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第十章 二元一次方程组
第1节 解方程组
1.代入消元法
把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.
2.加减消元法
把一个方程或者两个方程的两边都乘适当的数，使二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解.
3.叠加法
当两个方程的特征为以下三种时，可考虑用叠加法，即将等式两边分别相加或相减，达到化简消元的目的.叠加法的本质是加减消元法.
（1）
（2）
（3）
4.换元法
对结构比较复杂的方程组，把其中某些部分看成一个整体后用新字母代替（即换元），实现降次、化分式为整式或化繁为简等，从而得到一个关于新字母的方程组，解这个新方程组后，再代回，即可得到原方程组的解.
5.参数法
如果方程组中有一个方程是等比的形式，如，令一个参数等于这个比值，然后把未知数用参数来表示，得到一个关于参数的方程，解这个新方程，进而求出原未知数.
例1 解下列方程组：
（1）（2）
（3）（4）
（1）该方程组为轮换对称型方程组，将两个方程相加或相减后，可以的到一个相对简单的方程，再代入求解即可；（2）该方程组为系数差同型方程组，将两个方程相减后，得到一个相对简单的方程，再进行代入求解即可；（3）每个方程中都含有和，设，，将原方程转化为关于a，b的二元一次方程组，利用消元法求出a，b的值后，再得到关于x，y的方程组，求解即可；（4）方程组中含有比例关系，依据比例设参数，得到关于参数的方程，解出参数的值后，即可得到原方程组的解.
解析 （1）
（①+②）÷4039，得③
①-2019×③，得则
所以方程组的解为
（2）
（①-②）÷2，得③
①-2020×③，得则
所以方程组的解为
（3）设，，则
解这个方程组，得则
解这个方程组，得
（4）设
则解得
所以原方程的解为
解二元一次方程组的核心目的是消元，对于特殊的二元一次方程组而言，解决的关键是简化方程组，而确定简化的方法则是看所包括的方程组的特征，如果同一个未知数的系数很特殊，则考虑将方程相加或相减；如果方程所含未知数很特殊，则考虑用换元法简化.
1．解下列方程组：
(1)；
(2)
2．用换元法解方程组．
3．解下列三元一次方程组：
(1)
(2)
1.若两个方程中绝对值符号内的代数式相同，则可参考换元法的思路，将这个代数式的绝对值看作一个整体的未知数，解出整体的绝对值，再根据含绝对值的一元一次方程求解.
2.若两个方程中绝对值符号内的代数式不同，则可分别讨论绝对值符号内代数式的正负来去掉绝对值符号，从而得到新的方程组，进行求解.
例2 解下列方程组：
（1）（2）
（1）将分别看成整体，通过解方程组求出，再去掉绝对值符号，得到原方程组的解；（2）对绝对值内的代数式进行分类讨论，去掉绝对值符号，得到两个新方程组，分别求解即可.
解析 （1）
①×2-②，得将其代入①，得
则原方程的解为
（2）当时，原方程组为解得
当时，原方程组为解得
综上，原方程组的解为
对于含绝对值的方程组，要先看绝对值符号中的代数式是否相同，如果相同，则利用整体思想，先求出整体的值，再去掉绝对值符号；如果不同或只有一个绝对值，则利用分类讨论，将方程组化成标准的二元一次方程组进行求解，求出解后，切记要进行验证.
4．方程的解共有 ．
5．解方程组：
(1)；
(2)．
6．解方程组：
7．解下列方程组：
(1)
(2)
(3)已知的解为，则关于的方程的解为___________．
8．已知关于，的二元一次方程组，求的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，就可以通过适当变形，求得该整式的值，例如由可得，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．根据上述材料解答下面问题：
(1)已知方程组，由可得__________；
(2)用“整体思想”解答：已知方程组，求的值；
(3)请说明在关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变．
9．阅读列一段材料，运用相关知识解决问题．
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变量称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设，，则原方程组可转化为，运用以上知识解决下列问题：
(1)解方程组；
(2)关于x，y的二元一次方程组解为，求方程组的解．
10．【阅读感悟】
对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值．
如：已知实数，满足 ，求和的值．
方法一：解方程组，分别求出，的值，代入代数式求值；
方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．
解法如下：
， 得：，
，得：．
比较：
方法一运算量较大，是常规思路；
方法二运算较为简单，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】
(1)已知二元一次方程组，则 ， ．
(2)对于实数，，定义新运算： ，其中，，是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，求的值．
11．小明热爱数学，在数学课外资料上看到一道用整体代换法解二元一次方程组的题：
解方程组．
解：将方程②变形，得，即③．
把方程①代入③，得，解得．
把代入①，得，
∴方程组的解为．
请你仿照上面的解题方法解决以下问题：
(1)解方程组；
(2)已知满足方程组，求的值．
12．规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
(1)方程的共轭二元一次方程是______________；
(2)若关于、的方程组为共轭方程组，则______，__________；
(3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题：
解共轭方程组时，可以采用下面的解法：
得：，所以
得：
得：，从而得
所以原方程组的解是．
用上述方法求共轭方程组的解．
13．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形为，即，③
把方程①代入③得，∴，
把代入①得，
∴方程组的解为
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组
(2)已知x，y满足方程组求整式的值．
14．阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题．
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为．
运用以上知识解决下列问题：
(1)求方程组的解．
(2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ．
(3)举一反三：方程组的解为 ．
15．【注重阅读理解】
先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组：
由，得．
把代入，得，解得．
把代入，得．
原方程组的解为
这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：
16．对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法．
例如，解方程组
解：把②代入①，得，解得，
把代入②，得．
所以方程组的解为．
(1)请用同样的方法解方程组；
(2)已知方程组的解为，可以运用整体思想，
解方程组直接得出_____，_____，
所以该方程组的解为_____．
17．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由①②，得，即③，
③，得④，
②④得，
从而可得，
∴原方程组的解是．
(1)请你仿照上面的解题方法解方程组；
(2)请你仿照上面的解题方法解方程组；
(3)请大胆猜测关于的方程组的解是什么？并用方程组的解加以验证．
18．下面是李明同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务．
“整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，在解方程组时，运用“整体思想”通常会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 分析：在这个方程组中，方程②中的在方程①中也存在，此时运用整体思想，把看作一个整体，就可以直接代入方程①进行计算，避免了先去括号等复杂操作． 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为
任务：
(1)利用“例1”的方法，解方程组
(2)已知利用“例2”的方法，求的值．
19．情境 珍珍在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组：
尝试 （1）若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体如下.
请将下面解题过程补充完整．
解：设，，则原方程组可化为______，解关于，的方程组，得，所以解这个方程组，得______；
应用 （2）利用上述方法解方程组
20．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：
解方程组时，我们如果直接考虑消元；那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便．
解：得，，所以，③
将③，得，④
，得，由③，得，
所以方程组的解是．
(1)解方程组．
(2)猜想：下列关于x、y的方程组的解是什么？并说明理由．
21．先阅读下列材料，解方程组时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多．
解方程组
解：，得，③
，得，④
，得，
将代入③得，
所以原方程组的解是，
根据上述材料，解答问题：
(1)解方程组；
(2)在（1）的条件下，求式子的值．
22．阅读下列材料：
小亮同学在学习二元一次方程组时遇到了这样的一个问题：解方程组 ，小亮发现，如果把方程组中的，看成一个整体，通过换元，可以解决问题，以下是他的解题过程：
解：令 ．
原方程组化为 ， 解得
把代入 ，得 ，解得
所以原方程组的解为
(1)运用上述方法解方程组
(2)直接写出方程组 的解为_______．
(3)在（2）的条件下 ， ，求 的值．
23．规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
(1)方程的共轭二元一次方程是 ；
(2)若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ；
(3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题：
解共轭方程组时，可以采用下面的解法：
②+①得：，所以③
③得：④
①-④得：，从而得
所以原方程组的解是
用上述方法求共轭方程组的解．
24．规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”.
(1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____．
(2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数．
25．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由①②，得，即，③
③14，得，④
②④，得，从而可得，
方程组的解是
(1)请你仿上面的解法解方程组
(2)猜测关于的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证．
26．定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法．
(1)用轮换对称解法解方程组：解得______；
(2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）．
27．在解二元一次方程组中，如果方程组中含有未知数的比例，那么可以进行参数换元法，如解二元一次方程组：，设，那么，将a代入于②中，得，
∵且，
∴原方程组的解为，请用这种方法完成下列各题：
(1)【学以致用】解二元一次方程组：．
(2)【能力提升】解二元一次方程组：．
(3)【拓展训练】，求x和y的值．
28．情境 小海在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组
尝试（1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面解题过程补充完整．
解：设，，则原方程组可化为_______，解关于，的方程组，得，
所以，解这个方程组，得_____；
迁移（2）利用上述方法解方程组
29．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：将方程②变形，得，即．③
把方程①代入③，得，解得．
把代入①，得，方程组的解为
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代入”法解方程组
(2)已知满足方程组，求的值．
30．换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想．
(1)填空：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，，则原方程组可化为关于a、b的方程组解得a、b的值；这样可得，从而得到原方程组的解为．
(2)请用换元法解方程：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《第十章 二元一次方程组（第1节 解方程组）》参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组．
（1）先由得③，，得④，将原方程组简化后再解方程组即可；
（2）先由，得，即，再用代入消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
，得，即③，
，得，即④，
联立③④，得，
解得，
故原方程组的解为；
（2）解：，
，得，即，
把代入①，得，
解得，
把代入，得，
故原方程组的解为．
2．
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握换元法解方程组是解答本题的关键．设，，方程组可化为，据此可得m、n的值，再代入计算即可．
【详解】解：设，，
方程组可化为，
解得，
∴，
解得．
3．(1)
(2)
【分析】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法将方程组转化为一元一次方程进行解答．
（1）将①代入②消去y，与③联立得到关于x，z的二元一次方程组求解，再求y的值即可；
（2）由，，消去y，得到关于x，z的二元一次方程组求解，再求y的值即可．
【详解】（1），
将①代入②，得
，
∴，
，
解得，
把代入①，得，
∴；
（2），
由，得，
，得，
由④⑤得到
将代入①可得， ，
∴原方程组的解为．
4．4
【详解】设，则，
解得，于是
所以或，共4组．故应填4．
5．(1)
(2)
【分析】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握三元一次方程组的解法．
（1）利用加减消元法求解即可；
（2）将方程组整理为，再利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
得：
，
得：
，
将，代入①得：
，
，
方程组的解集为；
（2）解：
方程组可整理为
得：
，
联立，
解得：，
将代入②得：，
方程组的解集为．
6．
【分析】本题主要考查了解分式方程组，令，则原方程组可化为，解方程组得到，，则可得到，据此求解即可．
【详解】解：令，则原方程组可化为，
得，解得，
把代入①得，解得，
∴，
∴，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程组的解．
7．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是解二元一次方程组．
（1）根据代入消元法解二元一次方程组，即可求解；
（2）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解；
（3）把原方程化为，可得，从而可得答案．
【详解】（1）解：
①代入②得，
解得：
将代入①得，
所以原方程组的解为：；
（2）解：
原方程组可化为：
①②得：，
将代入①得，
解得：
所以原方程组的解为：；
（3）解：∵，
∴，
而关于，的方程组的解是，
∴，解得：；
故答案为：．
8．(1)
(2)7
(3)见解析
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法：
（1）由，即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）由，得，即可求解．
【详解】（1）解：由可得：；
故答案为：，
（2）解：
由得：，
解得：．
（3）解：
由得：，
整理得：，
，
无论取何值，的值始终不变．
9．(1)；
(2)．
【分析】本题考查换元法解分式方程，解二元一次方程组，二元一次方程组的，熟练掌握解方程及方程组的方法是解题的关键．
（1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解；
（2）由已知得，求解即可得答案.
【详解】（1）解：设，，
则原方程组可化为，
解得，
解得，
所以原方程组的解为；
（2）解：∵关于x，y二元一次方程组的解为，
，解得：.
10．(1)1；
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想的应用以及实数的运算等知识；熟练掌握整体思想的应用，找准等量关系，列出方程组是解题的关键．
（1）按照题意，即可解答；
（2）根据题中新定义列出方程组，即可解答．
【详解】（1）解：，
得：，
得：，
，
故答案为：1；；
（2）解：，
，①，②，
则，
得：③，
把③代入①得：，
，
，
即的值为，
11．(1)
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，正确理解题意、灵活应用整体代入法是解题的关键．
（1）按照题干给的方法，利用整体代换法求解即可；
（2）先将原方程组变形为，再解关于x和的方程组即可求解．
【详解】（1）解：将方程②变形，得，
即③，
把方程①代入③，得，
解得．
把代入①，得，
解得
方程组的解为．
（2）解：原方程组可变形为，
，得⑤，
，得，
∴．
12．(1)
(2)；1
(3)
【分析】本题考查了新定义、解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键．
（1）根据新定义即可解答；
（2）根据新定义可得，，解出的值即可解答；
（3）仿照题意的方法解共轭方程组即可．
【详解】（1）解：由题意得，方程的共轭二元一次方程是．
故答案为：．
（2）解：关于、的方程组为共轭方程组，
，，
解得：，．
故答案为：；1．
（3）解：，
得：，所以，
得：，
得：，从而得，
所以原方程组的解是．
13．(1)
(2)19
【分析】本题考查解二元一次方程组等知识．
（1）将方程②变形为，即③，把方程①代入③得，即可求出y，进而可得解；
（2）由①得，即③，把方程③代入②得，即可求出，进而可求，再整体代入所求式子即可得解．
【详解】（1）解：将方程②变形为，即③，
把方程①代入③得，
∴，
把代入①得，
∴方程组的解为；
（2）解：由①得，即③，
把方程③代入②得，
解得，
把代入③得，
∴，
答：整式的值为19．
14．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查给新信息的阅读材料题目，关键在于运用题目所给定义解决问题，本题所给信息是换元法，适当换元可使得运算简便．
（1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解；
（2）由已知得，求解即可得答案；
（3）利用换元思想设，，然后解方程组即可得到未知数的值．
【详解】（1）解：（1）设m，n，则原方程组可化为，
解得，，
即，
解得，；
（2）解：根据题意得，
解得，；
（3）设，，则原方程组可化为，
解得，，
∴，
解得，．
15．
【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，把方程变形可得：，整体代入方程消去未知数，可得：，再把代入方程求出的值即可．
【详解】解：，
由可得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
方程组的解为．
16．(1)
(2)；；
【分析】本题考查了解二元一次方程组的整体代入法和换元法，解题关键是通过整体代入和换元，将复杂方程组转化为简单方程组求解；
（1）仿照已知整体代入法求出方程组的解即可．
（2）设，，利用换元，整体代入法求出方程组的解即可．
【详解】（1）解：
由①，得③．
把③代入②，得
解得．
把代入③，得．
所以方程组的解为
（2）令，，则
，
∵方程组的解为，
即，
解得，
故答案为：，，．
17．(1)
(2)
(3)，见解析
【分析】本题考查解二元一次方程组，理解题干的方法是解题的关键．
（1）仿照题干的方法求解即可；
（2）仿照题干的方法求解即可；
（3）根据题干和（1），（2）中的结果直接猜测方程组的解是，分别代入到方程组进行验证即可．
【详解】（1）解：
，得，
，
得，
得，
把代入②得，
解得：，
方程组的解是；
（2）解：；
得，即③，
得，
得，
把代入③得，
解得，
原方程组的解是；
（3）解：猜测方程组的解是，
检验：把代入方程得左边，右边，左边＝右边，
把代入方程，得左边，右边，左边＝右边，
是关于的方程组的解．
18．(1)
(2)1
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；
（1）类比于“例1”的方法可进行求解；
（2）将方程①变形为，然后可得，，进而问题可求解
【详解】（1）解：，
把②代入①，得，解得．
把代入②，得．
所以原方程组的解为；
（2）解：，
将方程①变形为③，
将②代入③，得，
解得．
把代入②，得．
所以．
19．（1），；（2）
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握整体换元法是解题的关键．
（1）根据换元法和加减消元法可得答案；
（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；
【详解】解：（1）设，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
∴，
解方程组，得，
故答案为：，；
（2）设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
∴，
解方程组，得．
20．(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了解二元一次方程组，仔细阅读题目信息，理清方程组求解的方法思路是解题的关键．
（1）根据题目信息，两个方程相减求出的值，然后再利用加减消元法求解；
（2）根据题目信息以及（1）的结论猜想方程组的解．
【详解】（1）解：，
①②得，，
所以，③，
将③，得④，
②④，得，
把代入③得，，
方程组的解是；
（2）解：猜想：关于、的方程组的解是．
理由：，
①②得，，
所以，③，
将③，得④，
②④，得，
把代入③得，，
方程组的解是．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求值，正确理解题中消元的方法是解题的关键；
（1）仿照题中消元方法解方程组即可；
（2）根据（1）所求代值计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
得：，即③，
得：④，
得：，
把代入③得：，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：当时，．
22．(1)
(2)
(3)1或3
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，实数的运算，求一个数的算术平方根和立方根，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键．
（1）仿照题意利用换元法解方程组即可；
（2）仿照题意利用换元法解方程组得到的值，进而求出x、y的值即可；
（3）根据（2）所求求出a、b的值即可得到答案．
【详解】（1）解：令，
原方程组可化为，
解得，
∴，
解得；
（2）解：令，
原方程组可化为，
解得，
∴，
解得；
（3）解：∵，
∴， ，
∴，
∴或．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键．
（1）根据共轭二元一次方程的定义即可求解；
（2）根据共轭二元一次方程组的定义得到，，然后解方程组即可求解；
（3）根据拓展的解法即可求解．
【详解】（1）解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是
故答案为：；
（2）解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，，
解得，，
故答案为：；
（3）解：
得 ，
，
，得 ，
，得 ，
把代入③，得，
∴原方程组的解为．
24．(1)，
(2)
【分析】（1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可，解方程组即可；
（2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”．
本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【详解】（1）解：根据定义，得方程的“共轭二元一次方程”为，
由题意，得，
解得，
故答案为：，．
（2）解：由二元一次方程组为“共轭方程组”，
得，
解得，
故，
故此“共轭方程组”的共轭系数为．
25．(1)
(2)，验证见解析
【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解．
（1）②①，得③，，得，求出x，再把代入③求出y即可；
（2）①②，得，求出③，，得，求出x，再把代入③求出y即可．
【详解】（1）解：，
②①，得③，
，得，解得，
把代入③，得，解得，
所以原方程组的解是；
（2）解：猜测方程组的解是；
，
①②，得，
，
③，
，得，解得，
把代入③，得，解得，
所以原方程组的解是．
26．(1)
(2)
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，理解材料提示方法是解题的关键．
（1）根据材料提示方法计算即可；
（2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可．
【详解】（1）解：，
①②得，，
∴③，
①②得，④，
∴③④得，，
解得，，
把代入③得，
故答案为：；
（2）解：根据题意，得
①＋②，得，
．
②－①，得，
解方程组得．
27．(1)
(2)
(3)，
【分析】此题考查了解二元一次方程组，读懂题意是解题的关键．
（1）设，那么，则，，代入于②中，得到，解得，即可得到答案；
（2）设，那么，代入于②中，得，解得，即可得到答案；
（3）由题意可得，，得到则得到由得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：
设，那么，则，，
代入于②中，得，
解得，
∵，，
∴原方程组的解为
（2）
设，那么，
代入于②中，得，
解得，
∵，，
∴原方程组的解为
（3）∵
∴，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
解得，
∴，
则
28．（1），；（2）
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握整体换元法是解题的关键．
（1）根据换元法和加减消元法可得答案；
（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；
【详解】解：（1）设，，则原方程组可化为，
解关于，的方程组，得，
所以，解这个方程组，得；
（2）设，，则原方程组可化为，
解关于，的方程组，得，
所以，解这个方程组，得．
29．(1)
(2)17
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握整体代入法，是解题的关键：
（1）将方程②变形，得，利用整体代入法进行求解即可；
（2）利用加减消元法，消去，整体思想，求出的值即可．
【详解】（1）解：
将方程②变形，得，
即．③
把方程①代入③，得，解得．
把代入①，得，解得，
方程组的解为
（2）
，得，即，
．
30．(1)，；1，3
(2)
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的特殊解法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合上下文，则得，再运用加减消元法解，，再得，同理解得，即可作答．
（2）模仿题干过程，先设，则原方程组可化为关于a、b的方程组，运用加减消元法解得，，则同理解得原方程组的解为，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，设，，
则原方程组可化为关于a、b的方程组，
由得，
解得
把代入，
得，
∴
∴，
整理得，
两式子相加得，
∴，
把代入，
得，
解得，
∴原方程组的解为．
故答案为：，；1，3．
（2）解：∵，
∴设，
则原方程组可化为关于a、b的方程组，
由得，
解得，
把代入，
得，
∴
∴，
整理得，
两式子相加得，
∴，
把代入，
得，
解得，
∴原方程组的解为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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