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北京市燕山区2024-2025学年下学期期末考试初二数学试卷
2025年6月
考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。考试时间120分钟。 2．答题纸共8页，在规定位置准确填写学校名称、班级和姓名。 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。 4．在答题纸上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5．考试结束，请将答题纸交回，试卷和草稿纸可带走。
选择题（本题共16分，每小题2分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．化简 的结果正确为
(A) (B) (C) 2 (D) 4
2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是
(A) 1，1， (B) 1，1，2 (C) 1，2，2 (D) 2，2，4
3. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为
(A) 10 (B) 12 (C) 16 (D) 20
4. 如图，在中，，，，则边上的高的长为
(A) 4 (B) (C) (D) 10
5.下列各曲线中表示y是x的函数的是
(A) (B) (C) (D)
6. 甲、乙两座城市某年四季的平均气温如右图所示，下列说法正确的是
(A)甲城市的年平均气温在30℃以上
(B)乙城市的年平均气温在0℃以下
(C)甲城市的年平均气温低于乙城市的年平均气温
(D)甲、乙两座城市中，甲城市四季的平均气温较为接近
7.在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是
(A) （1, -1） (B) （1, 1） (C) （-1, 2） (D) （4, -2）
8． 如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为，连接D，E，F．当点F在BC边上移动使得四边形BEF成为正方形时，D的长为
(A) (B) (C) (D) 3
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点（0，），该一次函数的表达式为_______．
11．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B '处，若∠1=∠2 = 36°，
∠B为 °．
12．一个二次根式与 乘积是有理数，这个二次根式可以是 （写出一个即可）．
13．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为S1，S2的两个正方形所拼成的．当直角三角形的斜边长为2时，S1S2的值为____________．
14．10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：cm）如下表所示：
队员1 队员2 队员3 队员4 队员5
甲队 177 176 175 172 175
乙队 170 175 173 174 183
设两队队员身高的平均数依次为，，身高的方差依次为，，则 ，
(填“>”,“<”或“=”).
15．小兰在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，她从中提取出一个含 120°角的菱形ABCD(如图1所示).若 AB 的长度为a，则菱形ABCD 的面积为 ．
正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2 ， …，按如图所示的方式放置．点A1，A，A3、…，和点C1，C2，C3…，分别在直线y = k x + b (k >0) 和x轴上，已知点B1(1,1) ，B2(3,2)，则点B3的坐标是 ,点B2025的坐标是 ．
解答题(本题共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分,第23题5分，第24-25题每题6分, 第26题5分, 第27-28题，每题7分)
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17． 计算： .
18． 计算： .
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在第一象限，且四边形OACB是矩形．
（1）使用直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）；
作法：以点A为圆心，OB的长为半径画弧，再以点B为圆心，OA的长为半径画弧，两弧在第一象限相交于点C，连接AC，BC，则四边形OACB是矩形．
（2）根据（1）中的作法，完成下面的证明；
证明：∵AC=OB，_______=OA，
∴四边形OACB是平行四边形．（__________________）（填推理的依据）
∵∠BOA=90°，
∴四边形OACB是矩形．（__________________）（填推理的依据）
（3）若直线l的表达式为，直接写出直线OC的表达式．
21．如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE = BC，连接DE，CF．
(1)求证: 四边形CEDF是平行四边形；
(2)若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长?
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为A(-3,0)，与y轴的交点为B，且与正比例函数 的图象交于点C(m,4).
（1）求m 的值及一次函数y=kx+b的表达式;
（2）若P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，求点P的坐标;
23．某校“π节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段．
(1)初赛由10名教师评委和50 名学生评委给每位选手打分(百分制)．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．教师评委打分:
86 88 90 91 91 91 91 92 92 98
b．学生评委打分的频数分布直方图如下(数据分4组:第1组80≤x<85,第2组85 ≤x <90,第3组90≤x<95,第4组95≤x < 100):
c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师评委 91 91 m
学生评委 90.2 n 93
根据以上信息，回答下列问题：
①m的值为___________，n的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________91（填“”“”或“”）；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分(百分制)．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲
乙
丙
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中(为整数)的值为____________．
24．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，很好奇的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，称为a，b这两个数的算术平均数，称为a，b这两个数的几何平均数，称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）若a = 1，b = 3，则M = ，N = ，P = ；
（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理以及四边形的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．
①请分别在图2，图3中用阴影表示一个面积为M 2，P 2的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是： （把M，N，P从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）．
25．如图 ,《九章算术》中记载,浮箭漏(图(1))是由供水壶和箭壶组成,箭壶内装有箭尺,水匀速地从供水壶流到箭壶,箭壶中的水位逐渐上升,箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校数学实验小组仿制了一套浮箭漏(箭尺最大读数为100 cm),实验小组通过观察,每2小时记录一次箭尺读数,得部分数据如下：
供水时间x(h) 0 2 4 6 8
箭尺读数y(cm) 6 18 42 54
(1)补全表格：
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画y与x之间的关系．如图(2)，横轴表示供水时间x,纵轴表示箭尺读数y,建立平面直角坐标系,描出以表中数据为坐标的各点,画出函数图象．
(3)根据以上数据与函数图象,解决下列问题:
①供水时间达到12h时,估算箭尺的读数约为 cm;
②如果本次实验记录的开始时间是上午8:00，那当箭尺读数为90cm时供水时间达到 h，此时时间是 点．
26．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（1，3）.
（1）求k ，b的值；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx -1（m≠0）的值小于一次函数y＝kx＋b的值，请结合函数图像，直接写出m的取值范围．
27．在△中，，，是中点，为上一点，连接，为△内一点，且，点关于直线的对称点为点，与交于点，连接，．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）连接，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28.定义:形如的函数称为正比例函数y = kx (k≠0) 的“分移函数”，其中b叫“分移值”.
(1) ①函数y = x的“分移函数”为其中“分移值”为3，在图1中画出其图象；
②已知点(1，2k)在y = kx (k≠0)的“分移函数” 的图象上，则k = ；
(2)已知点P1(2 , 1-m)，P2 (-3，2m+1)在函数y =2x的“分移函数”的图象上，则m的值是 ；
(3)已知矩形ABCD顶点坐标为A (1,0) , B (1,2) , C (-2,2) , D (-2,0)．函数y=kx的“分移函数”的“分移值”为3，且其图象与矩形ABCD恰好有2个交点，直接写出k的取值范围.
参考答案
一、选择题(本题共16分，每小题2分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D B A D B A
二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9. 10. 11.126° 12.
13. 4 14. = , < 15. 16.,
三、 解答题(本题共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分,第23题5分，第24-25题每题6分, 第26题5分, 第27-28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.(本题满分5分)
解：
………………………………………4分
. ………………………………………5分
18．(本题满分5分)
解：
…………………………………3分
……………………………4分
……………………………5分
19．(本题满分5分)
解：＝． ……………………………………2分
当时，＝， ………………………………………3分
∴＝
＝4． ……………………………………………5分
20． (本题满分6分)
解：（1）如图； ………………………2分
（2）BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形； 5分
（3）． 6分
21．(本题满分5分)
(1)证明: ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC ?
∵F是AD的中点，
∴FD=AD ?
∵CE=BC，
∴FD=CE ? 1分
∵FD∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形? 2分
(2)解: 过点D作DG⊥CE于点G ?
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD=AB=4，
BC=AD=6 ?
∴∠1=∠B=60°?
在Rt△DGC中，∠DGC=90°，
∴∠CDG=30°，∴∠CG=2
∴DG==2 ? 3分
∵CE=BC=3，
∴GE=1 ? 4分
在Rt△DGE中，∠DGE=90°，
∴DE== ? 5分
22．(本题满分6分)
解：正比例函数解析式为，将点C(m , 4 )代入，得 : m=3
因此，点C的坐标为(3,4)
又一次函数y=kx+b经过点A(-3,0)和 C(3,4)，代入y=kx+b，
得方程组:解得:，b=2
∴一次函数表达式为. …………………………3分
(2)将x=0代入一次函数，得y=2，即B(0,2).
设点P的坐标为(0 , y )．△BPC的面积为6，底为，高为点C到y轴的水平距离是3，
∴ ……………………………4分
∴
解得: y = 6或 y =-2
因此，点P的坐标为(0,6)或(0,-2). ……………………………… 6分
23．(本题满分5分)
解：(1) ① 91，3 ； ……………………………………………2分
② < ； ……………………………………………3分
(2) 甲；92． ……………………………………………5分
24．(本题满分6分)
（1）M = 2 ，N = ，P = ； …………………………………3分
（2）①
② N ≤ M ≤ P ． ……………………………… 6分
25．(本题满分6分)
(1)30 ． …………………………………1分
(2)
…………………………………3分
(3)① 78 cm; …………………………………4分
② 14 h 22：00 点 …………………………………6分
26．(本题满分5分)
解：（1）∵ 函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是由函数y＝2x的图象平移得到，
∴ k＝2．
∵ 函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点（1，3），
∴ 2＋b＝3．
解得 b＝1．
∴k＝2，b＝1 ． ………………………………… 2分
（2）结合函数图像 …………………………………3分
m≤2． …………………………………5分
27．(本题满分7分)
解：（1）依题意补全图形：
......................……............................1分
（2）证明：连接AE.
∵点D关于直线AP的对称点为E，∠DAP=α，
∴∠EAP=∠DAP=α，AD=AE.
∴∠DAC+∠EAC=2α.
∵∠BAC=2α，
∴∠DAC+∠DAB=2α.
∴∠DAB=∠EAC. ......................…… ……………………2分
∵AB=AC，
∴△ADB≌△AEC.
∴BD＝EC. ......................…………………………3分
（3）用等式表示线段BD与MN的数量关系是：. .................……4分
证明：连接DN并延长到F，使得NF=ND，连接FC，EF.
∴点N是DF中点.
∵点D关于直线AP的对称点为E，DE与AP交于M，
∴点M是DE中点.
∴MN为△DEF的中位线.
∴. ......................……......................…………………5分
∵点N是BC中点，∴NB=NC.
∵∠BND=∠CNF，NF=ND，
∴△BND≌△CNF.
∴CF=BD，∠DBC=∠FCN.
又∵BD=CE，
∴CF= CE. ......................…......................………. …………6分
∵∠DBC+∠BCE=90°，
∴∠FCN +∠BCE=90°.
∴∠ECF=90°.
∴∠CEF =∠CFE=45°.
∴.
∵BD=CE，，
∴.
∴. ......................……......................……………………7分
28.(本题满分7分)
(1)① ……………………2分
② k = 6 ； ......................…………………………3分
(2) m的值是 -4 ； ......................…………………………5分
(3) ． 画图给分 ...................……………………7分
说明：
若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分

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