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新课预习衔接 一定是直角三角形吗
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 献县期中）满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．三边之比为
B．三内角之比为3：4：5
C．其中一个内角的度数等于另外两个内角度数的差
D．三边长分别为40、9、41
2．（2024 宿迁期末）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．AB，BC＝4，AC＝5 D．∠A＝40°，∠B＝50°
3．（2024春 兖州区期末）以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（　　）
A．2，2，3 B．4，5，7 C．5，12，13 D．10，10，10
4．（2024春 红山区期末）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（　　）
A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°
5．（2024 张家口二模）如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以AB为一边作直角三角形ABC，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（　　）
A．C1 B．C2 C．C3 D．C4
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 海珠区期末）已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则△ABC的面积为 　 　．
7．（2024春 潮安区期末）一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是　 　 cm．
8．（2024春 广水市期末）如图，已知AC＝4，BC＝3，BD＝12，AD＝13，∠ACB＝90°，则阴影部分的面积为 　 　．
9．（2024春 港南区期末）一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为 　 　．
10．（2024 龙亭区一模）已知等腰△ABC的底边BC＝5，D是腰AB上一点，且CD＝4，BD＝3，则AD的长为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春 惠来县校级月考）如图所示四边形ABCD，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求：
（1）AC的长；
（2）该四边形ABCD的面积．
12．（2024 浑南区期末）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是边AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC中BC边上的高．
13．（2024春 金乡县期末）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝12，AC⊥BC，点D为△ABC内一点，且CD＝3，BD＝4．
（1）求BC的长；
（2）求图中阴影部分（四边形ABDC）的面积．
14．（2024 嵩县期末）如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
15．（2024春 谷城县期末）如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形ABCD的面积与周长；
（2）∠BCD是直角吗？
新课预习衔接 一定是直角三角形吗
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 献县期中）满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．三边之比为
B．三内角之比为3：4：5
C．其中一个内角的度数等于另外两个内角度数的差
D．三边长分别为40、9、41
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】判断三角形是不是直角三角形，已知三角形的三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
【解答】解：A、设三边为k，，2k，因为，所以是直角三角形，不符合题意；
B、因为，所以不是直角三角形，符合题意；
C、因为一个内角的度数等于另外两个内角度数的差，即：∠A＝∠C﹣∠B，
因为∠A+∠C+∠B＝180°，即∠C﹣∠B+∠C+∠B＝180°，
则∠C＝90°，所以是直角三角形，不符合题意；
D、因为92+402＝412，所以是直角三角形，不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
2．（2024 宿迁期末）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．AB，BC＝4，AC＝5 D．∠A＝40°，∠B＝50°
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，即△ABC不是直角三角形，符合题意；
B、设AB＝3x，则BC＝4x，AC＝5x，
∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵42+52＝（）2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A＝40°，∠B＝50°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
3．（2024春 兖州区期末）以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（　　）
A．2，2，3 B．4，5，7 C．5，12，13 D．10，10，10
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵22+22≠32，
∴以2，2，3为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵42+52≠72，
∴以4，5，7为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵52+122＝132，
∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵102+102≠102，
∴以10，10，10为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
4．（2024春 红山区期末）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（　　）
A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°
【考点】勾股定理的逆定理；方向角．
【专题】应用题．
【答案】C
【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案．
【解答】解：甲的路程：40×15＝600m，
乙的路程：20×40＝800m，
∵6002+8002＝10002，
∴甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，
∵甲客轮沿着北偏东30°，
∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5．（2024 张家口二模）如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以AB为一边作直角三角形ABC，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（　　）
A．C1 B．C2 C．C3 D．C4
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】在正方形网格中，根据直角三角形的判定进行判定即可．
【解答】解：AB2＝10，5，5，
∴AB2，
∴△ABC1是直角三角形，
∵10，AB2＝10，20，
∴AB2，
∴△ABC2是直角三角形，
∵AB2＝10，20，10，
∴AB2，
∴△ABC3是直角三角形，
∵16，18，AB2＝10，
∴AB2，
∴△ABC4不是直角三角形，
所以△ABC2，△ABC3，△ABC1是直角三角形，但△ABC4不是直角三角形，
故选：D．
【点评】本题主要考查了直角三角形的判定，关键是勾股定理的应用．
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 海珠区期末）已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则△ABC的面积为 　30　．
【考点】勾股定理的逆定理；三角形的面积．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三边长度可利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形．再求面积．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别为5，12，13，
∴52+122＝（13）2，
∴△ABC是直角三角形，两直角边是5，12，
∴△ABC的面积为：5×12＝30，
故答案为：30．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积公式，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
7．（2024春 潮安区期末）一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是　12　 cm．
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】数形结合．
【答案】见试题解答内容
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形，然后再利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：如图：设AB＝25是最长边，AC＝15，BC＝20，过C作CD⊥AB于D，
∵AC2+BC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠C＝90°，
∵S△ACBAC×BCAB×CD，
∴AC×BC＝AB×CD
15×20＝25CD，
∴CD＝12（cm）；
故答案为：12．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理和三角形的面积公式的应用．根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形是解答此题的突破点．
8．（2024春 广水市期末）如图，已知AC＝4，BC＝3，BD＝12，AD＝13，∠ACB＝90°，则阴影部分的面积为 　24　．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】24．
【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形，从而可得∠ABD＝90°，最后根据阴影部分的面积＝△ABD的面积﹣△ABC的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：连接AB，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB5，
∵BD＝12，AD＝13，
∴AB2+BD2＝52+122＝169，AD2＝132＝169，
∴AB2+BD2＝AD2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ABD＝90°，
∴阴影部分的面积＝△ABD的面积﹣△ABC的面积
AB BDAC BC
5×124×3
＝30﹣6
＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9．（2024春 港南区期末）一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为 　　．
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知先判定其形状，再根据直角三角形斜边上中线的性质求得其中线长．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为5，12，13，符合勾股定理的逆定理52+122＝132，
∴此三角形为直角三角形，则13为直角三角形的斜边，
∵三角形斜边上的中线是斜边的一半，
∴三角形最长边上的中线为．
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理的逆用，解答此题的关键是先判断出三角形的形状，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半判断．
10．（2024 龙亭区一模）已知等腰△ABC的底边BC＝5，D是腰AB上一点，且CD＝4，BD＝3，则AD的长为 　　．
【考点】勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】．
【分析】根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，即∠ADC＝90°，设AB＝AC＝a，在Rt△ADC中，由勾股定理得出a2＝（a﹣3）2+42，求出a即可．
【解答】解：设AB＝AC＝a，
∵BC＝5，CD＝4，BD＝3，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2，
∴a2＝（a﹣3）2+42，
∴，
∴AD3．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得∠ADC＝90°是解答本题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春 惠来县校级月考）如图所示四边形ABCD，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求：
（1）AC的长；
（2）该四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】推理能力．
【答案】（1）5；
（2）36．
【分析】（1）根据△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，运用勾股定理求得；
（2）根据三角形面积公式得到，根据勾股定理的逆定理推出△ACD是直角三角形，根据三角形面积公式得到．推出S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD．
【解答】解：（1）∵△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，
∴；
（2），
∵在△ACD中，CD＝12，AD＝13，AC＝5，
∴CD2+AC2＝122+52＝132＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴．
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝6+30＝36．
【点评】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，三角形的面积等，熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形，三角形的面积公式计算面积，是解答此题的关键．
12．（2024 浑南区期末）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是边AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC中BC边上的高．
【考点】勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】几何图形；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，求出∠ADC＝90°，再根据勾股定理求出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出BE＝CE＝10cm，根据勾股定理求出AE即可．
【解答】解：（1）∵BC＝20cm，且CD＝16cm，BD＝12cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
设AD＝x cm，则AC＝AB＝（x+12）cm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
即x2+162＝（x+12）2，
解得：x，
即ADcm；
（2）AB＝AC12（cm），
过A作AE⊥BC于E，则AE是△ABC的高，
∵AB＝AC，BC＝20cm，
∴BE＝CE＝10（cm），
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE（cm），
即△ABC中BC边上的高是cm．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理得出∠BDC＝90°是解此题的关键．
13．（2024春 金乡县期末）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝12，AC⊥BC，点D为△ABC内一点，且CD＝3，BD＝4．
（1）求BC的长；
（2）求图中阴影部分（四边形ABDC）的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）5；
（2）24．
【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）由勾股定理逆定理可证△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°，再根据S四边形ABDC＝S△ABC﹣S△BCD，结合三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴；
（2）∵CD＝3，BD＝4，BC＝5，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴．
∵，
∴S四边形ABDC＝S△ABC﹣S△BCD＝24．
【点评】本题考查勾股定理与勾股定理逆定理，三角形的面积计算．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题关键．
14．（2024 嵩县期末）如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由勾股定理可直接求得结论；
（2）根据勾股定理逆定理证得∠ACD＝90°，由于四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【解答】解：（1）连接AC，如图．
在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm，
∴AC15．
即A、C两点之间的距离为15cm；
（2）∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD
AB BCAC CD
9×1215×8
＝54+60
＝114（cm2）．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键．
15．（2024春 谷城县期末）如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形ABCD的面积与周长；
（2）∠BCD是直角吗？
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）四边形ABCD的面积为14.5，周长为3；
（2）∠BCD是直角，理由见解答．
【分析】（1）利用勾股定理求出各边长，将四条边相加得出周长，进而利用四边形所在矩形面积减去周围三角形面积得出答案；
（2）利用勾股定理的逆定理得出答案．
【解答】解：（1）由勾股定理可得：AB2＝52+12＝26，
则AB，
∵BC2＝42+22＝20，
∴BC＝2
∵CD2＝22+12＝5，
∴CD，
∵AD2＝12+42＝17，
∴AD，
故四边形ABCD的周长为：23．
四边形ABCD的面积为：5×5（1×5+4×2+2×1+4×1）﹣1×1＝25﹣10.5＝14.5；
（2）∠BCD是直角，理由如下：
由（1）得：BC2＝20，CD2＝5，而BD2＝32+42＝25，
∴DC2+BC2＝BD2，
∴∠BCD＝90°．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确应用勾股定理是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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