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第十一章 不等式与不等式组
第1节 解不等式（组）
解决含绝对值不等式的核心思路是去绝对值符号，将原不等式转化为一般的不等式进行求解.常见的含绝对值不等式及其解法有以下几种：
1.形如的不等式
当时，；当时，无解.
2.形如的不等式
当时，；当时，的解为任意实数.
3.形如的不等式
当时，；当时，无解.
4.形如的不等式
当时，；
当时，的解为任意实数.
5.形如的不等式
提醒：此类不等式也可以的符号进行讨论.
6.形如的不等式
方法一：对的符号进行讨论，则
方法二：对的符号进行讨论，则
7.形如的不等式
方法一：利用绝对值的几何意义
当时，不等式的解集为；
当时，不等式无解.
方法二：利用零点分段法
先求个区间段内不等式的解集，再取并集即可.
8.形如的不等式
方法一：利用绝对值的几何意义
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解为任意实数.
方法二：利用零点分段法
先求个区间段内不等式的解集，再取并集即可.
例1 解下列不等式：
（1）（2）（3）
（4）（5）
对于（1），根据绝对值的定义，将不等式化为连续不等式进行求解即可；对于（2），对的符号进行讨论，得到两个新不等式，分别求解即可，最终解集取合集；对于（3）（4）（5），利用绝对值的几何意义或零点分段法求解即可.
解析 （1）原不等式等价于，解得
（2）当时，解得
当时，解得不合题意，舍去.
综上，原不等式的解集为
（3）结合绝对值的几何意义，可知
将其代入，
得原不等式的解集为
（4）结合绝对值的几何意义，可知
将其代入，
得原不等式的解集为
结合零点分段法，可得
当时，，解得
当时，，解得
当时，，解得
综上，原不等式的解集为
对于只含一个绝对值的不等式，直接对绝对值符号内的代数式的正负进行讨论即可；对于含两个绝对值的不等式，可利用绝对值的几何意义，直接套公式，或利用零点分段法，将对各个对绝对值内的代数式进行分类讨论，解出不同区间上对应的不等式，最后求并集即可.
1．有下列各数：①；②；③0；④5．其中能使不等式成立的为（ ）
A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④
2．若不等式无解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．解不等式：．
利用“两数相乘或相除，同号得正，异号得负”，将解此类不等式转化成解不等式组，值得注意的是，具体的分类方法如下：
例2 解下列不等式：
（1）（2）
将不等式等价转换为一元一次不等式组即可，注意：分母上的代数式的值不为0.
解析 （1）原不等式等价于解得
（2）原不等式等价于解得
对于解形如的不等式，可以理解为两个数想乘或相除后，所得结果为正或负，则求这两个数的正负情况，通过这种“简化”理解，可直接将不等式等价转换，便于求解.
4．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式
解：
可化为，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
①，②，
解不等式组①，得，
解不等式组②，得，
的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
(1)一元二次不等式的解集为 ；
(2)分式不等式的解集为 ；
(3)解一元二次不等式．
解决此类综合题目时，一般从含字母的方程（组）入手，把方程（组）的解代入不等式中，再解关于字母的不等式（组）.也可通过观察，将方程组中的方程进行加减，拼凑出与已知有关的代数式的值，再结合整体代入的思想，解关于字母的不等式（组）.
例3 已知关于x，y方程组的解满足不等式，求m的取值范围.
先把m当成已知数，用含m的代数式表示x，y，再代入不等式中，得到关于m的不等式，求出m的取值范围.
解析 解方程组，得将其代入，得，解得
对于方程（组）与不等式（组）的综合问题，要先确定可以当成已知数的字母，利用它表示其他未知数，再结合已知条件，列出新的方程（组）或不等式（组），进而得到该字母的取值范围.值得注意的是，一些题目中对于这类字母，可能有隐含的范围，求解时要多加注意.
5．关于的方程组，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若方程组的解满足，则k的取值范围是 ．
7．关于的方程组的解满足为非正数，为正数．
(1)求的取值范围；
(2)已知关于的不等式的解集为，请求出所有满足条件的整数的值．
8．使不等式成立的整数共有（ ）
A．10000个 B．20000个 C．9999个 D．80000个
9．不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
10．对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，如：，，，给出如下结论：①；②若，则x的取值范围是；③当时，的值为1或2；④若且，则x的取值范围为．其中正确的结论有( )个
A．1 B．2 C．3 D．4
11．不等式的解集是 ．
12．能够使不等式成立的x的取值范围 ．
13．若不等式有解，则实数的最小值是 .
14．无论取何值，都成立，则的取值范围是 ．
15．若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ．
16．数学实验室：
、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是　　；
(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　；
(3)若x表示一个有理数，且，则＝　　；
(4)若x表示一个有理数，且＞4，则有理数x的取值范围是　　．
17．解下列不等式：
（1）
（2）
18．解不等式：
19．解不等式：|x－1|＋|x－3|＞4.
20．请阅读求绝对值不等式和的解集的过程．
对于绝对值不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；
对于绝对值不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．
(1)求绝对值不等式的解集；
(2)已知绝对值不等式的解集为，求的值；
21．【阅读理解】
的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2．
（1）可理解为______；
我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．
【理解运用】
根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或．
（2）①不等式的解集是______；
②不等式的解集是______；
【拓展探究】
（2）请求出绝对值不等式的解集．
22．数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究：
根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．

根据以上探究，解答下列问题：
(1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______；
(2)解不等式；
(3)求不等式的解集．
23．在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题：
如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集．
小明同学的探究过程如下：
先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1：
先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下：
(1)请将小明的探究过程补充完整；
所以，的解集是或______①___________．
再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②；
所以，的解集为：_______③________．
经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________．
请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题：
(2)求绝对值不等式的解集．
24．阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；
例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为．
例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．

例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．

参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程的解为________________；
(2)解不等式：；
(3)解不等式：．
25．已知、在数轴上分别表示、.
(1)对照数轴填写下表：
、两点的距离
(2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和；
(3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值；
(4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围．
26．认真阅读下面的材料，完成有关问题，
材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为．
(1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）；
(2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少
(3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：

由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______；
②利用数轴解不等式，并加以说明．
27．阅读理解：
例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为．
例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．

参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程的解为________
(2)解不等式：．
(3)解不等式：．
28．阅读理解：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．
例1. 解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为；
例2. 解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．

参考阅读材料，解答下列问题：
(1)的解为____________；
(2)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是____________；
(3)不等式的解集为____________．
29．（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则：
①“”可理解为 ；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ．
我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，
绝对值不等式的解集是．则：
①不等式的解集是 ．
②不等式的解集是 ．
（3）【拓展应用】解不等式，并画图说明．
30．阅读下列材料并解答问题：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离：，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离；
这个结论可以推广为表示在数轴上数和数对应的点之间的距离；
例1解方程，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即该方程的解为．
例2解不等式，如图，在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为或．
例3解方程由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和的距离之和为的对应的的值.在数轴上，1和的距离为3，满足方程的对应的点在1的右边或的左边，若对应的点在1的右边，由下图可以看出；同理，若对应的点在的左边，可得，故原方程的解是或．
回答问题：（只需直接写出答案）
①解方程
②解不等式
③解方程
31．已知方程组
(1)若原方程组中为非正数，为负数，求的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若，求的最小的整数解．
32．阅读下列材料：
[数学问题]已知x y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
[问题解决]∵x y＝2，∴x＝y+2
又∵x＞1，
∴y+2＞1，∴y＞ 1
又∵y＜0，
∴ 1＜y＜0①
同理得：1＜x＜2②
由①+②得： 1+1＜x+y＜0+2
即：0＜x+y＜2
(1)[类比探究]在数学问题中的条件下，x＋2y的取值范围是 ．
(2)已知x y＝5，且x＞2，y＜0，
①求y的取值范围．
②求x+2y的取值范围．
(3)已知y≥1，x＜ 1，若x+y＝a（a＞0），直接写出x 2y的取值范围（用含a的代数式表示）．
33．阅读下列材料：解答“已知x－y＝2，且x>1，y<0，试确定x＋y的取值范围”有如下解法：
解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2 又∵x>1，∴y＋2>1，∴y>－1．
又∵y<0，∴－1同理可得1由①＋②得：－1＋1∴x＋y的取值范围是0按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知x－y＝3，且x>2，y<1，则x＋y的取值范围是______；
(2)已知关于x，y的方程组的解都是正数，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若a－b＝4，b<2，求2a＋3b的取值范围．
34．阅读理解：
定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．
问题解决：
(1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号）
①，
②，
③；
(2)若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围；
(3)当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”．若且满足条件的整数n有且只有一个，求m的取值范围．
35．已知关于，的方程组．
(1)若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值；
(2)若原方程组的解，满足，
①求的取值范围；
②求不等式组的解集．
试卷第1页，共3页
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《第十一章 不等式与不等式组（第1节 解不等式（组））》参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了解绝对值不等式，根据题意得出x的取值范围是解题的关键．先求解绝对值不等式，得出x的取值范围，进而求出答案．
【详解】解：∵，
∴或，
解得：或，
∴能使不等式成立的为①；④5．
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了绝对值的几何意义和绝对值不等式，由对值的几何意义得表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为，即可求解；理解绝对值的几何意义是解题的关键．
【详解】解：表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为，
无解，
，
故选：D．
3．或
【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，把转化为或求解即可．
【详解】∴，
∴或，
解得，
解得．
综上可知，或．
4．(1)或
(2)或
(3)
【分析】本题考查了有理数乘除法运算法则，解一元一次不等式组，熟练掌握相关法则和步骤是解题关键．
（1）仿照例题，将化为，由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得到两个一元一次不等式组，分别求解即可得到答案；
（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，将分式方程化为两个一元一次不等式组，分别求解即可得到答案；
（3）可化为，由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得到两个一元一次不等式组，分别求解即可得到答案．
【详解】（1）解：
可化为，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
①，②，
解不等式组①，得，
解不等式组②，得，
的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或，
故答案为：或；
（2）解：分式不等式，
由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，得
①，②，
解不等式组①，得，
解不等式组②，得，
分式不等式的解集为或，
故答案为：或
（3）解：，
可化为，
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得
①，②，
解不等式组①，得，
解不等式组②，不等式无解，
的解集为，
即一元二次不等式的解集为．
5．D
【分析】本题可先通过方程组中两个方程相减得出关于的表达式，再结合的取值范围来确定的取值范围．本题考查二元一次方程组的变形以及不等式的性质．解题关键在于通过方程组中方程相减得到（即）关于的表达式，再利用的取值范围，结合不等式性质求出的取值范围．
【详解】解： ，
用第一个方程减去第二个方程，
可得：
去括号得：
合并同类项得：
两边同时除以，得到．
∵，
∴．
，对于，当时，；当时，．
∵的取值范围是大于小于，
∴的取值范围是．
故选：D
6．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，方程组中两方程相减求得，由求出k的取值范围即可．
【详解】解：，
得，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
7．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，求一元一次不等式的整数解，正确解二元一次方程组是解题的关键．
（1）先解关于二元一次方程组，求出值，根据为非正数，为正数列不等式组进行求解；
（2）将不等式变形为，根据不等式的解集为确定，结合（1）的结论最后求解即可．
【详解】（1）解：解方程组，得，
为非正数，为正数，
，
解，得
（2）整理不等式，得，
关于的不等式的解集为，
，即，
由（1）知，
，
取整数值为
8．C
【分析】本题考查了解一元一次不等式，化简绝绝对值，分类讨论是解题的关键．
分，，三种情况，去绝对值，解不等式即可．
【详解】解：当时，，解得，即，其整数解有3999个；
当时，恒成立，整数解有2001个；
当时，999，解得，即，整数解有3999个．
综上所述，使不等式成立的整数共有（个）．
故选：C．
9．C
【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
解不等式③得：，
∴不等式组的解集为，
故选C．
【点睛】本题主要考查了解不等式组和含绝对值的不等式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
10．B
【分析】根据所学知识逐项判断即可．①可举反例；②可根据题意中的规定判断；③当，，时，分类讨论得结论；④根据x的取值范围，求出方程的解后判断．
【详解】解：①、因为[x]表示不大于x的最大整数，
∴当时，
∴①不正确；
②、若，则x的取值范围是，故②是正确的；
③、当时，[，
当时，，
当时，，综上③是正确的；
④、∵，
∴，
解得：．
∵
∴，
解得：
∴x的取值范围为
故④是错误的．
故正确的是：②③，共两个．
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式组．题目难度较大．理解题意和学会分类讨论是解决本题的关键．
11．
【详解】解:x＜-1时，-x+3+x+1＞2，
4>2
∴x＜-1，
-1≤x≤3时，
-x+3-x-1＞2，
x<0；
x＞3时，x-3-x-1＞6，不成立.
故答案是:x<0
【点睛】考查绝对值不等式的解法，考查学生的计算能力，比较基础．
12．x＜-1
【分析】根据绝对值的性质可知：|x|-x≥0，当等于0时不符合题意，再由不等式的性质两个异号因式相乘的值小于0可求出x的取值范围．
【详解】解：当x≥0时，|x|-x=x-x=0，
于是（|x|-x）（1+x）=0，不满足原式，故舍去x≥0；
当x＜0时，|x|-x=-2x＞0，
x应当要使（|x|-x）（1+x）＜0，满足1+x＜0，即x＜-1，
所以x的取值范围是x＜-1．
故答案为：x＜-1．
【点睛】本题综合考查了绝对值的性质和不等式的性质，有一定难度．
13．
【分析】本题考查绝对值的代数意义，根据代数意义去绝对值，分类讨论求解即可得到答案，
熟练掌握利用绝对值的代数意义去绝对值是解决问题的关键．
【详解】解：①当时，，
，解得，
不等式有解，
，解得；
②当时，，
，解得，
不等式有解，
，解得；
③当时，，
，解得，
不等式有解，
，解得；
综上所述，若不等式有解，则，即实数的最小值是，
故答案为：．
14．
【分析】分类讨论求出不同情况下的取值即可求出的取值范围．
【详解】解：当时，
；
当时，
；
当时，
；
综上，，
则当时，恒成立．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是求一元一次不等式的解集、化简绝对值、含绝对值的一元一次不等式，解题关键是对含绝对值的不等式分类讨论求解．
15．
【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，，
不等式组有4个整数解，
∴，
∴，
解方程组，
得：，解得，
将代入②得：，解得
方程组的解为：，
∵，
∴，
关于的方程组的解为整数，
，
当时，，符合题意；
所有满足条件的整数的值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组等知识点，根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围是解题的关键．
16．(1)3
(2)
(3)4
(4)或
【分析】（1）根据数轴上两点之间距离公式直接计算解答即可；
（2）根据数轴上两点之间距离公式直接计算解答即可；
（3）由结合绝对值的性质可得，进而合并同类项即可；
（4）分别根据、、结合绝对值的性质解，解答即可．
【详解】（1）解：和的两点之间的距离，
数轴上表示2和5的两点之间的距离是3．
故答案为：3；
（2）解：和的两点之间的距离为：，
数轴上表示和的两点之间的距离表示为：．
故答案为：；
（3）解：，
．
故答案为：4；
（4）解：当时，原式，解得，，
当时，原式，解得，，
当时，原式，不符合题意，故舍去，
有理数的取值范围是：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了绝对值，两点间的距离公式，解题的关键是明确的几何意义．
17．（1）或；（2）
【分析】根据绝对值的意义，分类讨论，再解一元一次不等式不等式即可．
【详解】（1）
当时，则，解得，
，
当时，则，解得，
，
综上，或；
（2）
当，即时，，解得，
，
当时，则，解得，
，
综上，．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据绝对值的意义，分类讨论是解题的关键．
18．x＜-5或x＞1
【分析】根据相应的x的特殊值进行分段，从而去绝对值化简，再分别求解，最后将解集合并．
【详解】解：令，解得：x=±4，
令，解得：x=，
∴当x＜-4时，，
解得：x＜-5，
∴此时x＜-5；
当-4≤x＜时，，
解得：x＜-7，
∴此时无解；
当≤x＜0时，，
解得：x＞，
∴此时无解；
当0≤x＜4时，，
解得：x＞1，
∴此时1＜x＜4；
当x≥4时，，
解得：x＞3，
∴此时x≥4；
综上：不等式的解集为：x＜-5或x＞1．
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，解题时要结合绝对值的意义进行分段，分别求解，注意最后要合并解集．
19．x＜0或x＞4
【详解】试题分析：此题是一个带绝对值的复合不等式，应分为x≤1，1＜x≤3，x＞3，三种情况，再根据绝对值的性质化简原式，解不等式即可.
试题解析：当x≤1时，原式可变形为
1－x＋3－x＝4－2x＞4，解得x＜0.
当1＜x≤3时，原式可变形为
x－1＋3－x＞4，得2＞4，不合题意．
当x＞3时，原式可变形为
x－1＋x－3＝2x－4＞4，解得x＞4.
∴x＜0或x＞4.
点睛：此题主要考查了带绝对值的复合不等式的解法，解题关键是要根据绝对值的性质，分情况讨论，然后根据绝对值的性质求解不等式既能解决，解题时注意不等式的基本性质的应用.
20．(1)或
(2)
【分析】（1）由绝对值的几何意义即可得出答案；
（2）由|2x 1|＜a知 a＜2x 1＜a，据此得出，再结合b＜x＜3可得出关于a、b的方程组，解之即可求出a、b的值，从而得出答案．
【详解】（1）根据绝对值的定义得：或，
解得或；
（2），
，
解得，
解集为，
，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式和不等式组的基本步骤．
21．（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；（2）①；②或；（3）或
【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键．
(1)根据绝对值的几何意义，结合题意进行解答即可；
(2)根据绝对值的几何意义，对一元一次不等式求解即可；
(3)根据(1)(2)的理解，进行绝对值的化简，然后解一元一次不等式即可．
【详解】解：（1）由题意可知可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2，
故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；
（2）①根据题意可得的解集为，
故答案为：；
②根据题意可不等式的解集是，
∴或，
故答案为：或；
（3），
或，
解得或．
22．(1)，或
(2)或
(3)
【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意．
（1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集；
（2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围；
（3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集．
【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为；
不等式（）的解集为或；
（2）由（1）得：由于，
所以或，
所以或，
所以的解集为或；
（3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值，
因为数轴上1和对应点的距离为3，
所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．
若x对应的点在1的右边，可得；
若x对应的点在的左边，可得；
所以方程的解为或，
所以不等式的解集为．
23．(1)①；②见解析；③；④或；⑤；
(2)．
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法、绝对值的性质；熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键．
（1）根据题意即可求得；
（2）将的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得．
【详解】（1）解：①∵，
∴或
故答案为：．
如下图：
∵，
∴
故答案为：；
∵
∴或；
故答案为：或
∵
∴；
故答案为：
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．(1)或
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了绝对值及不等式的知识：
（1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或求解即可；
（2）先求出的解，再求的解集即可；
（3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集．
解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离．
【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或，
∴方程的解为或，
故答案为：或．
（2）在数轴上找出的解，
∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为或8，
∴方程的解为或，
∴不等式的解集为．
（3）在数轴上找出的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值，
∵在数轴上3和对应的点的距离为7，
∴满足方程的x对应的点在3的右边或的左边．
若x对应的点在3的右边，可得；
若x对应的点在的左边，可得，
∴方程的解是或，
∴不等式的解集为或．
25．(1)6；2；12
(2)0
(3)10
(4)或
【分析】（1）根据数轴上点表示的有理数，即可求出两点间的距离．
（2）由数轴上两点间的距离，可得出只要在和7之间的整数均满足题意，进而即可求解．
（3）由题意得：，去绝对值即可求解．
（4）分类讨论：当时；当时；当时；去绝对值，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：当，时，A、B两点的距离为；
当，时，A、B两点的距离为；
当，时，A、B两点的距离为，
、两点的距离 6 2 12
故答案为：6、2、12．
（2）7到的距离为，
7到之间的所有整数，均满足到和的距离之和为，
∴ 数轴上到7和的距离之和为14的所有整数有：，，，，，，，0，1，2，3，4，5，6，7；
，
答：所有这些整数的和为0．
（3）由题意得：，
则．
（4）当时，
不等式，即：，
解得：；
当时，
不等式，即，
则无解，
当时，不等式，即：，
解得：，
综上所述：有理数x的取值范围为：或．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离、解一元一次不等式及绝对值的意义，熟练掌握数轴上两点之间的距离及绝对值不等式的解法是解题的关键．
26．(1)3，
(2)，最小值为1
(3)①；②
【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可；
（2）分析出的意义，结合数轴找到合适的值即可；
（3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解．
【详解】（1）解：C到B的距离为；
A到B的距离与A到C的距离之和可表示为；
（2）表示数轴上x与3和x与2的距离之和，

故当时，取最小值，且为；
（3）①的解集为或，
故答案为：或；
②当时，，
∴；
当时，，
∴x无解；
当时，，
∴；
综上所述：或．

【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握绝对值的意义，理解题意，分类讨论是解题的关键．
27．(1)或
(2)
(3)或
【分析】（1）利用在数轴上到对应的点的距离等于5的点对应的数为5或，求解即可；
（2）先求出的解，再求的解集即可；
（3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集．
【详解】（1）解：∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为或5，
∴方程的解为：或，
故答案为：或．
（2）解：在数轴上找出的解，如图：

∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3，
∴方程的解为或，
∴不等式的解集为．
（3）解：在数轴上找出的解，
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的的值，
∵在数轴上4和对应的点的距离为6，
∴满足方程的x对应的点在4的右边或的左边，
若x对应的点在4的右边，可得；
若x对应的点在的左边，可得，
∴方程的解是或，
∴不等式的解集为或．
【点睛】本题主要考查了绝对值，不等式，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离．
28．(1)或
(2)，，，0，1，2
(3)或
【分析】（1）根据材料定义，理解为数轴上到3的距离为2的点即为表示的数，从而求解；
（2）根据材料定义，理解为数轴上到2的距离与到的距离之和为5点即为表示的数，由此结合数轴求解即可；
（3）在（2）的基础上，求出数轴上到2的距离与到的距离之和大于7的的范围即可．
【详解】（1）解：，
或，
∴或，
故答案为：或；
（2）解：要使得，
即：数轴上到2的距离与到的距离之和为5，
∵数轴上和2之间的距离恰好为5，
∴，
∵为整数，
∴，，，0，1，2，
故答案为：，，，0，1，2；
（3）解：要使得，
即：数轴上到2的距离与到的距离之和大于7，
首先在数轴上找出的解（如图），

由（2）可知数轴上和2之间的距离恰好为5，
∴要使得到2的距离与到的距离之和等于7，则或，
∴的解集为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，以及利用绝对值的几何意义解方程和不等式，熟练利用绝对值的几何意义和数轴分析是解题关键．
29．（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于；②；3；
（2）①或；②；（3）或，见解析．
【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）；
（2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答；
（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集，就是数轴上表示数的点到表示与的点的距离之大于的所有的值，由此即可确定不等式的解集．
【详解】（1）①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于．
故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于；
②
令，
使不等式“”成立的整数为，，
故答案为：，．
（2）①由题意可知，
不等式的解集是或，
故答案为：或；
②由题意可知，不等式的解集为：
，
即，
故答案为：；
（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集就是数轴上表示数的点，到表示与的点的距离之和大于的所有的值，
如下图所示，
可知不等式的解集是或．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
30．①或②或③或
【分析】①根据题意可以求得方程的解；
②根据题意可以求得不等式得解集；
③讨论的不同取值范围可以求得方程的解．
【详解】①解方程
∵在数轴上与距离为4的点的对应数为，1，
∴这个方程的解为或；
②解不等式，
如图3，在数轴上找出的解，
∵在数轴上到3的距离为4的点对应的数为，7，
∴的解集为或；
③，
当时，
，
∴；
当时，
，
∴不能使得成立；
当时，
，
∴当时，不能使得成立；
当时，
，
解得，；
故的解是或．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的解法，弄懂阅读材料中的方法，利用分类讨论思想是解本题的关键．
31．(1)
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的求解，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组和一元一次不等式组的解法是关键；
（1）先解方程组，求出，再根据为非正数，为负数得到关于a的不等式组，解不等式组即可；
（2）将（1）中方程组的解代入不等式可求出a的范围，结合（1）题即可确定a的最小整数．
【详解】（1）解：解方程组，
得，
∵为非正数，为负数，即，
∴，
解得：；
（2）解：∵，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴a的最小整数解是．
32．(1)
(2)①；②
(3)当时，；当时，；当时，
【分析】（1）仿照阅读材料求出的取值范围；
（2）①仿照阅读材料求出y的取值范围；②仿照阅读材料求出x的取值范围，再利用不等式的同号可加性，即可求出x+2y的取值范围；
（3）仿照阅读材料分情况讨论出x、y的取值范围，再可以利用不等式的同号可加性，即可求出x 2y的取值范围；
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴①，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，②，
由①+②得：，
即：，
故答案为：；
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
②∵，
∴①，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，②，
由①+②得：，
即：；
（3）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵
∴当时，，则，故①，
当时，，则，故②，
当时，，则，故③，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴当时，，则④，
当时，，则⑤，
当时，，则⑥，
∴当时，①+④得，则，即，
当时，②+⑤得，则，即，
当时，③+⑥得，则，即．
故答案为：当时，；当时，；当时，．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，二元一次方程的解，理解例题的解题思路，和注意不等式的同号可加性，是隐含的限定条件是解题的关键．
33．(1)1＜x+y＜5
(2)a＞1
(3)
【分析】（1）模仿阅读材料解答即可；
（2）先把方程组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可；
（3）分别求出2a、3b的取值范围，相加可得结论．
【详解】（1）解：∵x-y=3，
∴x=y+3，
∵x＞2，
∴y+3＞2，
∴y＞-1，
又∵y＜1，
∴-1＜y＜1…①，
同理可得2＜x＜4…②，
由①+②得：-1+2＜x+y＜1+4，
∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5，
故答案为：1＜x+y＜5；
（2）解：解方程组，
得，
∵该方程组的解都是正数，
∴x＞0，y＞0，
∴，
解不等式组得：a＞1，
∴a的取值范围为：a＞1；
（3）解：∵a－b=4，b<2，
∴，
∴，
由（2）得，a＞1，
∴，
∴…①，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴…②，
由①+②得：，
∴2a＋3b的取值范围是．
【点睛】本题考查不等式的性质及运算法则，解一元一次不等式组，解二元一次方程组，以及新运算方法的理解，熟练熟练掌握不等式的运算法则是解题的关键．
34．(1)②③
(2)
(3)
【分析】（1）根据“理想解”的定义进行求解即可；
（2）把代入相应的方程组和不等式，从而求得q的取值范围；
（3）根据当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”，可求得， ，从而得到，结合且满足条件的整数n有且只有一个，此时n恰好有一个整数解－2，从而可求m的范围．
【详解】（1）解：3x-5=4，
解得：x=3，
当x=3时，
①，
解得：，故①不符合题意；
②，
解得：x≤3，故②符合题意；
③，
解得，
故不等式组的解集是：，故③符合题意；
故答案为：②③；
（2）解：∵是方程组与不等式的“理想解”
∴，
解得，
∴，
解得；
（3）解：∵当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”，
∴，
解得，
由解得．
当时，
∴，
即.
∵方程的解都是此方程与不等式的“理想解”，
∴，
∴．
∵满足条件的整数n有且只有一个，
∴
∴
解得
∴，
，
∴此时n恰好有一个整数解-2，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次方程的解，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握与灵活运用
35．(1)m=2
(2)①m＜；②若m≤-2，则不等式组无解，
若-2＜m＜，则不等式组的解集为-2＜x＜m．
【分析】（1）解方程组得出a=3m+2、b=m+1，代入方程2a-3b=7，解之可得；
（2）将a、b代入a+2b＜12得出m的范围，再解不等式组，根据解集分类讨论可得．
【详解】（1）解方程组得，
根据题意知2（3m+2）-3（m+1）=7，
解得：m=2；
（2）由题意知3m+2+2（m+1）＜12，
解得：m＜，
②解不等式x-m＜0，得：x＜m，
解不等式4x+3＞2x-1，得：x＞-2，
若m≤-2，则不等式组无解，
若-2＜m＜，则不等式组的解集为-2＜x＜m．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据题意得出关于m的方程或不等式是解答此题的关键．
答案第1页，共2页
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