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第十章 二元一次方程组
第2节 确定二元一次方程（组）中字母的取值
若含有字母的关于两个未知数的方程式二元一次方程，将其化简后，根据二元一次方程的定义可知：
（1）方程两边的代数式都是整式；
（2）含有两个未知数，且含未知数的一次项系数不能为0；
（3）含有未知数的项的次数为1.
由以上内容可确定字母的取值.
例1 若方程是二元一次方程，则m= ,n= .
根据二元一次方程的概念，列出关于m,n的方程组，求解即可.
解析 由已知得，
化简，得解得
答案 -19；-3
此类题目的解决思路相对直接，只要确定满足二元一次方程的三个条件即可，值得注意的是，审题时要看清次数位置上的代数式，以及其值为1，而不为0.
1．若是关于，的二元一次方程，那么的值为 ．
2．若是关于x、y的二元一次方程，则 ．
3．若是关于x，y的二元一次方程，那么的值为 ．
1.若已知方程（组）的解，则将解代入方程（组），即可确定字母的取值.
2.若已知方程组解之间的关系，则先解含字母的方程组，然后利用解的关系建立等式，即可确定字母的取值.
3.若已知两个方程组有公共解，则先把两个方程组中不含字母的方程结合，求出此方程组的解，再将此解代入含有字母的方程中，组成关于这个字母的方程组，即可确定字母的取值.
4.若已知方程组有整数解，则先解方程组，用字母表示未知数，然后根据整除的性质确定字母的取值.
例2 （1）若方程组的解为则的值为 .
当a= 时，关于x，y的方程组的解互为相反数，此时方程组的解为 .
若方程组 的解满足x+y=2，则k的值为 .
（4）已知m为正整数，且关于x，y的方程组有整数解，则= .
对于（1），将方程组的解代回，可以直接得出a+b和a-b的值，进而得到答案.对于（2），求出原方程组的解，再结合已知条件得到关于a的方程，求出a的值，即可得到原方程组的解.对于（3），先出求方程组的解，再将其代入，求出k的值.对于（4），先求出原方程组的解，再根据整除的性质，求出m的值，进而得到答案.
解析 （1）由已知得
两式相加，得-a-b=8，即a+b=-8；两式相减，得-3a+3b=-6，即a-b=2，
所以（a+b）（a-b）=-16.
由已知得则解得a=8，
则原方程组的解为
由已知得解得
将其代入，得，解得k=3.
由已知得∵m为正整数，且方程组有整数解，∴m=2，∴
根据方程（组）的解求字母的取值，常规步骤是解方程（组），结合已知列方程，求出字母的取值，回代验证.要注意题目中隐含的字母的取值范围，诸如非负、整数等.
4．已知是二元一次方程的一个解，则的值为 ．
5．方程组的解是则关于的不等的非负整数解是 ．
6．已知是方程组的解，则的值是多少？
将关于的方程组化为的形式，再根据解的情况确定字母的取值.
若方程组有唯一的一组解则；
若方程组无解，则；
若方程组有无穷多解，则.
例3 已知关于x，y的方程组至少有一组解，求k，m的值.
利用消元法将方程组化为关于x的一元一次方程，根据解的情况确定字母的取值，注意：“至少有一组解”包括“有一组解”和“有无数组解”两种情况.
解析 由已知得即
∵原方程组至少有一组解，∴方程至少有一个解.
当方程有唯一解时，k-1≠0，即k≠1；
当方程有无数个解时，k-1=0，m-4=0，即k=1，m=4.
综上，当k≠1，m为任意数或k=1，m=4时，方程组至少有一组解.
此类题目的解决思路相对灵活，既可以依据题意用字母表示未知数，再代入已知条件，也可以将已知条件重新组合，得到一个不含字母的方程组，求出未知数的值，再求字母的取值.值得注意的是区分无解与无数个解的区别.
7．已知关于，的方程组．
(1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________．
(2)若方程组的解满足，求的值；
(3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________．
8．已知关于x，y的方程组．
(1)请写出方程的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求m的值；
(3)无论m取何值，方程总有一个公共解，你能求出这个方程的公共解吗？
9．若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
10．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．已知方程组和有相同的解．则的值是（ ）
A．-1 B．1 C．5 D．13
12．已知关于、的方程组其中，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，、的值互为相反数；③若，则；④是方程组的解，其中说法正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．②③
13．方程组的解为则被遮盖的两个数，分别为（ ）
A．1，2 B．1，3 C．2，4 D．1，5
14．已知关于的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论取何值：的值不可能互为相反数；
④都为自然数的解有2对．
以上说法中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④
15．已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个．
A．4 B．5 C．6 D．8
16．如果关于未知数和的二元一次方程组的解满足．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（ ）．
A． B． C． D．
17．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．已知关于，的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若时，则；
其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
19．已知是关于的二元一次方程，则 ．
20．若为二元一次方程，则 ．
21．已知关于的方程组的解是，则的值为 ．
22．已知关于x、y的方程组的解为，则 ．
23．在方程组中，若未知数满足，则m的取值范围为 ．
24．若方程组的解是，某学生看错了c, 求出解为，则正确的c= ，b=
25．填空：
（1）若是关于的二元一次方程，则 ．
（2）若是二元一次方程的解，则 ．
（3）把方程写成用含的代数式表示的形式是 ．
26．已知关于x，y的方程组给出下列结论：正确的有 ．（填序号）
①当时，方程组的解也是的解；②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为正整数的解有3对
27．已知，都是关于，的二元一次方程的解，且，求的值．
28．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”．如：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”．
(1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”______；
(2)二元一次方程的解又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出、的值；
29．已知关于，的方程组（是常数）．
(1)当时，则方程组可化为．
①请直接写出方程的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程，求的值．
(2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值．
30．已知关于的二元一次方程组．
(1)当时，求这个方程组的解．
(2)若该方程组的解满足等式，求的值．
(3)在（2）的条件下，某同学在解关于的方程组时，将中的看成了6，“”写成了“”，结果得到方程组的解为，而方程组正确的解为，求的值．
31．对，定义一种新的运算，规定：（其中）．
（1）若已知，，则_________．
（2）已知，．求，的值；
（3）在（2）问的基础上，若关于正数的不等式组恰好有2个整数解，求的取值范围．
32．已知关于的二元一次方程组的解为．
(1)求的值；
(2)求的值．
33．阅读材料：
关于x，y的二元一次方程有一组整数解，则方程的全部整数解可表示为（t为整数）．问题：求方程的所有正整数解．
小明参考阅读材料，解决该问题如下：
解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）．
因为解得．因为t为整数，所以t=0或-1．
所以该方程的正整数解为和 ．
(1)方程的全部整数解表示为：（t为整数），则= ；
(2)请你参考小明的解题方法，求方程的全部正整数解；
(3)方程的正整数解有多少组 请直接写出答案．
试卷第1页，共3页
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《第十章 二元一次方程组（第2节 确定二元一次方程（组）中字母的取值）》参考答案：
1．
【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得且，再进一步解答即可．
【详解】解：∵是关于的二元一次方程，
∴且，
解得，
故答案为：．
2．
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，据此即可求得m，n的值，然后将它们相加即可求得答案．
本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
【详解】解：是关于x、y的二元一次方程，
，，
解得：，，
则，
故答案为：．
3．1
【分析】本题考查的是二元一次方程组的定义，即含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义，即未知数的项的最高次数是1，得到关于a、b的方程组，从而解出．
【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：1．
4．
【分析】本题考查了二元一次方程的解，求整式的值；由二元一次方程的解得，整体代入整式，即可求解；理解二元一次方程的解，会用整体代入法求整式的值是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
；
故答案为：．
5．，，
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式及整数解；将代入方程组求出、的值，解不等式，即可求解；能熟练解二元一次方程组及一元一次不等式是解题的关键．
【详解】解：将代入方程组得，
，
解得：，
，
解得：，
非负整数解，，；
故答案为：，，．
6．
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入原方程组中求出m、n的值即可得到答案．
【详解】解：∵是方程组的解，
∴，
∴，
∴．
7．(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解等知识，熟练掌握二元一次方程的解的定义是关键．
（1）求出二元一次方程的正整数解即可；
（2）解得到，再代入即可求出答案；
（3）无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，与的取值无关，则，即可求出这个解．
【详解】（1）解：一个正整数解为，
故答案为：
（2）由题知，
解得，
将代入，
解得
（3）∵无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，
∴与的取值无关，则，
则
∴
故答案为．
8．(1)或
(2)
(3)
【分析】本题考查二元一次方程组的解．
（1）根据二元一次方程解的定义以及整数解的意义进行计算即可；
（2）解方程组，得到x、y的值，再代入方程即可求解；
（3）把方程变形为：，结合无论实数m取何值，方程总有一个公共解，可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴方程的正整数解为或；
（2）解：由题意，解方程组，得，
把代入方程，得
，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵无论实数m取何值，总有一个公共解，
∴，
解得
∴方程的公共解为．
9．A
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，将代入，然后解关于a的方程即可得出答案．
【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解，
∴，
解得：，
故选：A．
10．D
【分析】本题考查解二元一次方程组，一元一次不等式，将方程组两个方程相加，得到，结合得到，求解即可．
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解满足，
∴，
即，
则，
解得：，
故选：D．
11．A
【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：根据题意，则
，
由①+②得：6x=6，
解得：x=1，
把x=1代入①得：5+2y=3，
解得：y=-1；
把x=1，y=-1代入，则，
解得：，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，根据题意能联立新的方程组求解出二元一次方程的解是解题的关键．
12．D
【分析】①②④将a的值或方程组的解代入方程组，通过求解进行判断，③解方程组，用含a的代数式表示x，y，根据x的取值范围求出a的取值范围，进而可得y的取值范围．
【详解】①当时，方程组为，
解得，，
∴，故错误；
②当时，方程组为，
解得，，即、的值互为相反数，故正确；
③，
解得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确；
④当时，原方程组为，无解，故错误；
综上，②③正确，
故选D．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式，方程（组）的解，熟练掌握其运算法则是解题的关键，一般采用直接代入的方法进行求解．
13．D
【分析】本题考查了一元二次方程组的解的概念和解方程，解题的关键是理解方程组的解的定义，并且会代入求值．
把的值代入原方程组中的第二个方程，解方程求出的值，把和的值代入原方程组中的第一个方程，计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴为，
∴，
∴为，
故选：D．
14．A
【分析】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质，掌握以上知识是解题关键．
将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，解得，故②正确；设，代入解得，故③错误解方程，解得：，当 时，，，当 时，，，当 时，，，因此存在三对自然数解，④错误；
【详解】解：将代入原方程组得，解得：，将其代入，解得：，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
方程组，得：，当，解得：；故②正确；
设，代入解得，此时，，互为相反数，故③错误；
解方程，解得：，
当 时，，，
当 时，，，
当 时，，，
因此存在三对自然数解，④错误；
综上所述：①②正确，
故选：A；
15．D
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法的计算是关键．
运用加减消元法，代入消元法解二元一次方程组，再根据解均为整数列式判定即可．
【详解】解：，
得，，
整理得，，
把代入②得，，
解得，，
∴原方程组的解为，
∵方程组的解均为整数，
∴的值可为，
∴符合条件的整数的值有个，
故选：D ．
16．B
【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，换元法解二元一次方程组是解题的关键．由得，令，，得，此时，则，即可求解 ．
【详解】解：由得，
令，，
将可变为，
∵如果关于未知数x和y的二元一次方程组的解满足： ，
∴关于未知数和的二元一次方程组的解满足，
即，
故选：B ．
17．D
【分析】将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，得到，解得，故②正确；根据，，得到，得到，从而得到无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；根据，得到x，y都为自然数的解有共5对，故④正确．
【详解】解：将代入原方程组得，
解得，
将代入方程左右两边，
左边，右边，
∴当时，方程组的解也是的解，故①正确；
方程组得，
若，则，解得，故②正确；
∵，，
∴两方程相加得，
∴，
∴ 无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；
∵，
∴x，y都为自然数的解有共5对，
故④正确．
故选：D
【点睛】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质和等量代换是解题关键．
18．B
【分析】解方程组得，①当时，解得t=0，符合；②当时，得t=1，不符合题意；③当时，得，可判断；④当时，得，可判断．
【详解】解：解方程组得，
①当时，则，解得t=0，符合题意，故正确；
②当时，(2t+1)-(t-1)=3，解得t=1，不符合题意，故错误；
③当时，M=2t+3，∵，∴，符合题意，故正确；
④当时，，即，∴，不符合题意，故错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得到方程组的解是解题的关键．
19．
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．
根据二元一次方程的定义解答即可．
【详解】解：是关于的二元一次方程，
且，
解得：，
故答案为：．
20．2
【分析】本题考查二元一次方程的概念，解题的关键是能够熟练的掌握二元一次的基本概念即可．
根据二元一次方程的概念分析解答即可．
【详解】解：∵方程是二元一次方程，
，
，
故答案为：2．
21．6
【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，由题意得，解得，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵关于的方程组的解是，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
22．11
【分析】将x=1，y=2代入方程组，可得关于m与n的方程组，相加即可得到答案．
【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为，
∴，
①+②得：3m-4n=11，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，解决问题的关键是熟练掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，用特殊方法解方程组求代数式求值．
23．
【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解、解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能得出关于m的不等式是解此题的关键．由，得
得出不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：，
由，得
，
，
，
．
故答案为：．
24． 8 1
【分析】把两个解代入第一个方程组的第一个方程，把第二个解代入方程组的第二个方程，即可得到一个关于a，b，c的方程组，即可求解．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴把x=2，y=4代入方程组得：，
整理得：，
某同学又看错了c，求出解为，代入ax+by=-1得：3a+b=-1②，
②联立得： ，
②×2-①×3得：，
把b=1代入①得：2a+4=-1，解得：a=
∴
故答案是：8，1．
【点睛】本题主要考查了方程组的解的定义，正确得到方程组，解方程组是解题的关键．
25．
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，二元一次方程的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据二元一次方程的定义可得且，求解即可．
（2）把代入中，求解即可．
（3）把方程通过移项，系数化为一，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵是关于的二元一次方程，
∴且，
∴且，
∴，
故答案为：．
（2）把代入中，
即，
解得：．
故答案为：．
（3）解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
26．①②
【分析】①将a=1代入方程组的解，求出方程组的解，即可做出判断；
②将a看做已知数求出方程组的解表示出x与y，即可做出判断；
③将a看做已知数求出方程组的解表示出x与y，即可判断正整数解；
【详解】解关于x，y的方程组得
①当时，原方程组的解是，此时是的解，故①正确；
②原方程组的解是，∴，即无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数，故②正确；
③x，y都为正整数，则，解得，正整数解分别是当时，故只有两组，故③错误；
故答案为①②
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
27．
【分析】将方程的解代入方程，得到关于m、n的方程的方程组，从而得到m-n=2b-1，结合已知条件列出关于b的方程求解即可．
【详解】解：∵，都是关于，的二元一次方程的解，
∴将，代入得：，
∴，
又∵，
∴．
化简得，解得：．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的解和解一元二次方程，列出关于b的一元二次方程是解题的关键．
28．(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了新定义、解二元一次方程组等知识点，理解“反对称二元一次方程”的定义成为解题的关键．
（1）根据“反对称二元一次方程”的定义即可解答；
（2）先根据“反对称二元一次方程”的定义求得二元一次方程的得反对称二元一次方程，得到二元一次方程组求解即可．
【详解】（1）解：由“反对称二元一次方程”的定义可得：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为．
由题意可得：
故答案为：．
（2）解：由“反对称二元一次方程”的定义可得：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为，
由题意可得：，解得：．
所以，．
29．(1)①，②
(2)或0
【分析】（1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解；②先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案；
（2）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可．
【详解】（1）解：①∵，为非负整数，
∴方程的所有非负整数解为
，；
②∵根据题意可得，
解得，
将代入中，
解得 ；
（2）当时，原方程组可化为，
由，可得 ，
整理可得，
∵方程组由整数解，且为整数，
∴或，
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）；
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）．
综上所述，整数的值为或0．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键．
30．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查解二元一次方程组，涉及加减消元法解二元一次方程组，读懂题意，掌握二元一次方程组解法是解决问题的关键．
（1）将代入原方程组，由加减消元法解二元一次方程组即可得到答案；
（2）由加减消元法解二元一次方程组得到、，由方程组的解满足等式，将、代入，得到关于的一元一次方程求解即可得到答案；
（3）在（2）的条件下，，根据题意，将代入关于的方程组求解得到，再将代入关于的方程组求解得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，，
整理得，
由①②得，
；
将代入①得，
；
当时，这个方程组的解为；
（2）解：，
整理得，
由①②得，
；
将代入①得，
；
，解得；
（3）解：在（2）的条件下，，
是关于的方程组的解，
；
是关于的方程组的解，
，
解得，
综上所述，，
．
31．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据新定义就是即可；
（2）根据题中的新定义列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；
（3）由（2）化简得A（x，y）的关系式，先判断括号内数的大小，再转化成不等式求解即可．
【详解】解：（1）根据题中的新定义得：1×4+3×(-2)=-2， 故答案为-2；
（2）根据题中的新定义得：， 解得：；
（3）由（2）化简得：A（x，y）= ，
∴在关于正数p的不等式组中，
∴A（3p，2p-1）=7p-2＞4， A（-1-3p，-2p）=-2p+2（-1-3p）=-8p-2m，
∴p＞，p≤
∵恰好有2个整数解，
∴2个整数解为1，2．
∴2≤＜3，
∴-26＜m≤-18．
【点睛】本题主要考查新定义的运算，解决本题的关键是要按照定义式子中列出算式进行解方程和不等式组．
32．(1)
(2)2028
【分析】本题考查根据二元一次方程组的解，求参数的值，代数式求值：
（1）把代入方程组，进而解关于的方程组即可；
（2）把的值代入，计算即可．
【详解】（1）解：把代入关于的二元一次方程组
，得，解得．
把代入①，得，解得，
．
（2）由（1），得，
．
的值为2028．
33．(1)
(2)或或；
(3)13组
【分析】本题考查了二元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，理解题意、掌握解题方法是本题的关键．
（1）把代入方程得，求得y的值，即可求得θ的值；
（2）参考小明的解题方法求解即可；
（3）参考小明的解题方法求解后，即可得到结论．
【详解】（1）解：把代入方程得，，
解得，
∵方程的全部整数解表示为：（t为整数），
则，
故答案为：；
（2）解：方程一组整数解为，
则全部整数解可表示为（t为整数）．
因为，解得．
因为t为整数，
所以，，0，
所以方程的全部正整数解为或或；
（3）解：方程一组整数解为，
则全部整数解可表示为（t为整数）．
∵，解得．
因为t为整数，
所以，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，
∴方程的正整数解有13组．
答案第1页，共2页
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