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江苏省苏州市吴江区、吴中区、相城区2024-2025学年八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.国产人工智能大模型横空出世，迅速吸引了全球投资者的目光以下是四款常用的人工智能大模型的图标中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.小明的讲义袋里放了大小相同的试卷共张，其中语文张、数学张、英语张，他随机地从讲义袋中抽出张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.下列方程中，一定是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
5.如图，在四边形中，，添加下列条件后，不能判定四边形一定是平行四边形的是( )
A. B. C. D.
6.反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值是( )
A. B. C. D.
7.如图，在 中，，相交于点，，过点作的垂线交于点，记长为，长为求的值( )
A. B. C. D. 没法求出
8.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴和轴的正半轴上，点是边上的一个点不与、重合，过点的反比例函数图象交于点，连接并延长交轴于，连接，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.二次根式有意义，则的取值范围是______．
10.计算：______
11.若代数式的值与的值相等，则______．
12.某商店月份的利润是元，要使月份的利润达到元，设平均每月利润增长的百分率为，则可列方程为______．
13.如图，，两地被建筑物遮挡，为测量，两地的距离，在地面上选一点，连结，，分别取，的中点，，若的长为，则，两地距离为______
14.如图，菱形的对角线、相交于，点是的中点，连接，，，则的长为______．
15.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴的平行线，过作轴的平行线，两条平行线相交于，且，则 ______．
16.如图，将 绕点逆时针旋转到 的位置，使点落在上，与交于点，若，，，则的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.已知：关于的方程．
求证：方程总有两个实数根；
如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值．
四、解答题：本题共10小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
计算：
；
．
19.本小题分
解方程：
；
．
20.本小题分
先化简，再求值：，其中．
21.本小题分
方寸之间，一览千年博物馆不仅是展示一个国家和民族文化的重要窗口，更是进行国民教育、历史文化和艺术熏陶的重要课堂为了让孩子们更好地触摸传统文脉，涵养文化自信苏州某中学初二历史组开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目讲述博物馆馆藏文物的故事；制作博物馆专题手抄报；制作博物馆系列文创产品；挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项为了解学生参与情况，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：
参与此次抽样调查的学生人数是______人，并补全条形统计图；
在扇形统计图中，扇形对应的圆心角度数是______；
若该校初二年级共有学生人，试估计参与和项目的学生共有多少人？
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，网格中每个小正方形的边长为．
以点为位似中心，分别在第一象限和第四象限画出的位似图形和，使得画出的图形与的相似比为：．
在的作图下，连接和：
直接写出四边形的形状．
求四边形的面积．
23.本小题分
某项研究表明：人的眼睛疲劳系数与睡眠时间之间成函数关系，它们之间的关系如图所示．其中，当睡眠时间不超过小时时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数；当睡眠时间不少于小时时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的一次函数，且当睡眠时间达到小时后，眼睛疲劳系数为根据图象，回答下列问题：
当时，求眼睛疲劳系数关于睡眠时间之间的函数关系式；
如果某人睡眠了小时后，再连续睡眠了小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了，求的值．
24.本小题分
已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，交的延长线于点．
求证：；
若，求矩形的面积．
25.本小题分
直线与双曲线交于点并分别与轴、轴交于点、．
直接写出______，______；
根据图象直接写出不等式的解集为______；
若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、构成的三角形与相似？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．
26.本小题分
定义：我们将与称为一对“对偶式”．
因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
已知：，则 ______；
化简： ______； ______；
计算：．
27.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿对角线向终点运动过点作，交于点，动点的运动速度是每秒个单位长度，运动时间为秒，当点运动到点时，、两点同时停止运动．
求、的长用的代数式表示；
如图，当在的左侧时，若动点的运动速度是每秒个单位长度，无论为何值时反比例函数的图象始终同时经过点和点，求的值；
若动点的运动速度是每秒个单位长度，在、运动过程中，平面内是否存在这样一点，使、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出所有满足要求的的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意；
B.绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故此图形是中心对称图形，符合题意；
C.绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意；
D.绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
2.【答案】
【解析】解：小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共页，数学页，
他随机地从讲义夹中抽出页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：与不能合并，所以选项不符合题意；
B.，所以选项符合题意；
C.，所以选项不符合题意；
，所以选项不符合题意；
故选：．
4.【答案】
【解析】解：方程含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不符合题意；
B.该方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不符合题意；
C.方程是一元二次方程，该选项符合题意；
D.方程整理可得，是一元一次方程，不是一元二次方程，该选项不符合题意；
故选：．
5.【答案】
【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项B符合题意；
C、，，
四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
6.【答案】
【解析】解：由条件可知，，
，，
，
代数式的值是，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：过作，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
≌，
．
，
，，
，，
，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：设，
四边形是矩形，
，，
，，
点的纵坐标为，则横坐标为，即，点的横坐标为，则纵坐标为，即，
，
设直线的解析式为，
把，的坐标代入得，
解得，，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：二次根式有意义，
则，
解得：．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】解：故答案为．
11.【答案】，
【解析】解：代数式的值与的值相等，
，
，
即，
或，
解得：，．
故答案为：，．
12.【答案】
【解析】解：设平均每月利润增长的百分率是，依题意，得：
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：点，分别为，的中点，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，，
点是的中点，
，
，
，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：由题意可设，
，
，在一次函数上，
，
上式减下式得：，
，
，
，
，
，
，
，舍，
由条件可知，
，
，
由得：，
，
解得：，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：延长、，它们相交于点，如图，
四边形为平行四边形，
，，，
四边形绕点逆时针旋转到 的位置，
，，，，
，，
∽，
，即，
解得，
，
，
∽，
，
即，
解得，
，
∽，
，
即，
解得．
17.【答案】证明：，
方程是关于的一元二次方程，
，
，即，
方程总有两个实数根；
解：，
，，
为正整数，且方程的两个根均为整数，
或．
18.【答案】；
．
【解析】
；
．
19.【解析】，
，
，即，
，
，；
，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
20.【答案】，．
【解析】解：
，
当时，原式．
21.【解析】人，
样本中参与“制作博物馆专题手抄报”的人数为人，
补全统计图如下：
故答案为：；
，
故答案为：；
人，
答：估计参与和项目的学生共有人．
22.【答案】解：如图，和即为所求．
由题意得，，，
四边形为平行四边形．
由勾股定理得，，，，
，
，
即，
四边形为菱形．
由题意得，，，
，．
四边形为菱形，
四边形的面积为．
23.【答案】解：当时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数，
设这个反比例函数为，
它经过点，
，
眼睛疲劳系数关于睡眠时间之间的函数关系式；
根据题意，设当时，眼睛疲劳系数关于睡眠时间的函数关系式为：．
它经过点和，
，
解得，
当睡眠时间不少于小时，眼疲劳系数关于睡眠时间的函数关系式是，
某人睡眠了小时后，再连续睡眠了小时，此时眼睛疲劳系数恰好减少了，
，
整理得：，
解得：，，
经检验：，是原方程的解，不符合题意舍去，
的值是．
24.【解析】证明：在矩形中，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
；
解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
矩形的面积．
25.【解析】把代入得：，解得：．
把代入，得：．
故答案是：，；
解集为：或，
故答案是：或；
，
在中，令，解得，则的坐标是．
令，解得：，则的坐标是．
故，，，．
，即是等腰直角三角形，
，．
过作轴于点则是等腰直角，，．
当在线段不与重合上时，两个三角形一定不能相似；
当在线段的延长线上时，设的坐标是，则，
，
当∽时，，即，
解得：，
则的坐标是；
当∽时，，即，
解得：，
则的坐标是．
则的坐标是或．
26.【答案】； ，； ．
【解析】由题意，，且，
．
故答案为：．
由题意得，，．
故答案为：，．
由题意，
．
27.【解析】由题意得：，则，
矩形中，，，
，
，
，
如图，连接，
，
，
即，
，
在中，；
由题意得：，
如图，过点作于，过点作于，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
又，且反比例函数的图象始终同时经过点和点，
，
整理得：，
无论为何值时反比例函数的图象始终同时经过点和点，
，
解得：，
，
；
存在，
如图，设，过点作于，过点作于，连接，，
动点、的运动速度均为每秒个单位长度，运动时间为秒，
，
则，又，
，
，即，
在中，，
，
当时，，
解得：，
当时，
若为菱形对角线时，则于，与的中点重合，轴，过点作于，
，
，
，
，即，
，
，
同理可得：，
，
解得：，
；
若为菱形对角线时，，，
，
，
，
解得：，
，，，
；
若为菱形对角线时，，点与的中点纵坐标相等，
，
解得：，
；
当时，如图，
则，，，
四边形为菱形，
，，
即，
解得：，
，，，
；
综上所述，存在，点的坐标为或或或
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