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北京市怀柔区2024-2025学年下学期期末考试初二数学试卷
考 生 须 知 1．本试卷共8页，共两部分，28道题，满分100分。考试时间90分钟。 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
第一部分 选择题
一．选择题（共24分，每小题3分）
在下列各小题的四个备选答案中，只有一个是正确的．
1.计算的结果为
A．4 B． C. 2 D．
2.如图，□ABCD中，∠C＝40°，则∠B＝
A．40° B．50°
C．100° D．140°
3.点 P(3，12)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k的值为
A．-4 B． C． 4 D．3
4.下列计算正确的是
A. B.
C. D.
5. 甲、乙、丙、丁四位男同学各进行了10次立定跳远比赛测试，他们的平均成绩、方差如下表，要选拔成绩好且稳定的1名学生参加区级比赛，则应该选
甲 乙 丙 丁
平均成绩（cm） 270 270 275 275
方 差 11.3 10.2 8.6 8.9
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6.如图，一次函数y= -3x+6与y=kx+b（k≠0）的图象交于点P，则关于x的不等式-3x+6 > kx+b的解集是
A．x < 1 B．x > 1 C．x >2 D． x < -2
7.在△ABC中，AB =6，BC=8，AC=10. D是AC 边中点，E是AB边中点，下列结论中，正确的是
A．∠A＝30° B．∠C＝90° C． BD＝4 D． ED＝4
8.如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上一点（点P不与B，D重合），连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF，EF，AF交BD于点G，给出三个结论：①PE +PF ＝EF ，②AF＝AP，③BF+DE＝EF.上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每小题2分）
9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
10.将直线y=x向上平移4个单位长度后，得到的直线的解析式是 ．
11.已知点P(-2，y1)，Q(1，y2)在一次函数y=2x-1的图象上，则y1_______y2.(填“＞”“＜”或“＝”)．
12.数学实践活动中，小红想测量奶奶家民房的高度.她将绳子从房子顶端垂直放下，绳子接触地面后还多出 2m，当她把绳子斜拉直，并让绳子的末端刚好接触地面时，测得绳子末端离房子底部 6 m . 若设房子的高度为 x m，则可列方程为 .
13.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC=120°.以 O为坐标原点，AC与BD所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系xOy，点A的坐标为(0，)，则CD= ．
14.如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上一点，且BP = BC，则∠BPC= °．
15.新能源汽车主要使用电力、太阳能、氢气等清洁能源作为动力装置，不仅减少了对环境的污染，而且使用成本低．下表是一辆新能源汽车在充满电量的状态下，汽车行驶过程中仪表盘显示电量y(%)是已行驶里程x(km)的一次函数，现测得已行驶里程x与仪表盘显示电量y的几组对应值：
汽车行驶过程
已行驶里程x(km) 0 100 200 300 ┅
显示电量y(%) 100 75 50 25 ┅
这辆新能源汽车在充满电量的状态下出发，行驶260km后，求此时汽车仪表盘显示的电量是_______%．
16.在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，点M是∠ABC和∠ACB平分线的交点，连接DE，DF，EF.有以下结论：
①四边形ADFE是菱形；
②△DEF 的面积是△ABC面积的；
③∠BMC=90°+∠A；
④当AB=AC且∠ABC=90°时，四边形BDFE是正方形.
其中正确结论是： .（填序号即可）
解答题(共60分，每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 .
17.计算：．
18.计算：.
19.已知，求代数式的值．
20.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点．求证：BE=DF．
21.尺规作图：
已知:，线段a，b，如图．
求作：菱形ABCD，使其一条对角线的长等于线段a的长，边长等于线段b的长．
作法：①作直线m，在m上截取线段AC＝a；
②作线段AC的垂直平分线EF；
③以点A为圆心，线段b的长为半径画圆，交直线EF于点B，D；
④分别连接AB，BC，CD，DA；
则四边形ABCD就是所求作的菱形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形.（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵EF垂直平分AC，
∴AB＝　 　，　 　＝　 　.（ 　 　）
∵AB＝AD，
∴AB＝AD＝BC＝CD.
∴四边形ABCD是菱形．（ 　 　）
22.如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形；
(2)若AB=5，BD=6，求OE的长.
23.每年的6月6日为“全国爱眼日”，某初中学校为了解本校学生视力健康状况，从全校880名学生中随机抽取100名学生，进行视力状况调查.(注：数据以左、右眼睛较低视力值为准.)
抽取的学生视力 抽取的学生视力
频数分布表 频数分布直方图
视力范围 频数 百分比
4.0≤x<4.3 10 10%
4.3≤x < 4.6 22 22%
4.6≤x < 4.9 a 35%
4.9≤x < 5.2 20 20%
5.2≤x < 5.5 13 b
合计 100 100%
(1)频数分布表中a= ，b= ；
(2)补全频数分布直方图；
(3)4.9 ≤ x < 5.2数据如下：
4.9 4.9 4.9 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0
5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1 5.1
在4.9 ≤ x < 5.2这组数据中，中位数为 ；
(4)视力达到5.0及以上的同学视力达到正常视力水平，那么根据抽取的结果预估全校880人视力达到正常视力水平的一共多少人？
24.学校为提升学生对篮球的热爱和丰富课余生活举办了篮球赛，在购买篮球赛奖品时发现了两种购买方案，如图所示：
(1)直接写出当购买多少件奖品时，两种方案付费一样多；
(2)求方案二y关于x 的函数解析式；(不用体现自变量的取值范围)
(3)如果你是购买者，你如何选择购买方案？
25.小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象与性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决相关问题．
(1)下表是y与x的几组对应值：
x … -4 0 1 2 3 …
y … -2 0 2 m 2 0 -2 -4 …
写出表中m的值：m= ．
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象．
(3)小明结合该函数图象，解决了以下问题：
①对于函数y=-2|x+1|+4，当-2②方程-2|x+1|+4=1有______个解；
③直接写出不等式-2|x+1|+4≤x+2的解集为 .
26．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(0，-3)，且与y=x+3的图象交于点(-2，n)．
(1)求k，b的值；
(2)当时，对于x的每一个值，一次函数y=mx-1(m≠0)的值既大于y=kx+b的值，也大于函数y=x+3的值，直接写出m的取值范围.
27.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB(1)
①依题意补全图形；
②猜想∠EMB的度数，并证明.
(2)用等式表示线段FM与AB之间的数量关系，并证明.
28.在平面直角坐标系中，对于点P（a，b）给出如下定义：若点Q（x，y）在直线
y=x+a-b上，称点Q是点P的“和谐点”．
已知，点P（3，0）．
(1)在Q1（-3，0），Q2（-2，2），Q3（1，4）中，点的“和谐点”有________；
(2)点A在直线y=2x+3上，若点P的“和谐点”也是点A的“和谐点”，求点A的坐标；
(3)已知点B（b，0）和线段MN，点C在以（b-1，1），（b-1，-1），（b+1，-1），（b+1，1）为顶点的四边形上，且线段MN上总存在线段PC上每个点的“和谐点”. 若MN的最小值为5+，直接写出b的值．
参考答案
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C A C A D D
二、填空题（共16分，每小题2分）
9.x≥2. 10. y=x+4 . 11.＜. 12.x2+62=(x+2)2.
13.2. 14.67.5°. 15.35. 16.②③.
解答题(共60分，每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 .
17.
解：原式=
=. …………………………………………………………………………5分
18.
解：原式=
=.………………………………………………………………………5分
19.
解：原式=；……………………………………………………………………2分
当时，
原式=(-1)(-1+2)+5 ……………………………………………………………3分
=7. ………………………………………………………………………………5分
20.
证明：连结BF，DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE= OA，OF= OC.
∴OE＝OF.
∴四边形DEBF是平行四边形.
∴BE＝DF. …………………………………………………………………………………5分
21.
解：(1)如图，四边形ABCD所求作；
………………………………………………………………………………………………2分
(2)完成下面的证明．
证明：∵EF垂直平分AC，
∴AB＝ BC ， AD ＝ CD ．（ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ）
∵AB＝AD，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．（ 四条边相等的四边形为菱形 ）．……………………………5分
22.
(1)证明∵AB//DC，∴∠BAC=∠DCA ．
∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC．
∴∠DCA=∠DAC．
∴DC=DA．
∵AB=AD，∴AB=DC．
∵AB//DC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵DC=DA，∴四边形ABCD是菱形． …………………………………………………3分
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥DB.
∵CE⊥AB，
∴OE=OA=OC.
∵BD=6，∴OB=BD=3.
在Rt△AOB中，AB=5，OB=3，
∴OA==4.
∴OE=OA=4．………………………………………………………………………………5分
23.
(1)a=35，b=13%；……………………………………………………………………………2分
(2)
………………………………………………………………………………………………3分
(3)5.05；……………………………………………………………………………………4分
(4)880×=264(人).……………………………………………………………………5分
答：预估全校880人视力达到正常视力水平的一共264人.
24.
解：(1)当购买30件产品时，两种方案付费一样多.………………………………………1分
(2)设方案二y关于x 的函数解析式为y=kx+b(k≠0) .
将(0，600)，(30，1200) 代入，
得解得 …………………………………………………………………………………3分
即方案二y关于x 的函数解析式为：y=20x+600 .
若购买件数x件，
当0≤x<30 ，则选择方案一；
当x=30，则两个方案选择哪一个都可以；
当x>30，则选择方案二.……………………………………………………………………5分
25.
(1)4；…………………………………………………………………………………………1分(2)函数的图象如图所示：
……………………………………………………………………………………………… 2分
(3)①-2②两；…………………………………………………………………………………………4分
③x≤-4或x≥0． …………………………………………………………………………5分
26．
(1)∵的图象过点，
∴. ………………………………………………………………………………1分
∵一次函数的图象经过点，且与的图象交于点，
∴
解得
∴，． ………………………………………………………………4分
(2) m≤-2． ………………………………………………………………………………5分
27.
(1)①补图如图所示
………………………………………………………………………………………………1分
②∠EMB=45°.……………………………………………………………………………2分
证明：
∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是AC的中点，∴AE=BE=CE.
∵∠AEB=α, ∴∠EBC=∠C = .
∴∠DBE=90°-α.
∵BF=BE，∴∠BEF=45°+.
∵∠MBE=∠ABC—∠EBC=90°- ，
∴∠EMB=180°-(90°-)-(45°+) =45°.………………………………………3分
(2)作EH⊥BC于点H，FN⊥AM于点N，
∴∠BNF=∠BHE=90°.
由②可知∠NBF=∠EBH,
在△BNF和△BHE中
∴△BNF≌△BHE.∴NF=EH.
∵BE=EC，EH⊥BC,∴H是BC的中点，EH是△ABC的中位线.
∴NF=EH=AB.
∵∠EMB=45°，FN⊥AM于点N,∴△MNF是等腰直角三角形.
∴FM=NF.
∴FM=NF=EH=AB.…………………………………………………………5分
28.
(1)Q1，Q3. …………………………………………………………………………………2分 　　
(2)解：
∵ A在直线y=2x+3上，
∴ 设点A的坐标为（a，2a+3）．
设点P的一个“和谐点”为（m，n），
∴ m，n满足n=m+3．即n-m=3.
由于点（m，n）也是点A的“和谐点”，
∴ m，n满足m+a=2a+3+n．即n-m=-a-3.
∴-a-3=3，即a= -6．
∴ A的坐标为（-6，-9）． …………………………………………………………………4分
(3)或． …………………………………………………………………5分

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