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新课预习衔接 探索勾股定理
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 吴中区校级月考）已知△ABC中，AB＝AC＝2，点D在BC边的延长线上，AD＝4，则BD CD＝（　　）
A．16 B．15 C．13 D．12
2．（2024 普宁市期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则AB的长为（　　）
A． B． C．4 D．5
3．（2024春 武城县校级月考）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
4．（2024春 黔西南州期末）在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2+AC2+BC2的值为（　　）
A．15 B．25 C．50 D．无法计算
5．（2024春 永清县校级月考）如图，若直角三角形的两条直角边长分别为，2，则图中阴影部分（正方形）的面积为（　　）
A． B． C．5 D．7
二．填空题（共5小题）
6．（2024 乌鲁木齐二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是 　 　．
7．（2024 甘州区三模）如图，在△ABC，∠ACB＝90°，分别以三边为直径向上作三个半圆．若AB＝5，AC＝4，则阴影部分图形的面积为 　 　．
8．（2024春 徐水区期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则ED的长是　 　．
9．（2024春 长垣市期中）已知△ABC中，∠B＝90°，若c﹣a＝6，b＝2，则△ABC的面积为 　 　．
10．（2024春 新县期末）如图，两个正方形的面积分别是64和49，则AC的长为　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 伊川县期末）如图所示，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，AF＝12cm，求图中半圆的面积．
12．（2024 甘谷县三模）如图，小肖同学从滑雪台A处开始向下滑至B处．已知滑雪台的高度AC为14米，滑雪台整体的水平距离BC比滑雪台的长度AB短2米，则滑雪台的长度AB为多少米？
13．（2024 衡阳期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AC＝5，BC＝9，AD＝4，求AB的长．
14．（2024 秦安县校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E，并且BE平分∠ABC．
（1）求∠A的度数；
（2）若CE＝1，求AB的长．
15．（2024春 高安市月考）课本再现
如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为a，b（b＞a＞0），斜边长为c．
（1）请利用图1验证勾股定理；
知识应用
（2）在图1中，若c＝15，b＝12，求小正方形的面积；
（3）小明按图2的方式把边长为3cm和2cm的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形的边长是 　 　．
新课预习衔接 探索勾股定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 吴中区校级月考）已知△ABC中，AB＝AC＝2，点D在BC边的延长线上，AD＝4，则BD CD＝（　　）
A．16 B．15 C．13 D．12
【考点】勾股定理．
【答案】D
【分析】过点A作BC的垂线，利用勾股定理得出AD2＝AE2+DE2，AB2＝AE2+BE2，再由平方差公式得出AD2﹣AB2＝BD CD，即可得出结果．
【解答】证明：过点A作AE⊥BC于E，如图所示：
∵AB＝AC，
∴BE＝CE（三线合一），
在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，
在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，
∴AD2﹣AB2＝AE2+DE2﹣AE2﹣BE2＝DE2﹣BE2＝（DE+BE） （DE﹣BE）＝（DE+EC） BD＝CD BD
即AD2﹣AB2＝BD CD，
∴BD CD＝42﹣22＝12；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理、平方差公式；熟练掌握勾股定理和平方差公式是解决问题的关键．
2．（2024 普宁市期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则AB的长为（　　）
A． B． C．4 D．5
【考点】勾股定理．
【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】D
【分析】利用勾股定理计算得结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，
AB
＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的内容是解决本题的关键．
3．（2024春 武城县校级月考）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．
【答案】C
【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．
【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．
∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．
∴BE＝9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．
解得AE＝4．
∴△ABE的面积为3×4÷2＝6（cm2）．
故选：C．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
4．（2024春 黔西南州期末）在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2+AC2+BC2的值为（　　）
A．15 B．25 C．50 D．无法计算
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】由直角三角形的性质可得AB2+AC2＝BC2＝25，即可求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，斜边BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2＝25，
∴AB2+AC2+BC2＝25+25＝50，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是本题的关键．
5．（2024春 永清县校级月考）如图，若直角三角形的两条直角边长分别为，2，则图中阴影部分（正方形）的面积为（　　）
A． B． C．5 D．7
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据勾股定理计算出斜边的平方，即是阴影部分的面积．
【解答】解：由勾股定理得：直角三角形斜边的平方为：，而阴影部分（正方形）面积为斜边的平方，故阴影部分面积为7；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 乌鲁木齐二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是 　　．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接DE，利用等腰三角形的性质可知AE是CD的垂直平分线，利用勾股定理求出AB的长，再利用等积法求出DE的长，再利用勾股定理求BE即可．
【解答】解：连接DE，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴AE是CD的垂直平分线，
∴CE＝DE，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB，
∴BD＝AB﹣AD＝2，
∴S△ABC＝S△ACE+S△ABE，
∴AC×BC＝AC×CE+AB×DE，
∴3×4＝3CE+5DE，
∴DE，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
BE，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，运用等积法求出DE的长是解题的关键．
7．（2024 甘州区三模）如图，在△ABC，∠ACB＝90°，分别以三边为直径向上作三个半圆．若AB＝5，AC＝4，则阴影部分图形的面积为 　6　．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由勾股定理得BC2+AC2＝AB2，BC＝3，则S△ABCBC AC＝6，设以BC为直径的半圆的面积为S1，以AB为直径的半圆的面积为S3，以AC为直径的半圆的面积为S2，再由圆的面积公式得S1BC2，S2AC2，S3AB2，然后由S阴影＝S2+S1+S△ABC﹣S3，即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC2+AC2＝AB2，BC3，
∴S△ABCBC AC3×4＝6，
设以BC为直径的半圆的面积为S1，以AB为直径的半圆的面积为S3，以AC为直径的半圆的面积为S2，
∵S1π （BC）2BC2，S2π （AC）2AC2，S3π （AB）2AB2，
∴S阴影＝S2+S1+S△ABC﹣S3（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC＝S△ABC＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了勾股定理、圆的面积公式以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键．
8．（2024春 徐水区期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则ED的长是　　．
【考点】勾股定理．
【专题】推理填空题；数形结合；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】如图，连接AD，在Rt△ADE中，由勾股定理计算即可得出ED的长．
【解答】解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
ED
．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理在几何图形问题中的应用，数形结合、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．（2024春 长垣市期中）已知△ABC中，∠B＝90°，若c﹣a＝6，b＝2，则△ABC的面积为 　8　．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】8．
【分析】由勾股定理得出a2+c2＝68，可求出ac＝16，则可得出答案．
【解答】解：∵∠B＝90°，b＝2，
∴a2+c268，
∵c﹣a＝6，
∴c2﹣2ac+a2＝36，
∴ac＝16，
∴8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了勾股定理、三角形面积等知识，由勾股定理求出ac＝16是解题的关键．
10．（2024春 新县期末）如图，两个正方形的面积分别是64和49，则AC的长为　17　．
【考点】勾股定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正方形的性质求出AB、BD、DC的长，再根据勾股定理求出AC的长．
【解答】解：∵两个正方形的面积分别是64和49，
∴AB＝BD＝8，DC＝7，
根据勾股定理得：AC17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了勾股定理，求出AB、BC的长并熟悉勾股定理是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 伊川县期末）如图所示，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，AF＝12cm，求图中半圆的面积．
【考点】勾股定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先，在直角△ABO中，利用勾股定理求得AO＝5cm；然后在直角△AFO中，由勾股定理求得斜边FO的长度；最后根据圆形的面积公式进行解答．
【解答】解：如图，∵在直角△ABO中，∠B＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，
∴AO5cm．
则在直角△AFO中，由勾股定理得到：FO13cm，
∴图中半圆的面积π×（）2π（cm2）．
答：图中半圆的面积是cm2．
【点评】本题考查了勾股定理和圆的面积的计算．注意，勾股定理应用于直角三角形中．
12．（2024 甘谷县三模）如图，小肖同学从滑雪台A处开始向下滑至B处．已知滑雪台的高度AC为14米，滑雪台整体的水平距离BC比滑雪台的长度AB短2米，则滑雪台的长度AB为多少米？
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】滑雪台的长度AB为50米．
【分析】设AB的长为x米，则BC的长为（x﹣2）米，利用勾股定理进行求解即可．
【解答】解：设AB的长为x米．则BC的长为（x﹣2）米．
∵AC＝14米，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴142+（x﹣2）2＝x2，解得x＝50．
答：滑雪台的长度AB为50米．
【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
13．（2024 衡阳期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AC＝5，BC＝9，AD＝4，求AB的长．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】．
【分析】由勾股定理可求得CD＝3，再次利用勾股定理即可求AB的长度．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，AC＝5，BC＝9，AD＝4，
在Rt△ACD中，CD，
∴BD＝BC﹣CD＝6，
在Rt△ABD中，AB．
故AB的长度为：．
【点评】本题主要考查勾股定理，解答的关键是熟记勾股定理并灵活运用．
14．（2024 秦安县校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E，并且BE平分∠ABC．
（1）求∠A的度数；
（2）若CE＝1，求AB的长．
【考点】勾股定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）30°；
（2）．
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到EA＝EB，进而得到∠EBA＝∠A，由角平分线的概念得到∠EBA＝∠CBE，进而利用三角形内角和定理求解即可；
（2）根据含30°角直角三角形的性质得到BE＝2CE＝2，然后利用勾股定理得到，进而求解即可．
【解答】解：（1）∵DE的垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A．
又∵BE平分∠ABC，
∴∠EBA＝∠CBE，而∠C＝90°，
又∵∠CBE+∠EBA+∠A+90°＝180°，
∴∠A＝30°．
（2）∵∠CBE＝∠ABE＝∠A＝30°，∠C＝90°，CE＝1，
∴BE＝2CE＝2，
∴BC，
∴．
【点评】此题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理和含30°角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
15．（2024春 高安市月考）课本再现
如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为a，b（b＞a＞0），斜边长为c．
（1）请利用图1验证勾股定理；
知识应用
（2）在图1中，若c＝15，b＝12，求小正方形的面积；
（3）小明按图2的方式把边长为3cm和2cm的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形的边长是 　cm　．
【考点】勾股定理的证明；列代数式．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】（1）见解析；（2）9；（3）．
【分析】（1）根据大正方形的面积的两种表示方法＝四个直角三角形的面积+小正方形的面积，列式证明即可；
（2）先根据勾股定理求出a＝9，然后根据正方形的面积公式求解即可；
（3）根据两个图形的面积相等，求出图3中大正方形的面积，然后再求出边长即可．
【解答】（1）证明：∵大正方形的面积＝四个直角三角形的面积+小正方形的面积，
∴
＝b2﹣2ab+a2+2ab
＝b2+a2，
∴a2+b2＝c2．
（2）解：由勾股定理得，
∴小正方形的面积S＝（12﹣9）2＝9．
（3）解：∵大正方形的面积为：32+22＝9+4＝13（cm2），
∴大正方形的边长：．
【点评】本题主要考查了勾股定理的几何证明，利用勾股定理进行计算，算术平方根的应用，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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