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凉山州 2024-2025 学年度下期期末统一检测
高一数学参考答案
一、单项选择题（共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分）.
1-4．BCAB； 5-8．DABB.
二、多项选择题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求.全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分）.
9 . ACD； 10．BCD ； 11．ACD.
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）.
12．【答案】 2； 13．【答案】4； 14．【答案】10 6 .
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） .
15．（13分）
1 1
【解】（1）BE BC CE AD AB b a； .........................................（3分）
3 3
1
由 | a | |b | 1， a b ，
2
2
| BE |2 (b 1 a)2 b 2
1 2
则 a b
7
a ，
3 3 9 9

所以 | BE | 7 . ........................................（. 7分）
3

（2）由BF tBC tb，AF AB BF a tb， .........................................（9分）
uuur uuur
因为 AF BE，所以 AF BE 0，
1
所以 (a tb) ( a b) 0， ........................................（. 11分）
3
1 2 1 2 1
即 a ta b a b tb 0，解得 t . .........................................（13分）
3 3 5
16.（15分）
【解】（1）由图知：10 0.005 0.01 0.015 x 0.04 1，
可得 x 0.03 . ........................................（. 5分）
（2）由10 0.005 0.01 0.015 0.3 0.5 10 0.005 0.01 0.015 0. 03 0.6，
所以中位数在区间 80,90 内，令其为m， .........................................（8分）
则0.3 0.03 m 80 0.5 20，解得m 80 86.67 .
3
所以满意度评分的中位数约为86.67 . ........................................（. 12分）
由频率分布直方图可知，平均数为
试卷第 1页，共 4页
x 55 0.05 65 0.1 75 0.15 85 0.3 95 0.4 84 . ........................................（. 15分）
17.（15分）
【解】（1）由题意可知:
f (x) 3 sin x cos x cos 2x 1 3(2sin x cos x) 1 (2cos 2x 1)
2 2 2
3 sin 2x 1 cos 2x sin 2x π , ........................................（. 5分）2 2 6
T 2 2 由 | | 2 ,
得 f x 的最小正周期为 . ........................................（. 6分）

（2）令 2k 2x 2k ,k Z,
2 6 2

即 k

x k , k Z，
3 6
所以 f x 的单调递增区间为[ k , k ] , k Z. ........................................（. 9分）
3 6
（3）由题意 f sin(2 ) cos π 2

6 3
1 tan2 π
cos 2 π 6
6 1 tan2 π
6
tan( ) 1又 ，所以 f ( )
3
， .........................................（13分）
6 2 5
则 f (x)
1 sin(2x ) 1 ，即
2 6 2
又 x (0, ) 2x
( , ，即 )
6 6 6
5
所以 2x ，即 x
6 6 3

故 x的值为 . .........................................（15分）
3
18.（17分）
【解】（1）由 2 b cosC c cosB 与余弦定理，
a2 c2 b2 a2 2 2
得 c b b c 2，
2ac 2ab
即a 2 ........................................（. 3分）
又 sin A 2sin B ，由正弦定理得 a 2b，故b 1． .........................................（5分）
试卷第 2页，共 4页
（2）由（1）小题可知 a 2，b 1，又 c 2
2
cosC a b
2 c2 1
故由余弦定理得 ， .........................................（7分）
2ab 4
又C (0, )所以 sinC 1 cos2 C 15 ，
4
VABC S 1 ab sinC 15则 的面积 ． ........................................（. 10分）
2 4
（3）由 a 2，b 1，
得c 5 4cosC ........................................（. 12分）
又VABC为锐角三角形，
4 1 (5 4cosC) 1
则 0 cosC 5 4cosC 4 1 ，即 ........................................（. 13分） 2
1 2
因 2BD DA，所以CD CA CB3 3
2 2 2
即CD
1
(CA 4CB 4CA CB)
9

|CD | 1 17 21所以 17 8cosC ( , )，
3 3 3

|CD | ( 17 , 21即 的取值范围为 ) . ........................................（. 17分）
3 3
19 . （17分）
【解】（1）如图，连接 BC1，交 B1C于G，连接MG，
由正方体的结构易知G为 B1C的中点，
又 M为 AB的中点，
则MG / /AC1，MG 平面MB1C， AC1 平面MB1C，
所以 AC1 / /平面MB1C； ........................................（. 5分）
（2）作 AO CM 交 CM的延长线于 O，连结 A1O .
∵ A1A 平面 ABCD，AO是 A1O在平面 ABCD内的射影，
∴ A1O CM ，
∴ A1OA为二面角 A1 CM A的平面角. .....................................（. 7分）
不妨设正方体的棱长为 1.
试卷第 3页，共 4页
∵M是 AB 1 5的中点，且 AM //CD，则在直角 AMF中， AM ， AF 1， MF .
2 2
AO AM AF 1 A A
MF ， tan A1OA=
1 = 5，
5 AO
∴二面角 A1 CM A的正切值 5 . .........................................（10分）
（3）如图，设T为 BC的中点，连接DT交MC于 R，
设DE a， ER b

因DC CB 2，CT BM 1， DCT CBM ，
2
所以 DCT CBM ，
则 MCB TDC ,
所以 MCB CTD

，即 TRC ,所以MC DT，
2 2
又D1D 平面 ABCD，MC 平面 ABCD ,则MC D1D，又DT D1D D，
所以MC 平面D1DT，显然 ER 平面D1DT ,
则ER MC，又DP 平面MEC，
5
所以VD ECM ab DR
4 5
，且 ， .........................................（13分）
6 5
2 2
且DR2 a2 b2所以 ab a b 1 (4 5 )2 8 ，
2 2 5 5
V 5 ab 4 5即 D ECM ， ........................................（. 15分）6 15
V V V 4 4 5 20 4 5则 P MCE P MCD P ECM 3 15 15
当且仅当 a b时取等号，此时D1P 2，
P MCE 20 4 5即三棱锥 的体积的最小值为 . ........................................（. 17分）
15
试卷第 4页，共 4页凉山州 2024—2025 学年度下期期末统一检测高一年级试题
数 学
全卷共 4页，满分 150分，考试时间 120分钟。
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡
上，并检查条形码粘贴是否正确。
2. 选择题使用 2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔
书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
第 玉 卷 （选择题 共 58分）
一、单项选择题（共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1. 已知复数 z 满足 zi=1+姨3 （i i 为虚数单位），则 z 的虚部为（银）
A援 1 B援 -1 C援 -姨3 D援 姨3
2. 某校高一有 1000 名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，语文教研组要求高一学生从四大
名著中选一本阅读，其中有 400 人选《三国演义》，250 人选《水浒传》，250 人选《西游记》，100
人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取 100 名学生分享他们的读后感，则选《西游
记》或《红楼梦》的学生抽取的人数为（银 ）
A援 25 B援 30 C援 35 D援 50
3. 已知平面向量 a =（-3,4），b =（1,2），则向量 b 在向量 a上的投影向量是（银）
A援 蓸- 35 ，45 蔀 B援 蓸- 3姨5 5 ，4姨5 蔀 C援 蓸 15 ，25 5 蔀 D援 蓸 姨55 ，2姨5 5 蔀
4. 已知四棱锥 P-ABCD 的高为 2，其底面 ABCD 水平放置时的斜二测画法直观图 A'B'C'D 为
平行四边形，如图所示，已知 A'B'=C'D'=3，A'D'=B'C'=1，则四棱锥 P-ABCD 的体积为（银 ）
A. 姨2
B援 4
C援 3姨2
D援 12
5援 若点 O 是吟ABC 的外心，AB=姨6 ，则AC·BO +CB·BO =（银）
A援 1 B援 -1 C援 3 D援 -3
6. 已知吟ABC的三条边长分别为 a，b，c，且 a颐b颐c=5颐7颐8，则此三角形的最大角与最小角之和为（银）
A援 23仔 B援 35仔 C援 34仔 D援 56仔
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7援 若将函数（f x）=cos（2x+仔6 ）的图象向左或右平移 渍 个单位，所得的图象与 y=（f x）的图像关于
y 轴对称，则 渍的最小正值是（银）
A援 1仔2 B援 仔6 C援 仔4 D援 仔3
8援 已知圆锥 PO 的侧面面积为姨15 仔，母线长为姨5 ，则圆锥 PO 的外接球的表面积为（银）
A援 254仔 B援 252仔 C援 25仔 D援 332仔
二、多项选择题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求.全部选对得 6分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分）
9. 已知吟ABC 中，点 D（1,2），E（2,0），F（3,2）分别为 AB,BC,CA 的中点，则（银）
A援 EF =（1,2） B援 CF =（1,-2）
C援 点 A 的坐标为（2,4） D援 吟ABF的面积为 4
10. 某中学冬季田径运动会中，高一男子跳高比赛组的前七名成绩（单位：厘米）为：145，155，
132，135，140，130，136，则（银）
A援 该组数据的极差是 35 B援 该组数据的中位数是 136
C援 该组数据的 40豫分位数是 135 D援 该组数据的平均数为 139
11. 记 sin x+cos y=a，cos x+sin y=b，则（银）
A援 a的取值范围为[-2,2] B援 若 a=0，则 b=0
C援 a+b 的最小值为-2姨2 D援 若 a=姨3 ，则 b 的最大值为 1
第Ⅱ卷 （非选择题 共 92分）
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12. 若复数 z 满足 z+i =1，则 z 的最大值为 .
13. 样本中共有 5 个数据值，其中前四个值分别为 1，2，3，5，第五个值丢失，若该样本的平均数
为 2，则样本方差为 .
14. 如图，A，B 两点在河的两岸，在 B 同侧的河岸边选取点 C，
测得 BC=20m，蚁ABC=75毅，蚁ACB=60毅，则 A，B两点间的
距离为 m.
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四、解答题（本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13 分）在边长为 1 的菱形 ABCD 中，蚁A=仔3 ，DE =2EC ，设AB = a，AD = b .
（1）用 a，b ，表示BE ，并求 BE ；
（2）若BF =tBC ，AF彝BE ，求实数 t 的值.
16.（15 分）某风景区千峰叠翠，万派环宋，山势雄奇，胜境遍布，其山脊高出 4000 米的山峰就有
58 座迂回缭绕于高山雾海之中，忽隐忽现，如苍龙遨游九天，其峰群之集中，规模之宏大，
造型之奇异和离城市之近尚属罕见，是得天独厚的自然风景区。现为更好地提升旅游品质，
该风景区的工作人员随机选择 100 名游客对景区进行满意度评分（满分 100 分），根据
评分，制成如图所示的频率分布直方图援
（1）根据频率分布直方图，求 x 的值；
（2）估计这 100 名游客对景区满意度评分的中位数和
平均数（每组样本平均数用矩形底边中点的横坐标
代替，得数保留两位小数）.
17.（15 分）已知向量 a =（sin x，cos x），b =（姨3 cos x，cos x）,设函数（f x）= a·b - 12 ，x沂R.
（1）求（f x）的最小正周期；
（2）求（f x）的单调递增区间；
（3）设 x沂（0，仔），且 tan（仔6 -琢）= 21 ，5（f 琢）=6（f x），求 x 的值.
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18援（17分）已知 a，b，c 分别为吟ABC的三个内角 A，B，C的对边，且 sin A=2sin B，2-b cos C=c cos B.
（1）求 b；
（2）若 c=2，求吟ABC的面积；
（3）若吟ABC为锐角三角形，且 2BD =DA ，求 CD 的取值范围.
19.（17 分）如图 1，图 2，在正方体 ABCD-A 1B1C1D1 中，M 为 AB 的中点援
（1）图 1 中求证：AC1椅平面 MB1C；
（2）图 1 中求二面角 A 1-CM-A 的正切值；
（3）图 2 中，已知 AB=2，N 为 B1C1 的中点，点 P是线段 D1N 上的动点，过 MC 且与 DP垂直的
截面 琢 与 DP交于点 E，求三棱锥 P-MCE 的体积的最小值.
高一数学 第 4 页（共 4 页）

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