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新课预习衔接 认识一元二次方程
一．选择题（共5小题）
1．（2024 阿荣旗期末）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．3（x+1）2＝2（x+1） B．
C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
2．（2024 龙泉驿区期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0
3．（2024春 淮北期末）将一元二次方程x（x﹣9）＝﹣3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（　　）
A．9，3 B．9，﹣3 C．﹣9，﹣3 D．﹣9，3
4．（2024春 大观区校级期末）已知x＝1是一元二次方程（2m+2）x2+x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．3或﹣1 C．3 D．﹣3或1
5．（2024 新化县期末）若一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根为x＝2，则a的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
二．填空题（共5小题）
6．（2024 新会区期末）写出以x1＝4为一个根的一个一元二次方程 　 　．
7．（2024 哈密市期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1＝0的一根为0，则m的值是　 　．
8．（2024 浦东新区期末）已知x＝3是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，那么m＝　 　．
9．（2024春 肇源县月考）方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 　 　．
10．（2024春 扶沟县期末）将一元二次方程（x﹣2）（2x+1）＝x2﹣4化为一般形式是 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 凉州区期末）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值．
12．（2024 樊城区校级月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝﹣1，且a，b满足，求a，b，c的值．
13．（2022秋 同心县期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
14．（2023春 鄞州区期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
15．（2024 呈贡区期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“方正方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣5x+2＝0是否为“方正方程”，请说明理由；
（2）已知关于x的一元二次方程5x2﹣bx+c＝0是“方正方程”，求b2﹣2c的最小值．
新课预习衔接 认识一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 阿荣旗期末）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．3（x+1）2＝2（x+1） B．
C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；符号意识．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A．该方程是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；
B．该方程是分式方程，故本选项不符合题意；
C．ax2+bx+c＝0，a＝0，b≠0时是一元一次方程，故本选项不符合题意，；
D．该方程整理可得2x+1＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2．（2024 龙泉驿区期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
【解答】解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程，选项A不符合题意；
B．方程x2+3是分式方程，选项B不符合题意；
C．方程x2﹣2y+4＝0是二元二次方程，选项C不符合题意；
D．方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
3．（2024春 淮北期末）将一元二次方程x（x﹣9）＝﹣3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（　　）
A．9，3 B．9，﹣3 C．﹣9，﹣3 D．﹣9，3
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】D
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再根据方程的特点得出一次项系数和常数项即可．
【解答】解：x（x﹣9）＝﹣3，
x2﹣9x+3＝0，
所以一次项系数、常数项分别为﹣9、3，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，把方程换成一般形式是解此题的关键，注意：说各个项的系数带着前面的符号．
4．（2024春 大观区校级期末）已知x＝1是一元二次方程（2m+2）x2+x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．3或﹣1 C．3 D．﹣3或1
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】首先把x＝1代入（2m+2）x2+x﹣m2＝0解方程可得m1＝3，m2＝﹣1，再结合一元二次方程定义可得m的值．
【解答】解：把x＝1代入（2m+2）x2+x﹣m2＝0得，
2m+2+1﹣m2＝0，
m2﹣2m﹣3＝0，
解得：m1＝3，m2＝﹣1，
∵（2m+2）x2+x﹣m2＝0，
∴2m+2≠0，
∴m≠﹣1，
∴m＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解及定义和解一元二次方程，正确理解定义及熟练掌握解方程是解题的关键．
5．（2024 新化县期末）若一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根为x＝2，则a的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】转化成解a的一元一次方程求解．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0可得4﹣6+a＝0，
解得a＝2，
故选：A．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 新会区期末）写出以x1＝4为一个根的一个一元二次方程 　x2﹣4x＝0（答案不唯一）　．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x2﹣4x＝0（答案不唯一）．
【分析】根据一元二次方程解的定义，以及一元二次方程的定义即可求解．
【解答】解：依题意得x2﹣4x＝0，
解得x1＝4，x2＝0，
故答案为：x2﹣4x＝0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
7．（2024 哈密市期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1＝0的一根为0，则m的值是　﹣1　．
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值．
【解答】解：把x＝0代入方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1＝0得到m2﹣1＝0，
解得：m＝±1，
∵m﹣1≠0
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解的定义，解题的关键是正确的代入求解，属于基础题型．
8．（2024 浦东新区期末）已知x＝3是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，那么m＝　﹣3　．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】将x＝3代入原方程即可求出m的值．
【解答】解：将x＝3代入x2﹣2x+m＝0，
∴9﹣6+m＝0，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．
9．（2024春 肇源县月考）方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 　2　．
【考点】一元二次方程的定义；绝对值．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2．．
【分析】根据一元二次方程的定义得出m+2≠0且|m|＝2，再求出m即可．
【解答】解：∵方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，
∴m+2≠0且|m|＝2，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出m+2≠0和|m|＝2是解此题的关键．
10．（2024春 扶沟县期末）将一元二次方程（x﹣2）（2x+1）＝x2﹣4化为一般形式是 　x2﹣3x+2＝0　．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x2﹣3x+2＝0．
【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再根据一元二次方程的一般形式解答即可．
【解答】解：（x﹣2）（2x+1）＝x2﹣4，
则2x2﹣4x+x﹣2＝x2﹣4，
整理得：x2﹣3x+2＝0，
故答案为：x2﹣3x+2＝0．
【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 凉州区期末）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2a2﹣7a﹣1＝0，则2a2﹣7a＝1，再把a（2a﹣7）+5变形为2a2﹣7a+5，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，
∴2a2﹣7a﹣1＝0，
∴2a2﹣7a＝1，
∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．
【点评】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
12．（2024 樊城区校级月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝﹣1，且a，b满足，求a，b，c的值．
【考点】一元二次方程的解；二次根式有意义的条件；一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5．
【分析】由二次根式有意义的条件可得a，进而可求b；将x＝﹣1代入方程即可求c．
【解答】解：由题意得：a﹣3≥0，3﹣a≥0，
∴a＝3，
∴，
故方程为：3x2﹣2x+c＝0，
将x＝﹣1代入方程得：3+2+c＝0，
∴c＝﹣5．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程的解．确定a的值是解题关键．
13．（2022秋 同心县期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
【考点】一元二次方程的一般形式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用常数项为0，进而得出关于m的等式进而得出答案；
（2）利用（1）中所求得出方程的解．
【解答】解：（1）由题意，得：m2﹣3m+2＝0
解之，得m＝2或m＝1①，
由m﹣1≠0，得：m≠1②，
由①，②得：m＝2；
（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，
得x2+5x＝0，
x（x+5）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键．
14．（2023春 鄞州区期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【考点】一元二次方程的定义；等边三角形的性质．
【专题】一元二次方程及应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）等腰三角形；
（2）x1＝0，x2＝1．
【分析】（1）把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得ca+c﹣2b+a﹣c＝0，整理后根据等腰三角形的判定判断即可；
（2）根据等边三角形的性质得出a＝b＝c，代入方程，即可得出x2﹣x＝0，再解方程即可．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴2a＝2b，
∴a＝b，
∴△ABC的形状是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，
∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，
即x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的判定，等边三角形的性质等知识点，能理解一元二方程的解的定义是解（1）的关键，能根据等边三角形的性质得出a＝b＝c是解（2）的关键．
15．（2024 呈贡区期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“方正方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣5x+2＝0是否为“方正方程”，请说明理由；
（2）已知关于x的一元二次方程5x2﹣bx+c＝0是“方正方程”，求b2﹣2c的最小值．
【考点】一元二次方程的解；非负数的性质：偶次方．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）是，理由见解析；
（2）9．
【分析】（1）先把x＝1代入3x2﹣5x+2＝0，判断是否是方程3x2﹣5x+2＝0的根，然后根据已知条件中的定义进行判断即可；
（2）根据定义，把x＝1代入5x2﹣bx+c＝0，从而得出b＝5+c，然后等式两边同时平方，把b的平方用含有c的式子表示出来，求出其最小值即可．
【解答】解：（1）该方程是“方正方程”，理由如下：
把x＝1代入3x2﹣5x+2＝0得，
左边＝3×12﹣5×1+2＝3×1﹣5+2＝0，右边＝0，
∵左边＝右边，
∴x＝1是3x2﹣5x+2＝0的根，
∴方程3x2﹣5x+2＝0是“方正方程”；
（2）由题意得：5﹣b+c＝0，b＝5+c，
b2﹣2c＝（5+c）2﹣2c，
＝c2+8c+25
＝（c+4）2+9
∵（c+4）2≥0，
∴（c+4）2+9≥9
∴b2﹣2c的最小值为9．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是理解已知条件中的新定义并解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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