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新课预习衔接 一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）
一．选择题（共5小题）
1．（2024 阳泉三模）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+10＝0配方后得到的方程是（　　）
A．（x+8）2＝54 B．（x﹣8）2＝54 C．（x+4）2＝6 D．（x﹣4）2＝6
2．（2024 昌吉州模拟）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
3．（2024 天津期末）一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
4．（2024 衡山县期末）设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．2024 B．2021 C．2023 D．2022
5．（2024 张家口一模）已知一元二次方程的两根分别为x1＝3，x2＝﹣4；则这个方程为（　　）
A．（x﹣3）（x+4）＝0 B．（x+3）（x﹣4）＝0
C．（x+3）（x+4）＝0 D．（x﹣3）（x﹣4）＝0
二．填空题（共5小题）
6．（2024 瑶海区校级三模）关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 　 　．
7．（2024 椒江区校级模拟）对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 　 　．
8．（2024 东港区二模）等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是　 　．
9．（2024春 和平区校级月考）一个菱形的边长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 　 　．
10．（2024 灌云县二模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m取值范围是 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 新会区期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
12．（2024 东辽县期末）阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：①当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
②当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，
解得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2．
综上，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．
请参照例题解方程：x2﹣|x﹣3|﹣3＝0．
13．（2024 石家庄一模）下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程，请认真阅读并完成任务．
2x2﹣3x﹣5＝0
解：x第一步
第二步
第三步
第四步
x1，x2＝﹣1第五步
（1）任务一：①小颖解方程的方法是 　 　．
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
②第二步变形的依据是 　 　；
（2）任务二：请你按要求解下列方程：
①x2+2x﹣3＝0；（公式法）②3（x﹣2）2＝x2﹣4．（因式分解法）
14．（2024春 淮阴区校级月考）解下列方程：
（1）（x﹣1）2﹣25＝0；
（2）（5x﹣1）2＝3（5x﹣1）；
（3）x2﹣4x﹣3＝0；
（4）3x2+5x+1＝0．
15．（2024 汶上县二模）已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根．
新课预习衔接 一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 阳泉三模）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+10＝0配方后得到的方程是（　　）
A．（x+8）2＝54 B．（x﹣8）2＝54 C．（x+4）2＝6 D．（x﹣4）2＝6
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．
【解答】解：x2﹣8x+10＝0，
移项得：x2﹣8x＝﹣10，
配方得：x2﹣8x+16＝﹣10+16，
整理得：（x﹣4）2＝6，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程．熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键．
2．（2024 昌吉州模拟）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；换元法解一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据已知方程的解得出x+3＝1，x+3＝﹣3，求出两个方程的解即可．
【解答】解：∵方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，
∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0中x+3＝1或x+3＝﹣3，
解得：x＝﹣2或﹣6，
即x1＝﹣2，x2＝﹣6，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3＝1和x+3＝﹣3是解此题的关键．
3．（2024 天津期末）一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝12﹣4×（﹣3）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的两个实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．（2024 衡山县期末）设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．2024 B．2021 C．2023 D．2022
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】D
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2＝﹣a+2023，则a2+2a+b可化为2023+a+b，再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2023＝0的实数根，
∴a2+a﹣2023＝0，
∴a2＝﹣a+2023，
∴a2+2a+b＝﹣a+2023+2a+b＝2023+a+b，
∵a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝2023+（﹣1）＝2022．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了一元二次方程的解．
5．（2024 张家口一模）已知一元二次方程的两根分别为x1＝3，x2＝﹣4；则这个方程为（　　）
A．（x﹣3）（x+4）＝0 B．（x+3）（x﹣4）＝0
C．（x+3）（x+4）＝0 D．（x﹣3）（x﹣4）＝0
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】A
【分析】由根与系数的关系求得方程，再把方程右边分解因式即可．
【解答】解：∵方程两根分别为x1＝3，x2＝﹣4，
∴x1+x2＝3﹣4＝﹣1，x1x2＝﹣12，
∴方程为x2+x﹣12＝0．
把方程的右边分解因式得：（x+4）（x﹣3）＝0，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及分解因式法解一元二次方程，关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．两根之和是，两根之积为．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 瑶海区校级三模）关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 　　．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝12+4k＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝12+4k＞0，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（2024 椒江区校级模拟）对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 　3　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；实数的运算．
【专题】新定义；运算能力．
【答案】3．
【分析】分两种情况：当x≥﹣2时，当x＜﹣2时，然后按照定义新运算，进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当x≥﹣2时，
∵x （﹣2）＝10，
∴x2+x﹣2＝10，
x2+x﹣12＝0，
（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
x1＝﹣4（舍去），x2＝3，
当x＜﹣2时，
∵x （﹣2）＝10，
∴（﹣2）2+x﹣2＝10，
x＝8（舍去），
综上所述：x＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，实数的运算，理解定义新运算是解题的关键．
8．（2024 东港区二模）等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是　10或6或12　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；等腰三角形的性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当2是等腰三角形的腰时与当4是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可．
【解答】解：∵x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
解得：x＝2或x＝4，
∵等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，
∴当2是等腰三角形的腰时，2+2＝4，不能组成三角形，舍去；
当4是等腰三角形的腰时，2+4＞4，则这个三角形的周长为2+4+4＝10．
当边长为2的等边三角形，得出这个三角形的周长为2+2+2＝6．
当边长为4的等边三角形，得出这个三角形的周长为4+4+4＝12．
∴这个三角形的周长为10或6或12．
故答案为：10或6或12．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解法．解题的关键是注意分类讨论你思想的应用．解一元二次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．
9．（2024春 和平区校级月考）一个菱形的边长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 　　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】．
【分析】先解方程得出x1＝6，x2＝3，结合一条对角线长为6得出菱形的边长为6，利用勾股定理得出菱形的另一条对角线为，再由面积公式计算即可．
【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣6）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝6，x2＝3，
∵菱形一条对角线长为6，
∴菱形的边长为6，
∴菱形的另一条对角线为，
∴菱形的面积为，
故答案为：．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程、菱形的性质、勾股定理，通过解方程得到菱形的边长，再利用菱形的面积等于对角线的乘积得出结果．
10．（2024 灌云县二模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m取值范围是 　m＞1　．
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
【解答】解：根据方程没有实数根，得到Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4m＜0，
解得：m＞1．
故答案为：m＞1．
【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 新会区期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【考点】根的判别式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x 1＝a﹣2，求出即可；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
【解答】解：（1）设方程的另一个根为x，
则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x 1＝a﹣2，
解得：x，a，
即a，方程的另一个根为；
（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1 x2，要记牢公式，灵活运用．
12．（2024 东辽县期末）阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：①当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
②当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，
解得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2．
综上，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．
请参照例题解方程：x2﹣|x﹣3|﹣3＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；绝对值；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】原方程的根是x3＝﹣3，x4＝2．
【分析】仿照题干所给例题分类讨论：当x≥3时，去绝对值得到x2﹣x＝0，利用因式分解求解；当x＜3时，原方程化为x2+x﹣6＝0，利用因式分解法求解．
【解答】解：①当x≥3时，
原方程可化为x2﹣（x﹣3）﹣3＝0，
解得x1＝0（不符合题意，舍去），x2＝1（不符合题意，舍去）；
②当x＜3时，原方程可化为x2+x﹣3﹣3＝0，
解得x3＝﹣3，x4＝2．
综上所述，原方程的根是x3＝﹣3，x4＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
13．（2024 石家庄一模）下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程，请认真阅读并完成任务．
2x2﹣3x﹣5＝0
解：x第一步
第二步
第三步
第四步
x1，x2＝﹣1第五步
（1）任务一：①小颖解方程的方法是 　B　．
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
②第二步变形的依据是 　等式的基本性质　；
（2）任务二：请你按要求解下列方程：
①x2+2x﹣3＝0；（公式法）②3（x﹣2）2＝x2﹣4．（因式分解法）
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）①B；
②等式的基本性质；
（2）①x1＝1，x2＝﹣3；
②x1＝2，x2＝4．
【分析】（1）①利用配方法解方程的方法可以判断；
②根据等边的基本性质求解；
（2）①先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
②先把方程变形为3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）①小颖解方程的方法为配方法；
故答案为：B；
②第二步变形的依据是等式的基本性质；
故答案为：等式的基本性质；
（2）①x2+2x﹣3＝0，
a＝1，b＝2，c＝﹣3，
Δ＝22﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，
x1±2，
所以x1＝1，x2＝﹣3；
②3（x﹣2）2＝x2﹣4，
3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣6﹣x﹣2）＝0，
x﹣2＝0或3x﹣6﹣x﹣2＝0，
所以x1＝2，x2＝4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．
14．（2024春 淮阴区校级月考）解下列方程：
（1）（x﹣1）2﹣25＝0；
（2）（5x﹣1）2＝3（5x﹣1）；
（3）x2﹣4x﹣3＝0；
（4）3x2+5x+1＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝6，x2＝﹣4；
（2）；
（3）；
（4），．
【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程；
（2）根据因式分解法解一元二次方程；
（3）根据配方法解一元二次方程；
（4）根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣25＝0，
∴（x﹣1）2＝25，
∴x﹣1＝±5，
解得x1＝6，x2＝﹣4；
（2）（5x﹣1）2＝3（5x﹣1），
∴（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）＝0，
∴（5x﹣1）（5x﹣1﹣3）＝0，
∴5x﹣1＝0或5x﹣4＝0，
解得；
（3）x2﹣4x﹣3＝0，
x2﹣4x＝3，
x2﹣4x+4＝3+4，
（x﹣2）2＝7，
x﹣2＝±，
解得；
（4）3x2+5x+1＝0，
∴a＝3，b＝5，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝25﹣12＝13，
∴，
解得，．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法，公式法及配方法是解题的关键．
15．（2024 汶上县二模）已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根．
【考点】根的判别式；解一元二次方程﹣公式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0；
（2）在m的范围内，找到最小奇数，然后把m的值代入一元二次方程 （m+1）x2+2mx+m﹣3＝0中，再解出方程的解即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0 有两个不相等的实数根，
∴m+1≠0且Δ＞0．
∵Δ＝（2m）2﹣4（m+1）（m﹣3）＝4（2m+3），
∴2m+3＞0．
解得 m．
∴m的取值范围是 m且m≠﹣1．
（2）在m且m≠﹣1的范围内，最小奇数m为1．
此时，方程化为x2+x﹣1＝0．
∵Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，
∴．
∴方程的根为 ，．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，以及一元二次方程的解法，关键是掌握（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根．
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