．点处
9．如图，数轴上点，表示两个连续的整数，点表示的数是，则点表示的数是 ．
10． ， ， ．（填“”“”或“”）
11．比较大小： ．（填“＞”，“＜”或“=”）
12．比较大小：
； ．
13．已知x，y都是实数，且，又知的整数部分为a，小数部分为b，若，，比较 m、n 的大小．
14．阅读理解，观察下列式子：
①；
②；
③；
④；
…
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立．
(2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值．
15．阅读，并回答下列问题：
公元3世纪，我国古代数学家刘徵就能利用近似公式得到的近似值.
（1）他的算法是：先将看成，利用近似公式得到，再将看成，由近似公式得到___________≈______________；依次算法，所得的近似值会越来越精确.
（2）按照上述取近似值的方法，当取近似值时，求近似公式中的和的值.
16．【数学材料】
“对数”是数学中的一个重要概念，通过将对数运算转化为指数运算的逆运算，进而简化了复杂运算，更方便地处理一些数学问题．如果（且），那么叫作以为底的的对数，记作，其中叫作对数的底．
【初步运用】
（1）请把下列算式改写成对数的形式：
，对数的形式为______；，对数的形式为______；
（2）若，则______；，则______；
【理解应用】
（3）若，若，求的值．
【问题解决】
（4）如图①，两条线段的长分别是，且，若化简的值．
17．通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．
【阅读材料】
例如，比较与的大小．
解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）．
（构造图形），
（三角形任意两边之和大于第三边）．
，，（勾股定理），．
【问题解决】
（1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）；
A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
（2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由；
【拓展探究】
（3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________．
（要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形）
18．小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换：
A变换：首先对实数取算术平方根，减去1；
B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数；例如：实数7经过一次变换得到，实数10经过一次变换得到2．
(1)①实数25经过一次变换所得的数是_______；
②实数25经过一次B变换所得的数是_______；
(2)整数m经过两次B变换得到的数是1，则m的最小值是_______；最大值是_______；
(3)实数经过一次变换得到的数是，实数经过一次变换得到的数是，是否存在使得成立？若存在请直接写出的值，若不存在请说明理由．
19．有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数．
（1）若，则的算术平方根为 ；
（2）若，其中是x的平方根，则x的值为 ．
20．我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为．
(1)______________，______________，的小数部分＝______________；
(2)设的小数部分为，求的值；
(3)已知，其中是整数，且，求的相反数．
21．材料阅读：材料一：若a是正整数，a除以6的余数为1，则称a是“余一数”．例如：13是正整数且…1，则13是“余一数”．材料二：对于任意四位正整数p，p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数字为d，规定：．请根据以上材料，解决下列问题：
(1)判断：346，1537是不是“余一数”？并说明理由；
(2)若四位正整数q是“余一数”，q的千位数字与个位数字的和等于7，百位数字与十位数字的和等于6，千位数字与百位数字的和大于十位数字与个位数字的和，是有理数，求所有满足条件的q．
22．设，，且．求的值．
23．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．
解决问题：
(1)比较大小：______（用“”“”或“”填空）；
(2)计算：；
(3)设实数x，y满足，求的值．
24．二次根式的学习，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与完全平方，不等式等相结合的一些运算，从而更好地指导我们解决生活实际问题．
【问题提出】比较与（，）的大小，
【问题探究】我们不妨特殊化问题，分别给a、b进行赋值．
(1)比较下列各式大小，（填“>”或“<”或“≥”或“≤”或“=”）
______；______；______
(2)由（1）中各式猜想______（，），当且仅当a______b时，．
猜想证明过程如下：
=…
请补全上述证明过程；
(3)【灵活应用】万众一心齐携手，众志成城抗疫情．其中，高速入检处就解决临时隔离问题用48米长的钢丝网靠墙（墙的长度不限）围建了6间相同的矩形隔离房．设每间隔离房的面积为S（米），当每间隔离房的长、宽各为多少时，每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《第八章 实数》参考答案：
1．
【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，实数的混合运算，根据题意得出，代入代数式求值，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∵的整数部分是，小数部分是，是的算术平方根，
∴
∴
故答案为：．
2．(1)，，；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，无理数的整数部分和小数部分等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据平方根、立方根、算术平方根的定义即可求解；
（2）根据平方根的定义即可求解；
（3）通过估算确定无理数的整数部分和小数部分，代入即可求解．
【详解】（1）解：∵a的平方根是它本身，
∴，
∵的立方根是3，
∴，
解得：，
∵的算术平方根是4，
∴，
解得：；
（2）解：∵，，，
∴，
∵的平方根是，
∴的平方根是；
（3）解：∵，，
∴，
∵，即，
∴的整数部分为，小数部分为，
∴．
3．(1)，，
(2)
【分析】本题考查平方根，立方根和无理数的估算，熟练掌握相关知识是解题的关键；
（1）根据平方根和立方根的定义和无理数的估算方法，进行求解即可；
（2）先求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2，
∴，
∴，
∵c是的整数部分，，
∴；
（2）∵x是的小数部分，
∴，
∴，
3的算术平方根为，
即的算术平方根为．
4．B
【分析】先由完全平方公式因式分解，再由二次根式性质化简得到，结合绝对值非负性及非负数和为零的条件求解即可得到，从而由三角形三边关系即可得到答案．
【详解】解：，
，则，
，
要使，则，
解得，
由三角形的三边关系可知，
是这个三角形的最长边，
，即这个三角形的最长边的取值范围是，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形三边关系、绝对值非负性、非负数和为零的条件、完全平方公式因式分解、二次根式性质等知识，熟记三角形三边关系、绝对值非负性、非负数和为零的条件、完全平方公式因式分解、二次根式性质等知识是解决问题的关键．
5．
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据题意可得，得出，进而求得，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴
故答案为：．
6．
【分析】本题主要考查了非负数的性质，掌握平方数和绝对值的非负性是解题的关键．
根据平方数和绝对值的非负性可知，，即，，先求出的值，把的值代入，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
将代入得：，
解得：，
故答案为：．
7．B
【分析】本题考查估算无理数的大小.
将原式计算后再利用夹逼法估算其结果的大小即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
即数m的值应在7和8之间，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了二次根式的运算以及无理数的估算，解题的关键是先化简式子，再通过比较被开方数的大小来估算无理数的范围．
先对式子进行化简，然后估算化简后式子中无理数的取值范围，进而确定整个式子的取值范围，从而判断其对应的点的位置．
【详解】，
，
，
，即，
的值所对应的点可能落在点D处．
故选：D．
9．4
【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握用夹逼法估算无理数的方法和步骤．
先用夹逼法估算，再根据点，表示两个连续整数即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴点表示的数是，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了无理数大小比较，二次根式的大小比较．先作差，再利用二次根式的估算，从而可得结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴；
故答案为：；；；
11．＜
【详解】试题分析：首先求出两个数的差是=；然后根据=-1＜0，可知．
故答案为＜.
点睛：此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出的差的正、负．
12． ＞ ＞
【详解】根据二次根式的估算值和实数的大小关系，可知：
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
故答案为＞；＞.
13．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，无理数的整数部分与小数部分，正确判断带根号的无理数在两个整数之间是解答此题的关键．分别求出，的值，即可求出m的值，再根据的整数部分为a，小数部分为b，可求出n，即可比较大小，
【详解】解：∵
∴，解得，
∴，即．
∴，
∵的整数部分为a，小数部分为b，且
∴，，
∴，
∵，，
∴，即．
14．(1)
(2)
【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键．
（1）用含、的式子表达规律即可得答案；
（2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可．
【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则，
故答案为：．
（2）解：若与的值互为相反数，则，
解得：．
∴
15．（1）；（2）或 ；或
【分析】根据近似公式计算出近似值的过程和方法计算的近似值和确定a和r的值.
【详解】（1）根据近似公式可知：≈
故答案为；
（2）∵
∴
∴
∴
整理，
解得： 或
∴或
故答案为或 ；或
【点睛】本题考查二次根式的估算，审清题意，根据题目所给的近似公式计算是解题关键.
16．（1），；（2）3，；（3）当，时，，当，时，；（4）的值为
【分析】本题考查定义新运算，立方根，算术平方根的化简；
（1）根据对数的定义求解即可；
（2）根据对数的定义，把对数形式换成乘方形式求解即可；
（3）根据对数的定义，把对数形式换成乘方形式求解即可；
（4）根据对数的定义，把对数形式换成乘方形式，再结合数轴化简算术平方根即可．
【详解】解：（1）∵，
∴对数的形式为；
∵，
∴对数的形式为；
故答案为：，；
（2）若，则，解得；
若，则，解得（负数舍去），
故答案为：3，；
（3）∵，
∴，
解得或，
∵，
∴，
当，时，，；
当，时，，；
（4）∵，
∴，，，，
∴，
∵由图形可得，
∴
．
17．（1）D；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题主要考查了实数大小比较、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键．
（1）依据题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想，故可得解；
（2）依据题意，在正方形网格中，构造线段，再利用两点之间，线段最短，从而可以判断得解；
（3）依据题意，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则，从而，，，又是A关于的对称点，故．再根据两点之间线段最短，，可得当P在F时，取最小值为．又，可得．进而可以判断得解．
【详解】解：（1）由题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想．
故答案为：D；
（2）由题意，在正方形网格中，如图1，构造线段．
∵两点之间，线段最短，
∴．
∵，，
，，
∴．
∴；
（3）由题意，如图2，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则，
∴，
，
．
又∵是A关于的对称点，
∴．
又根据两点之间线段最短，，
∴．
∴．
∴当P在F时，取最小值为．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴．
∴当时，取最小值为．
故答案为：．
18．(1)①4；②2
(2)1，511
(3)存在，x的值为4或9
【分析】本题考查了实数的运算，涉及算术平方根，立方根，无理数的估算．
（1）①根据题意，列式进行计算即可；②根据题意，列式进行计算即可；
（2）根据立方根的定义列式求解即可；
（3）根据题意，列出x的方程求解即可得出结论．
【详解】（1）解：①根据题意得：，
故答案为：4；
②，
，
不超过的最大整数为2，
故答案为：2；
（2）解：根据题意得：，
，且m是整数，
m的最小值是1；最大值是；
故答案为：1，511；
（3）解：存在，x的值为4或9，
，，
当时，即，
，
当时，，
，
∴当时，，
当时，，
，
所以当时，，
当时，的最小值为，的最小值为3，
，
不存在x值使得，
x的值为4或9时，成立．
19． 3 4
【分析】本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据题意可得，，从而可得，，然后代入式子中，再根据算术平方根的定义求解即可；
（2）根据已知易得，从而可得，进而可得：，然后利用平方根的意义，即可解答．
【详解】解：（1）∵，m和n是有理数，
∴，，
解得：，，
∴，
∴的算术平方根为3，
故答案为：3；
（2）∵，
∴，
∴，
∵m和n是有理数，
∴，
解得：，
∵m，n是x的平方根，
∴，
故答案为：4．
20．(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点即可求得和；已知，则可求得的小数部分；
（2）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点可求得的整数部分和小数部分，进而可求得，遵循同样步骤可求得，将和代入原式即可得解；
（3）利用有理数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，不等式的性质等知识点可求得的取值范围，进而根据已知条件可求得和，于是可求得，并最终求得的相反数．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
的小数部分为，
故答案为：，，；
（2）解：，
，
，
的小数部分为，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，是整数，且，
，，
，
的相反数为．
【点睛】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质，求相反数等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键．
21．(1)346不是“余一数”，1537是“余一数”，理由见解析
(2)所有满足条件的q的值为4513、6331
【分析】(1)根据“余一数”的定义即可一一判定；
(2) 设q的千位数字为a，百位数字为b，，且a、b是整数，则十位数字为6-b，个位数字为7-a，且q=999a+90b+67，根据q被6除余1，可设q=999a+90b+67=6k+1(k是正整数)，则，可得a是2的倍数，即a=2或4或6，依题意可得，再根据是有理数，把a、b可取的值分别代入，即可求得．
【详解】（1）解：346不是“余一数”，1537是“余一数”
理由如下：
346不是“余一数”
1537是“余一数”
（2）解：设q的千位数字为a，百位数字为b，，且a、b是整数
则十位数字为6-b，个位数字为7-a，
且q=1000a+100b+10(6-b)+(7-a)=999a+90b+67
q被6除余1
设q=999a+90b+67=6k+1(k是正整数)
则
a是2的倍数，即a=2或4或6
依题意可知：
是有理数
与都是完全平方数
若a=2时，满足条件的b有，b=2
此时，q=2245（舍去，不满足千位数字与百位数字的和大于十位数字与个位数字的和），
若a=4时，满足条件的b有，b=5
此时，q=4513
若a=6时，满足条件的b有，b=3
此时，q=6331
综上，据有满足条件的q的值为4513、6331．
【点睛】本题考查了新定义运算，列代数式，二次根式的求值问题，理解题意，逐条件分析是解决本题的关键．
22．1．
【分析】由，可得，令，由变形得可得因式分解，由，，可得．
【详解】∵，
∴，或一正，两负，
说明x，y，z同号，
∴，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查立方根条件求值问题，掌握立方根的性质，巧秒恒等变形使实际问题简化，利用等式两边平方，因式分解求出代数式的值是解题关键．
23．(1)
(2)
(3)2023
【分析】（1）先将两边进行分母有理化后再进行比较大小即可；
（2）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可；
（3）根据（1）和（2）得到的规律进行计算即可．
【详解】（1）解：，，
即，
，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：，
，
①，同理②，
∴①②得：，
，
．
【点睛】本题考查二次根式的应用，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键．
24．(1)>；；=
(2)≥，=；证明见解析
(3)每间隔离房长为4米，宽为3米时，S的最大值为12平方米．
【分析】（1）先计算，再利用估算，比较大小即可；
（2）利用完全平方公式配方，根据偶次方的非负性即可证明；
（3）设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，根据题意可列出方程，再结合题干所给材料可得出结论．
【详解】（1）解：，，
∵，∴，
∴；
=9，，
∵，∴，
∴；
=14，，
∴=；
故答案为：；；=；
（2）解：猜想≥（，），当且仅当a=b时，．
证明：
∵
，
∴≥；
故答案为：≥，=；
（3）解：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，
依题意得：6x+8y=48，即3x+4y=24，
∵3x＞0，4y＞0，
∴3x+4y≥2，
即24≥2，
整理得：xy≤12，
即S≤12，
∴当3x=4y时Smax=12，
此时x=4，y=3，
即每间隔离房长为4米，宽为3米时，S的最大值为12平方米．
【点睛】本题属于创新题型，根据阅读材料，考查学生的理解能力和学习能力，在解题的过程中，要注意抓住“当且仅当a=b时等号成立”这一条件，得出取得最大值和最小值时候的条件．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑