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第十一章 不等式与不等式组
第2节 确定不等式（组）中字母的取值
将不等式化为中的某一种形式，对照已知条件中的不等式解集，利用不等式的基本性质，先确定字母系数的正负，再建立对应关系，进而确定字母的值或取值范围.举例如下：
对于不等式，若解集为，则且；若解集为，则且；若不等式的解是任意实数，则；若不等式无解，则.
例1 （1）如果关于x的不等式 和的解集相同，求a的值.
（2）如果关于x的不等式 的解集也是不等式的解集，求a的值.
（3）已知关于x的不等式的解集与不等式的解集相同，求a的值.
对于（1），两个不等式的不等号方向相同，则a-1>0；两个不等式的解集相同，则可以列出关于a的方程，求解即可.对于（2），两个不等式的不等号方向相同，则a-1>0；由已知可得，不等式的解集包含不等式 的解集，则可以列出关于a的不等式，求解即可.对于（3），求出不等式的解集，结合不等号方向，确定a的符号及关于a的方程，求解即可.
解析 （1）由已知得，不等式 的解集为，
则，解得
（2）由已知得，包含不等式 的解集，
则，解得
（3）解不等式，得，
∵不等式的解集与不等式的解集相同，
∴，解得a=-2.
解决此类题目的思路相对直接，先看两个不等式的不等号方向，若方向相同，则未知数的系数大于0，若方向相反，则未知数的系数小于0；然后看不等式解集之间的关系，若相同，则列方程，若有包含关系，则列不等式.切勿见到题目盲目求解不等式，以免造成错解或漏解.
1．已知关于的不等式的解集为，则 ．
2．如果关于的不等式的解为，则的取值范围是 ．
3．关于的不等式的任意一个解都比关于的不等式的解大，则的取值范围是 ．
先求出不等式组中各不等式的解集，或者将各不等式化成中的某一种形式，然后对照已知条件中的不等式组的解集，利用“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”这一原则，建立对应的关系，进而确定字母的值或取值范围.举例如下：
1.对于不等式组若解集为，则；若解集为，则.
2.对于不等式组若解集为，则且；若解集为且，则，；若解集为，则，；若不等式组无解，则，.
例2 （1）若关于x的不等式组的解集是，求a的取值范围；
（2）若关于x的不等式组有解，求m的取值范围.
对于（1），由于不等式组的解集是取各不等式解集的交集，结合数轴可得，关于a的不等式组，求解即可；对于（2），由已知可得，与有交集，即可得关于m的不等式，求解即可.解析 （1）借助数轴分析，如图，
由图可得，解得
（2）由已知可得，与有交集，则
解决此类问题的思路有以下两种：借助口诀列关系式或借助数轴分析，值得注意的是，一定要看清题目中所给“解集的情况”，是有解，还是无解，这关系到所列字母的不等式的不等号方向.
4．若关于x的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若关于x的不等式组有解且只有3个偶数解．同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
先解出不含字母的不等式的解集，由已知在数轴上找出解集范围内连续的几个整数解，再将含字母的解集的端点在数轴上移动，观察满足题目要求时解集的方向以及端点的取值范围，进而建立对应关系.举例如下：
已知不等式有5个整数解，要确定m的取值范围，先要将解集表示在数轴上，然后将端点m在数轴上移动，如图，可知m的取值范围为.
例3 若关于x的不等式组的整数解为0,1,2，求a的取值范围.
先求出不等式的解集，然后将整数解在数轴上标出来，结合数轴列出关于a的不等式组，求解即可.
解析 由不等式组，得如图，将不等式组的整数解在数轴上标出，
则解得
解决此类问题的思路相对简单，难点在于端点取值情况的确定，可以先画出草图，通过将解集的端点在数轴上移动的方式，确定端点位置，切勿凭空想象，以免造成错解或漏解.
6．若不等式的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
7．已知同时满足和的整数恰好为1，2，3，则有序数对共有 对．
8．若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是 ．
9．不等式组，有2个整数解，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．如果关于x的不等式只有3个正整数解，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．若关于的不等式组的所有整数解之和等于20，则所有满足条件的整数的值之和为（　　）
A．15 B．21 C． D．24
12．关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值为（ ）．
A．100 B．112 C．120 D．150
14．如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的有序数对共有（ ）．
A．17个 B．64个 C．72个 D．81个
15．若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数之和为（ ）
A． B． C．2 D．4
16．若关于的不等式组最多有3个整数解，且关于、的方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．9 B．6 C．2 D．－1
17．已知关于x的不等式组的解集是，则的平方根是（ ）
A． B． C． D．
18．已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是 ．
19．若关于x的不等式组仅有1个整数解，则a的取值范围是 .
20．若关于x的一元一次不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
21．若关于的不等式组有且只有5个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的值的和为 ．
22．关于，的二元一次方程，且当时，．
（1）的值是 ；
（2）当时，对于每一个的值，关于的不等式总成立，则的取值范围是 ．
23．当时，若关于的不等式组的解集为，则称为该不等式组的“解集长度”，如不等式组的解集为，则其“解集长度”为．
(1)不等式组的“解集长度”是_______；
(2)已知关于的不等式组的“解集长度”为0，求应该满足的条件，以及此时不等式组的解集；
(3)已知关于的不等式组的解集长度小于9，求的取值范围．
24．已知关于x的不等式组 有且仅有6个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值．
25．若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”.若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”.
(1)在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是______（填序号）.
(2)已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：______.
(3)若关于x的不等式组的“解集中点”大于方程的解且小于方程的解，m的取值范围为______.
26．定义一种新运算：，若，．
(1)求、的值；
(2)若关于的不等式组有解，求实数的取值范围；
(3)若的解集为，求的解集．
27．使得关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的方程：有非负整数解，满足题意的所有的整数a的和是多少？
28．定义：表示不大于的最大整数，如．我们把满足(为常数)的的取值范围叫作的核心范围，如的的核心范围为，的的核心范围为．
(1)请直接写出：_______，若，则的核心范围是_______．
(2)若关于的不等式组有且只有三个正整数解，请写出这三个正整数解，并求出的取值范围．
29．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
(1)方程______（填“是”或“不是”）不等式组的“关联方程”．
(2)已知关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围．
(3)已知关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，直接写出的取值范围为______．
30．已知关于x的不等式组无解，且关于y的一元一次方程有非负整数解，求m的值．
31．若关于的不等式组无解，且关于的方程有正整数解，求符合条件的所有整数．
试卷第1页，共3页
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《第十一章 不等式与不等式组（第2节 确定不等式（组）中字母的取值 ）》参考答案：
1．##
【分析】本题主要考查一元一次不等式的解集，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
解得，
，
，
解得，
故答案为：．
2．##
【分析】本题考查了不等式的性质和解不等式，根据不等式的性质求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：∵关于的不等式的解集为，
∴，
解得：，
故答案为：．
3．
【分析】本题考查求不等式的解集，根据不等式的解集的情况求参数的范围，先求出两个不等式的解集，进而得到关于的不等式，进行求解即可．
【详解】解：解，得：；
解，得：，
∵关于的不等式的任意一个解都比关于的不等式的解大，
∴，
∴；
故答案为：．
4．D
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．解第一个不等式得出其解集，再根据“大大小小无解了”可得答案．
【详解】解：由题意可得：，
不等式组无解，
故选：D．
5．7
【分析】根据不等式组有解且只有3个偶数解，得到关于a的不等式组，求出a的取值范围，再根据关于y的一元一次方程解为非负整数，确定a的值，求和即可．本题考查解一元一次方程，根据一元一次不等式组解集的情况求参数，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解法．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∵关于x的不等式组有解且只有3个偶数解．
∴该不等式组的三个整数解为8，6，4，
∴，
解得，
则
即，
∵a为整数
∴
∵，
∴
则
∴，
∵关于y的一元一次方程解为非负整数，
∴当时，则，符合题意；
∴当时，则，符合题意；
∴当时，则，不是整数，不符合题意；
∴当时，则，符合题意；
∴
∴所有满足条件的整数a的值之和为，
故答案为：．
6．C
【详解】解 由得，且已知，所以，．
又不等式的整数解是1，2，3，4，所以，且解得
且，故，所以选C．
7．30
【详解】不等式组化为，所以；
故；，共有对．
8．
【分析】本题考查一元一次不等式组的解集、整数解．解不等式组得出解集，根据整数解的和为，可以确定整数解必含，，这三个数，再根据解集确定a的取值范围．
【详解】解：解不等式组，
解不等式得，
解不等式得，
∵关于的不等式组有解，
∴，
∵所有整数解的和是，，
∴不等式组的整数解为①，，；②，，，0，
∴或，
∴或，即，
故答案为：．
9．A
【分析】本题考查了解不等式组，掌握不等式的性质是关键．
根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解①得，，
解②得，，
∴，
∵不等式组有2个整数解，
∴，
解得，，
故选：A ．
10．C
【分析】本题考查了求不等式的解集．根据正整数解的个数确定关于a的不等式是解题的关键．求出不等式的解集，根据不等式只有3个正整数解即可求得a的取值范围．
【详解】解：解不等式，得，
∵关于x的不等式只有3个正整数解，
∴3个正整数解为1、2、3，
∴，
∴，
故选：C．
11．A
【分析】本题考查根据不等式组的解的情况求参数．求出不等式的解集，利用不等式组的所有整数解之和等于20，求出a的取值即可，进一步可求出满足条件的整数a的值之和．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∵关于的不等式组的所有整数解之和等于20，
即整数解有6，5，4，3，2，或6，5，4，3，2，1，0，，
∴，或，
解得：，或，
∴a的整数值可以是6、7、8，或，，，
∴所有满足条件的整数为，
故选：A．
12．B
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的含参问题,先求出不等式组的解集，再根据不等式组的整数解，即可求出m的取值范围．
【详解】解：，
解①式得 ，
解②式得 ，
∴不等式组的解集为：，
∵不等式组有两个整数解，即整数解为：2，1．
∴m取值范围为．
故选：B
13．B
【详解】由已知不等式得．因由已知条件，与之间只有
唯一一个整数k，所以解得．当时，，存在唯一，所以n的
最大值为112．故应选B．
14．C
【详解】解 因中x的整数值仅为1，2，3，所以即，
，故a可取1，2，…，9这9个值，b可取25，26，…．32这8个值，所以有序对
有个．故选C．
15．C
【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解求参数的取值范围、解分式方程，由题意可得，得出，解分式方程可得，结合题意确定出的值，求和即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，
∴，
解得：，
解分式方程可得：，
∵关于的分式方程方程有整数解，
∴或或，
解得：或或或或或，
∵，
∴，
∵，
∴或或或，
∴满足条件的整数之和为，
故选：C．
16．C
【分析】本题主要考查了解含参数的不等式组、解含参数的方程组等知识点，根据题意确定a的取值范围成为解题的关键．
先解不等式组，再根据不等式组的解集情况求参数a的取值范围；然后解方程组，根据方程的解的情况确定参数a的可能取值，最后确定符合条件的所有整数的值并求和即可．
【详解】解：解不等式组，可得：，
∵不等式组至多个整数解，
．
解方程组可得：，
∵关于、的方程组的解为整数，
，
，
整数为，
∴符合条件的所有整数的和为．
故选C．
17．A
【分析】本题考查了不等式组的解集及解二元一次方程组，平方根的意义，解不等式组组，，根据不等式组的解集是，得到，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集是，
∴，
解得：，
∴
∴的平方根是，
故选：A．
18．##
【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的性质等知识点，能根据已知得到关于a的不等式是解此题的关键．
求出不等式的解，分类讨论求出不等式的解集，得出关于a的不等式，求出a即可．
【详解】解：解不等式得，
，
∵不等式的解都能使不等式成立，
∴当，即时
不等式，
，
，
可以取任意实数，那么的解必然能使该不等式成立，
所以满足条件．
当，即时
不等式其解为．
因为的解都能使成立，
所以．
解不等式：
，结合前提，这种情况满足条件．
当，即时
不等式其解为．
要使的解都能使成立，那么．
解不等式：
，结合前提，得到．
综合以上三种情况．
故答案为：．
19．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，根据不等式组仅有1个整数解得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
故不等式组的解集为：，
不等式组仅有1个整数解，
，即
故答案为：
20．
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组只有3个整数解建立关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解；
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于x的一元一次不等式组，恰有3个整数解，
∴，
解得，
故答案为：．
21．2
【分析】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定的取值范围，根据不等式组的整数解的个数确定的取值范围，再解分式方程得出，再根据方程有整数解，且，，从而求出符合条件的所有整数，然后再求和即可．
【详解】解：，
解不等式①得：；
解不等式②得，
不等式组的解集为，
不等式组有且只有5个奇数解，
，
解得：；
，
解得：，
方程有整数解，且，，
符合题意的整数的值为，4，
符合条件的所有整数的和是，
故答案为：2．
22． 2
【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，二元一次方程的解、已知字母的值，求代数式的值，正确求解是解题的关键．
（1）将的值代入进去即可求得结果；
（2）解有关的不等式，再根据恒成立求有关的不等式．
【详解】解：（1）∵当时，，
∴，
解得：，
故答案为：2；
（2）由（1）可得，
∴，
解得：，
∵当时，对于每一个的值，关于的不等式总成立，
∴，
解得：，
故答案为：．
23．(1)
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
（1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再根据“解集长度”的定义求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再根据“解集长度”为0得到关于m的方程，解方程即可得到答案；
（3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再根据“解集长度”为小于9得到关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的“解集长度”是；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∵关于的不等式组的“解集长度”为0，
∴，
解得，
∴原不等式组的解集为，即原不等式组的解集为；
（3）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∵关于的不等式组的解集长度小于9，
∴，
解得．
24．a为15或16或17
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组和不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集及整数解的个数求出的取值范围是解此题的关键．先求出不等式组的解集，根据不等式组的整数解的个数求出的范围，求出方程的解，根据求出的范围，求出公共部分，再求出的整数解，最后求出答案即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是，
∵不等式组有且仅有6个整数解，
，
解得：，
解方程得：，
，
，
解得：，
∵a为整数，
∴a为15或16或17．
25．(1)①
(2)
(3)
【分析】本题考查了解一元一次不等式(组)，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“中点关联方程”是解题的关键．
（1）先分别求出三个方程的解和不等式组的解集，再根据“中点关联方程”的定义即可判断；
（2）先求出不等式组的解集，根据关联方程的定义即可求解；
（3）先求出不等式组的解集和两个一元一次方程的解，再根据题意列出不等式组，求解即可．
【详解】（1）解：解方程①得：；
解方程②得：；
解不等式组得：，
，
故答案为：①；
（2）解：解不等式组得：，
，
故答案为：，答案不唯一；
（3）解：解不等式组得：，
这个不等式组的“解集中点”为：，
解方程得：，
解方程的解为：，
由题意得：，
解得：，
故答案为：．
26．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法．
（1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出m，n的值；
（2）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围；
（3）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出a与b的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：∵，若，，
∴，
解得；
（2）解：关于的不等式组，
整理得，
解得，
解得，
∵关于的不等式组有解，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
整理得，
∵的解集为，
∴且，
整理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，
将代入得，
∵，
∴．
27．15
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次方程，
解不等式组，根据整数解的个数判断的取值范围，解一元一次方程，用含的式子表示，根据有非负整数解，确定的范围，进而求解即可．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
所以该不等式组的解集为．
又因为原不等式组至少有3个整数解，
所以，
解得．
解关于y的方程，．
因为方程有非负整数解，
所以，则，
所以．
其中能使为非负整数的a的值为2，5，8，
所以所有的整数a的和为．
28．(1)，
(2)1，2，3；
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解以及一元一次不等式组的整数解，理解新定义是解题的关键；
（1）根据新定义以及核心范围的定义，即可求出结论；
（2）由，可求出，结合原不等式组只有三个整数解，即可找出的取值范围；
【详解】（1）解：，若，则的核心范围是
故答案为：，．
（2）解：因为，所以．
因为有且只有三个正整数解，
所以整数解应为1，2，3．
所以
29．(1)是；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了解不等式组，一元一次方程，熟练掌握解法是解题的关键．
（）根据题意分别解出和，再根据“关联方程”定义即可求解；
（）根据题意分别解出和，再根据“关联方程”定义得出，然后求解集即可；
（）由解不等式得，解不等式得，由得，根据“关联方程”定义得出，然后解不等式组即可．
【详解】（1）解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为，
由，
，
∴在范围内，
∴方程是不等式组的“关联方程”，
故答案为：是；
（2）解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为，
由得，
∵关于的方程是不等式组的“关联方程”，
∴，
解得：；
（3）解：
解不等式得：，
解不等式得：，
由得，
∵关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，
∴，
解得：，
故答案为：．
30．或
【分析】本题考查根据不等式组的解集与一元一次方程的解求参数，熟练掌握不等式组的解集与一元一次方程的解是解题的关键．
根据不等式组无解得到，根据一元一次方程有非负整数解得到，且，，，，，…，综合即可解答．
【详解】解：不等式组可化为，
∵该不等式组无解，
∴，
∴．
由得，
∵该一元一次方程有非负整数解，
∴，且，，，，，…（即的倍数）
∴，且，，，，，…
综上，或．
31．，，
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程等知识，正确求解是解题的关键；先求出不等式组中每个不等式的解集，根据不等式组无解求得k的取值范围；再解一元一次方程，根据方程有正整数解结合k的取值范围，即可求得整数k的值．
【详解】解：根据，
解得；
因为不等式组无解，
所以，
解得．
因为，
解得．
因为有正整数解，
所以，且是整数．
又因为，
所以．
答案第1页，共2页
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