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3.3幂函数---课后调研检测--解析版
一、单选题
1．幂函数的图像过点，则的值为（ ）
A．64 B．2 C．16 D．8
【答案】B
【分析】利用待定系数法求解析式，然后求函数值.
【详解】设幂函数的解析式为，则，解得，
所以，.
故选：B.
2．“幂函数在上单调递减”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．充要条件
【答案】C
【分析】利用幂函数的性质求解参数，再判断必要性和充分性即可.
【详解】若是幂函数，则，
解得或，当时，，
由反比例函数性质得在上单调递减，
当时，，
由幂函数性质得在上单调递减，
故在上单调递减时，或，
即当在上单调递减时，无法推出，充分性不成立，
当时，可以推出在上单调递减，必要性成立，
综上，在上单调递减是的必要不充分条件，故C正确.
故选：C
3．已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用幂函数的定义及奇函数的概念即可求解.
【详解】由题意得，所以，所以，
解得或，
当时，，为偶函数，故不符合题意，
当时，，为奇函数，故符合题意.
综上所述：.
故选：B.
4．下列关于幂函数的描述中，正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过点和
B．幂函数的图象不经过第三象限
C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数
D．幂函数的图象过点，则
【答案】C
【分析】根据幂函数的图象性质分别判断每个选项即可.
【详解】对于A，当时，幂函数在处无定义，故图象不会经过点，选项A错误；
对于B，当时，幂函数都有意义，且，故幂函数的图象不经过第四象限，选项B错误；
对于C，当时，，在R上单调递增；当时，，在上单调递增；当时，，定义域为，且在上单调递增，选项C正确；
对于D，幂函数的图象过点，即，所以，即，所以，选项D错误；
故选：C.
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当时，的图象如图所示，又知为偶函数，所以图象关于轴对称．
6．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论.
【详解】因为函数在上单调递减，
所以，又，
所以，
因为函数的图象关于轴对称，
所以为偶数，
所以，
函数的定义域为，
且函数在和上单调递减，
当时，，当时，，
所以不等式可化为
或或，
所以或，
所以的取值范围为.
故选：C.
二、多选题
7．下列哪些函数是幂函数（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由幂函数的定义对比选项即可求解.
【详解】由幂函数的标准形式，对比选项可知，与符合题意.
故选：BD.
8．已知是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用幂函数的单调性判断ABC；利用作差法判断D.
【详解】幂函数的定义域为，
，，
∵函数在单调递增，，
∴，即，故A正确；
，，
∵函数在单调递减，，即，
∴，即，故B错误；
∵幂函数在上单调递增，，
∴，，即，∴，故C正确；
，
∵，
∴，即，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
9．已知，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由幂函数的奇偶性，单调性即可求解.
【详解】由于幂函数，定义域为，偶函数，且在单调递减，
所以由，
可得：，且，
对平方可得：，
解得：，又，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
10．函数的图象恒过点 .
【答案】
【分析】根据幂函数的图象过定点求解.
【详解】令，
此时，无论取何值，都有.
所以函数图象恒过点.
故答案为：
四、解答题
11．已知幂函数在上单调递减．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据函数是幂函数，单调性计算求参即可.
（2）根据单调性求不等式.
【详解】（1）由幂函数在上单调递减，
可得，解得，所以．
（2）由函数图象关于轴对称，且在上单调递增，
则可化为，平方得，
化简得，解得，所以的取值范围是．
12．已知幂函数在上单调递增.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的取值范围；
(3)若对，，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由幂函数的概念及单调性列出等式求解即可；
（2）由幂函数的单调性列出不等式即可；
（3）由题意通过，及，即可求解.
【详解】（1）由幂函数在上单调递增，
可得，解得，
所以；
（2）因为在上单调递增，
则可化为，解得，所以的取值范围为；
（3）由（1）知，
因为对，使得都成立，
所以，其中，
由（1）可得函数在上的最大值为8，所以，
因为存在，使得成立，可得，
又因为，所以是关于的单调递增函数，
所以，即，解得或，
所以实数的取值范围为.
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3.3幂函数---课后调研检测--试题版
【1】检测要点
幂函数的概念.2幂函数的图象与性质.3幂函数在第一象限的分类特征.
【2】检测记录（批改一栏可以打”√”或”×”，不会做可以画”O”）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
批改
需重视题目
【3】检测试题
一、单选题
1．幂函数的图像过点，则的值为（ ）
A．64 B．2 C．16 D．8
2．“幂函数在上单调递减”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．充要条件
3．已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（ ）
A．或 B．
C． D．
4．下列关于幂函数的描述中，正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过点和
B．幂函数的图象不经过第三象限
C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数
D．幂函数的图象过点，则
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．下列哪些函数是幂函数（ ）
A． B． C． D．
8．已知是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知，则实数的取值范围是 .
10．函数的图象恒过点 .
四、解答题
11．已知幂函数在上单调递减．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的取值范围．
12．已知幂函数在上单调递增.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的取值范围；
(3)若对，，使得成立，求实数的取值范围.
【4】备查知识
一　幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二　五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．
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2．五个幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 在[0，＋∞) 上增，在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减
三　一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小
到大的顺序排列.
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