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4.2.2指数函数的图象和性质---课后调研检测--试题版
【1】检测要点
指数函数的图象特点，定点，单调性，应用.
【2】检测记录（批改一栏可以打”√”或”×”，不会做可以画”O”）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
批改
需重视题目
【3】检测试题
1．函数（且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．若指数函数的图象如图所示，则1，a，b，c，d由小到大的顺序是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数（，且）的图象过定点（m，n），则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则函数的图象恒过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】分析给定函数图象即可判断得解.
【详解】函数中，当时，函数的图象过第一、二象限；
当时，函数的图象过第一、二、四象限；
当时，函数的图象过第二、四象限；
当时，函数的图象过第二、三、四象限，
所以函数的图象恒过第二象限.
故选：B
故选：A.
5．已知函数，则（ ）
A．在上单调递增且值域为
B．在上单调递减且值域为
C．在上单调递增且值域为
D．在上单调递减且值域为
6．若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知实数a，b满足等式，则下列关系可以成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．当时，函数图象过
B．当时，函数在区间上是增函数
C．当时，函数的值域为
D．当时，若函数有最大值，则
三、填空题
9．若函数的图象关于原点对称，则 .
10．函数的定义域为
四、解答题
11．已知函数是奇函数.
(1)求的值，并判断的单调性（简要说明，无需证明）；
(2)若对于，都有成立，求实数的取值范围.
12．已知定义域为的函数是奇函数，.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性，并用定义证明；
(3)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【4】备查知识
指数函数的图象与性质
y＝ax a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)
当x>0时，y>1； 当x>0时，0当x<0时，01
在R上是增函数 在R上是减函数
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4.2.2指数函数的图象和性质---课后调研检测--解析版
1．函数（且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数单调性和平移即可作出判断.
【详解】当时，，函数单调递增，
且图象由的图象向下平移个单位长度，故AB错误；
当时，，函数单调递减，
且图象由的图象向下平移个单位长度，故D正确C错误．
故选：D．
2．若指数函数的图象如图所示，则1，a，b，c，d由小到大的顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】利用特值法求解，取，可知．
3．已知函数（，且）的图象过定点（m，n），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数的性质，可得到函数必过的定点，从而进行指数运算即可.
【详解】因为，所以函数过定点，
即，则，
故选：A.
4．已知，则函数的图象恒过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】分析给定函数图象即可判断得解.
【详解】函数中，当时，函数的图象过第一、二象限；
当时，函数的图象过第一、二、四象限；
当时，函数的图象过第二、四象限；
当时，函数的图象过第二、三、四象限，
所以函数的图象恒过第二象限.
故选：B
5．已知函数，则（ ）
A．在上单调递增且值域为
B．在上单调递减且值域为
C．在上单调递增且值域为
D．在上单调递减且值域为
【答案】B
【分析】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可.
【详解】令，
则视为由和构成的复合函数，
由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
由指数函数性质得在上单调递增，
由复合函数性质得在上单调递减，
而，故，故B正确.
故选：B
6．若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数在各段上单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可.
【详解】若为上的增函数，则，解得，
故的取值范围是．
故选：A．
二、多选题
7．已知实数a，b满足等式，则下列关系可以成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】如图，观察易知，或或，因此A，B，D均可成立
8．已知函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．当时，函数图象过
B．当时，函数在区间上是增函数
C．当时，函数的值域为
D．当时，若函数有最大值，则
【答案】CD
【分析】对于A，，代入点判断A，对于B，结合复合函数的单调性判断方法判断即可，对于C，结合二次函数的单调性和指数函数的单调性求函数的值域，判断C，结合二次函数单调性及指数函数性质求最大值，判断D.
【详解】对于A：当时，．
将代入可得：，
所以函数图象不经过点，A错误．
对于B：当时，．
令，
二次函数的对称轴为，在区间上，随的增大而增大．
又因为指数函数是单调递减函数，根据复合函数“同增异减”的原则，
可知在区间上是减函数，B错误．
选项C：当时，，
因为，所以．
函数在时，，
则，即函数的值域为，C正确．
对于D：当时，．
若，则，此时函数无最大值．
若，令，要使有最大值，则在取最小值时取最大值．
对于二次函数，其对称轴为，
则时，且时，，
因为最大值为，即，所以，
解得，D正确．
故选：CD.
三、填空题
9．若函数的图象关于原点对称，则 .
【答案】2
【分析】根据函数图象关于原点对称，得到函数为奇函数，再根据奇函数的性质即可求解.
【详解】解：函数的图象关于原点对称，
为奇函数，
即 ，
即 ，
，
，
即 ，
即，
即 ，
故.
故答案为：.
10．函数的定义域为
【答案】
【分析】利用根号的性质及指数单调性求解即可.
【详解】由题，即，即，
因为为单调递增函数，所以，即
故答案为：
四、解答题
11．已知函数是奇函数.
(1)求的值，并判断的单调性（简要说明，无需证明）；
(2)若对于，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，函数为上的单调减函数
(2)
【分析】（1）由题可得，据此可得，然后将化为，由指数函数单调性可判断单调性；
（2）由（1）结合题意可得，据此可得答案.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，代入得
经检验，符合题意.所以
因为
为上的单调增函数，且，故为上的单调减函数
则函数在上是减函数；
（2）不等式可转化为
又因为函数在上是减函数，所以在恒成立，
所以，其中.
令，
则在上单调递减，在单调递增，
所以，即
12．已知定义域为的函数是奇函数，.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性，并用定义证明；
(3)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)在上为减函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）先根据求出的值，再验证此时函数为奇函数，则为所求.
（2）利用单调性的定义证明函数的单调性.
（3）根据函数的单调性和奇偶性，将函数不等式转化成代数不等式：.再分离参数，结合二次函数在给定区间上的值域求参数的取值范围.
【详解】（1）因为在定义域为上是奇函数，
所以，即，∴.
又∵，即，∴.
则，由，
则当，原函数为奇函数.
（2）由（1）知，
任取，设，则，
因为函数在上是增函数，，∴.
又，
∴，即，
∴在上为减函数.
（3）因是奇函数，从而不等式：，
等价于，
因为为减函数，由上式推得：，
即对一切有：恒成立.
设，
令，则有，
∴，
∴，即k的取值范围为.
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