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北京市延庆区2024-2025学年下学期期末考试初一数学试卷
考生须知 1.本试卷共7页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2.在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答．
一、选择题（共16分，每小题2分）
第1 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1.在数轴上表示不等式≤2的解集正确的是
（A） （B）
（C） （D）
2.若，则下列不等式正确的是
（A） （B） （C） （D）
3.如图，直线，相交于点O，平分∠DOE．若∠AOC=22°，
则∠DOE的度数为
（A）22° （B）46°
（C）44° （D）56°
4.在芯片制造过程中，“埃”是一个重要的长度单位，它比纳米还要小，使用“埃”级别的光源和光刻胶，可以实现高分辨率的图案制作，从而实现更高密度的集成电路．
1埃=纳米，1纳米=0.000 000 001米，则6埃用科学记数法表示为
（A）米 （B）米 （C）米 （D）米
5.下列算式中，计算结果为的是
（A） （B） （C） （D）
6.如果是关于，的方程的解，那么a的值是
（A） （B） （C） （D）
7.《算法统宗》中有这样一道歌谣体算题：“一百馒头一百僧，大僧三个便无争，小僧三人分一个，大小和尚各几人？”这道算题的意思是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完. 问大和尚、小和尚各几人？
设大和尚x人，小和尚y人，根据题意，则可列方程组为
（A） （B） （C） （D）
8.如下图所示，是一个运算程序示意图，
若第一次输入m的值为2401，则第2025次输出的结果是
（A）2025 （B）49 （C）7 （D）1
二、填空题（共16分，每小题2分）
9.一组数据：3，13，17，20，7的平均数是 .
10.m与2的差大于6，用不等式表示为 .
11.分解因式：＝　 ．
12.如右图，点D在BM上，任意添加一个条件，使得AB∥CE，
则这个条件可以是 .
13.用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可
以是a＝　 ，b＝　 ，c＝　 ．
14.每年的3月14日为国际数学日，是为纪念中国古代数学家祖冲之而设立.为庆祝第六个国际数学日，某校在2025年3月举办了丰富多彩的数学节活动.为了增加同学们的数学阅读乐趣，决定购买两种图书：《漫画数学》每本32元，《马小跳玩数学》每本25元.学校总共花费1000元，且两种图书都至少购买一本.则购买《马小跳玩数学》 本.
15.在算式：①，②，③中，计算结果与相同的是 （填写序号）.
16.某饮料店售卖一款饮料套餐，包含一杯茉莉花茶和一杯冰鲜柠檬水，且一份套餐的价格比单买一杯茉莉花茶和一杯冰鲜柠檬水的总价少2元.小明打算到该饮料店购买两份套餐，到店后，发现店内有“买一杯茉莉花茶送一杯茉莉花茶”的限时促销活动.且购买一杯茉莉花茶和两杯冰鲜柠檬水的总价，比购买两份套餐的总价少3元.则单买一杯茉莉花茶的价格是 元．
三、解答题（共68分，17题8分，18题5分，19题9分，20题3分，21 22题，每小题5分，23题4分，24 25题，每小题6分，26题5分，27题6分，28题6分）
17.计算：(1)；
(2)．
18.求不等式组 的所有整数解．
19.解下列方程组：(1)
(2)
20.如图，平移三角形，使得点移动到点，点移动到点，点移动到点，作出平移后的三角形．
(1)在图中画出三角形；
(2)若AB=4，，则= .
21.已知：，求代数式的值．
22.如图，在四边形ABDC中，∠A=∠D，点E，F分别是DB，AC的延长线上的点，连接EF，与AB，CD交于点G，H，且∠1=∠2．
求证：ED∥AF．
完成下面的推理过程：
证明：∵∠1=∠AGF，（理由： ）
∠1=∠2，
∴∠AGF =∠2.（理由： ）
∴AB∥ . （理由： ）
∴∠ABD+∠D=180°.（理由： ）
∵∠A=∠D，
∴∠ABD+∠A=180°.
∴ED∥AF. （理由： ）
23.如图，在直角三角形ABC中，∠B=90 ，点D是AB上一点，过点D作DE⊥AB交AC于点E，点F是BC上一点，连接EF，且∠1=∠C．
求证：DE平分∠AEF．
24.某校围绕“弘扬长城文化，讲好长城故事”为主题开展“长城知识竞赛”活动.为了解学生的知识竞赛成绩（百分制，单位：分），从该校七、八年级各随机抽取了10名学生的成绩，进行整理、描述和分析.下面给出部分信息.
a.七年级10名学生的竞赛成绩:95 84 88 94 91 91 89 88 88 92
b.八年级10名学生的竞赛成绩（学生成绩用x表示）:
分数 A：x＜85 B：85≤x＜90 C：90≤x＜95 D：95≤x＜100
人数 1 m 3
d.七、八年级学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级 七年级 八年级
平均数 90 90
中位数 90 a
众数 b 89
根据以上信息,解答下列问题:
(1)这里采用的调查方式是 　 （填“全面调查”或“抽样调查”）；
(2) m= ；n= ；a= ；b= ；
(3)若该校七年级有210名学生，八年级有200名学生参加了此次知识竞赛，请你估计参加此次竞赛成绩不低于90分的学生一共有多少人
25.某科技物流公司承包了某智能仓库的货物运输任务，拟派出A，B两种型号的无人运输车运输货物.已知2辆A型无人运输车与3辆B型无人运输车一次共运输货物60箱，5辆A型无人运输车与6辆B型无人运输车一次共运输货物135箱.
(1)一辆A型无人运输车和一辆B型无人运输车一次各运输货物多少箱？
(2)该科技物流公司决定派出A，B两种型号的无人运输车共20辆参与运输，若本次
运输的货物总量不少于250箱，且B型无人运输车至少派出8辆，则有哪几种派
车方案？请通过计算说明.
26.阅读下面的材料.
问题：已知，，求的值.
思考：根据整式的乘法公式的学习经验，可以用两种方法进行探究.
方法一 方法二
∵， ∴. ∴. ∴. ∵， ∴ . 如右图， ∵， ∴. ∵， ∴. ∴ .
请你仿照阅读材料中的方法，选择其中一种，解决下面的问题：
如图，点C是线段AB上的一点，AB=6，大小两个正方形
的面积和，求图中阴影部分的面积.
27.如图，点A，B分别是直线MN，EF上的点，连接AB，过点B作CB⊥BA，∠NAB与∠1互余.
(1)求证：MN∥EF；
(2)如图2，AD平分∠NAB交BC于点D，BH平分∠ABC交AD于点H.
①补全图形；
②设∠1=α，求∠AHB的度数(用含α的式子表示).
28.关于x，y的二元一次方程(a，b，c为常数，且abc≠0)，若，
则称这个方程为“可乘方程”，由两个“可乘方程”组成的方程组称为“可乘方程组”.
(1)在①；②；③中，是“可乘方程”的是 ；
(2)若方程是关于x，y的“可乘方程”，求的值；
(3)若是关于x，y的“可乘方程组”，且≤＜，
直接写出的取值范围.
参考答案
一、选择题：（共20分，每小题2分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C D B A B C
二、填空题：（共16分，每小题2分）
题号 9 10 11 12
答案 12 ∠B=∠CDM（答案不唯一）
题号 13 14 15 16
答案 2，1， 1 答案不唯一 8 ①② 7
三、解答题（共68分，17题8分，18题5分，19题9分，20题3分，21 22题，每小题5分，23题4分，24 25题，每小题6分，26题5分，27题6分，28题6分）
17.解：(1)
.
(2)
.
18.
解：由①得，.
由②得，.
∴原不等式组的解集为.
∴原不等式组的所有整数解是：-1，0，1.
19.(1)
解：把②代入①中，得(1).
∴.
把代入②，得.
∴原方程组的解为：
(2)
解：②×2，得③.
∴① ③，得.
把带入②，得.
∴原方程组的解为：
20.解：(1)
(2) 3.
21.解：
.
∵，
∴.
∴原式.
22.证明：∵∠1=∠AGF，（理由：对顶角相等 ）
∠1=∠2，
∴∠AGF =∠2.（理由： 等量代换 ）
∴AB∥ CD .（理由：同位角相等，两直线平行）
∴∠ABD+∠D=180°.（理由： 两直线平行，同旁内角互补）
∵∠A=∠D，
∴∠ABD+∠A=180°.
∴ED∥AF. （理由： 同旁内角互补，两直线平行 ）
23.证明：∵DE⊥AB,
∴∠ADE=90°.
∵∠B=90 ，
∴∠ADE=∠B.
∴DE∥BC.
∴∠AED=∠C，∠DEF=∠1.
∵∠1=∠C，
∴∠AED=∠DEF.
∴DE平分∠AEF．
24.(1) 抽样调查；
(2) m= 3 ；n= 30 ；a= 91 ；b= 88 ；
(3)225．
25.(1)解：设A型无人运输车一次运输货物x箱，B型无人运输车一次运输货物y箱.
由题意，得
解此方程组，得
经检验，是原方程组的解，也符合实际情况.
答：设A型无人运输车一次运输货物15箱，B型无人运输车一次运输货物10箱.
(2)设派出A型无人运输车m辆，B型无人运输车(20 m)辆.
∴.
∴.
∴有3种方案：①A型无人运输车10辆，B型无人运输车10辆；
②A型无人运输车11辆，B型无人运输车9辆；
③A型无人运输车12辆，B型无人运输车8辆.
26.方法(1)：设AC=a，BC=b.
∵AB=6，
∴.
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
方法(2)：如图，补全图形为大正方形，设AC=a，BC=b.
∵AB=6，
∴.
∴，
∵，
∴.
∴.
∴.
∴.
27.(1)证明：∵CB⊥BA，
∴∠ABC=90°.
∴∠ABE+∠1=90°.
∵∠NAB与∠1互余，
∴∠NAB+∠1=90°.
∴∠ABE=∠NAB.
∴MN∥EF.
(2)过点H作GH∥MN.
∵MN∥EF，
∴GH∥MN∥EF.
∴∠AHG=∠NAH，∠BHG=∠FBH.
∴∠AHB=∠AHG+∠BHG=∠NAH+∠FBH=∠BAH+∠FBH.
∵BC平分∠NAB，BH平分∠ABC，
∴∠NAH=∠BAH，∠ABH=∠CBH.
∵∠ABC=90°，
∴∠ABH=∠CBH=45°.
∴∠FBH=45°+α.
∵MN∥EF，
∴∠NAB+∠ABF=180°.
∴∠NAB=180° ∠ABF=180° 90° α=90° α.
∴∠BAH==.
∵∠AHB=∠BAH+∠FBH(已证)，
∴∠AHB=.
28.解：(1)②③
(2)∵方程是关于x，y的“可乘方程”，
∴.
∴.
∴.
(3)k的取值范围：.

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