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新课预习衔接 矩形的性质与判定
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 河东区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADB＝25°，那么∠AOB的度数为（　　）
A．50° B．45° C．40° D．35°
2．（2024 东西湖区校级模拟）如图，矩形ABCD中，BD＝2，AB在x轴上．且点A的横坐标为﹣1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（　　）
A．（2，0） B．（ 21，0） C．（ 21，0） D．（2，0）
3．（2024 临清市二模）如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，AD长为半径画弧交CB的延长线于E；过点D作DF∥AE交BC于点F，连接AF．AB＝4，AD＝5，则AF的长是（　　）
A． B． C．3 D．
4．（2024 永昌县三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．对角线AC，BD相交于点O．点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（2024 徐汇区三模）已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（　　）
A．如果AB＝CD，AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形
B．如果AB∥CD，OA＝OB，那么四边形ABCD是矩形
C．如果AD＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形
D．如果OA＝OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 沐川县期末）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是　 　．
7．（2024春 惠州期末）如图，在矩形ABCD中，P、Q分别是BC、DC上的点，E、F分别是AP、PQ的中点．BC＝12，DQ＝5，在点P从B移动到C（点Q不动）的过程中，则线段EF＝　 　．
8．（2024 民勤县三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，点F为DE的中点，连结BF．若AB＝10，则BF的长为 　 　．
9．（2024 凉山州模拟）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是 　 　．
10．（2024 二道区校级期末）如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 顺河区一模）如图，在矩形ABCO中，延长AO到D，使DO＝AO，延长CO到E，使EO＝CO，连接AE、ED、DC、AC．
（1）求证：四边形AEDC是菱形；
（2）连接EB，若AE＝4，∠AED＝60°，求EB的长．
12．（2024 梅县区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作BD的平行线交AB的延长线于点E．
（1）求证：AC＝CE．
（2）若∠BOC＝120°，CE＝4，求AB的长．
13．（2024春 罗定市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．
求证：四边形ADCE是矩形．
14．（2024 乌鲁木齐模拟）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积．
15．（2024 杜尔伯特县一模）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．
新课预习衔接 矩形的性质与判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 河东区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADB＝25°，那么∠AOB的度数为（　　）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【考点】矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据矩形的性质证得OA＝OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OAAC，ODBD，AC＝BD，
∴OA＝OD，
∵∠ADB＝25°，
∴∠OAD＝∠ODA＝25°，
∴∠AOB＝∠OAD+∠ODA＝50°．
故选：A．
【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2．（2024 东西湖区校级模拟）如图，矩形ABCD中，BD＝2，AB在x轴上．且点A的横坐标为﹣1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（　　）
A．（2，0） B．（ 21，0） C．（ 21，0） D．（2，0）
【考点】矩形的性质；坐标与图形性质；勾股定理．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】C
【分析】根据矩形的性质得出BD＝AC＝2，由题意可知：AM＝AC＝2，再根据点A坐标进而可以解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝2，
由题意可知：AM＝AC＝2，
∵OA＝|﹣1|＝1，
∴OM＝AM﹣OA＝21，
∴点M的坐标为（21，0），
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，能求出AM的长度是解此题的关键．
3．（2024 临清市二模）如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，AD长为半径画弧交CB的延长线于E；过点D作DF∥AE交BC于点F，连接AF．AB＝4，AD＝5，则AF的长是（　　）
A． B． C．3 D．
【考点】矩形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由矩形的性质得AD∥BC，∠ABC＝90°，则∠ABE＝90°，再证明四边形ADFE是平行四边形，由作图得AE＝AD＝5，则四边形ADFE是菱形，所以FE＝AE＝5，则BE3，可求得BF＝2，则AF2，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝5，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∵DF∥AE，AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
由作图得AE＝AD＝5，
∴四边形ADFE是菱形，
∴FE＝AE＝5，
∵BE3，
∴BF＝FE﹣BE＝5﹣3＝2，
∴AF2，
故选：A．
【点评】此题重点考查矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理等知识，证明四边形ADFE是菱形是解题的关键．
4．（2024 永昌县三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．对角线AC，BD相交于点O．点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】矩形的性质；三角形中位线定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】因为四边形ABCD是矩形，所以AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC，在Rt△BAD中，可得BD＝10，推出OD＝OA＝OB＝5，因为E．F分别是AO．AD中点，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC，
在Rt△BAD中，∵BD10，
∴OD＝OA＝OB＝5，
∵E．F分别是AO，AD中点，
∴EFOD，AE，AF＝4，
∴△AEF的周长为9，
故选：D．
【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
5．（2024 徐汇区三模）已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（　　）
A．如果AB＝CD，AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形
B．如果AB∥CD，OA＝OB，那么四边形ABCD是矩形
C．如果AD＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形
D．如果OA＝OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形
【考点】矩形的判定；菱形的判定．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据矩形和菱形的判定定理进行判断即可．
【解答】解：A、如果AB＝CD，AC＝BD，那么四边形ABCD是等腰梯形，不一定矩形，符合题意；
B、如果AD∥BC，OA＝OB，则四边形ABCD是平行四边形，又AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形；不符合题意；
C、如果AD∥BC，AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形；不符合题意；
D、如果AD∥BC，OA＝OC，则四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形；不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了矩形的判定和菱形的判定，关键是熟练掌握矩形和菱形的判定定理．
二．填空题（共5小题）
6．（2024春 沐川县期末）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是　　．
【考点】矩形的性质；坐标与图形性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理求出OB，根据矩形的性质得出AC＝OB，即可得出答案．
【解答】解：连接OB，过B作BM⊥x轴于M，
∵点B的坐标是（1，3），
∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理得：OB，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC＝OB，
∴AC
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出AC＝OB是解此题的关键．
7．（2024春 惠州期末）如图，在矩形ABCD中，P、Q分别是BC、DC上的点，E、F分别是AP、PQ的中点．BC＝12，DQ＝5，在点P从B移动到C（点Q不动）的过程中，则线段EF＝　6.5　．
【考点】矩形的性质；三角形中位线定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】因为Q点不动，所以AQ不变．根据中位线定理，可得EF的长．
【解答】解：连接AQ．
∵E、F分别是AP、QP的中点，
则EF为△APR的中位线，
∴EFAQ6.5，
故答案为：6.5．
【点评】本题考查矩形的性质及三角形中位线定理，难度适中，根据中位线定理得出EFAQ是解题的突破口．
8．（2024 民勤县三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，点F为DE的中点，连结BF．若AB＝10，则BF的长为 　2.5　．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度，结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BFCD．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，
∵CD为中线，
∴CDAB＝5．
∵F为DE中点，BE＝BC，
∴点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，
∴BFCD＝2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
9．（2024 凉山州模拟）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是 　3　．
【考点】矩形的性质；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OEAB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．
【解答】解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD，
∵AB＝6，点E是AB的中点，∠AOB＝90°，
∴AE＝BE＝3＝OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°，
∴DE，
∵OD≤OE+DE，
∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大．
∴点D到点O的最大距离＝OE+DE＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．
10．（2024 二道区校级期末）如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为 　　．
【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短；菱形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】连接OE，作OH⊥CD于点H，由菱形的性质得AC⊥BD，OCAC＝12，ODBD＝5，则CD13，由13OH12×5＝S△COD，求得OH，再证明四边形OGEF是矩形，则OE＝FG，由OE≥OH，得FG，则FG的最小值为，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OE，作OH⊥CD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，
∴AC⊥BD，OC＝OAAC＝12，OD＝OBBD＝5，
∴∠COD＝90°，
∴CD13，
∵CD OHOC OD＝S△COD，
∴13OH12×5，
解得OH，
∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，
∴∠OFE＝∠OGE＝∠FOG＝90°，
∴四边形OGEF是矩形，
∴OE＝FG，
∴OE≥OH，
∵FG，
∴FG的最小值为，
故答案为：．
【点评】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 顺河区一模）如图，在矩形ABCO中，延长AO到D，使DO＝AO，延长CO到E，使EO＝CO，连接AE、ED、DC、AC．
（1）求证：四边形AEDC是菱形；
（2）连接EB，若AE＝4，∠AED＝60°，求EB的长．
【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）根据矩形的性质得到AD⊥EC，再根据DO＝AO，EO＝CO，即可求证；
（2）先通过菱形的性质及勾股定理求解到EC的长，再通过勾股定理即可求出EB的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCO是矩形，
∴∠AOC＝90°，
∴AO⊥OC，即AD⊥EC，
∵DO＝AO，EO＝CO，
∴四边形AEDC是平行四边形，
∴平行四边形AEDC是菱形．
（2）解：连接EB，如图：
∵四边形AEDC是菱形，∠AED＝60°，
∴∠AEO＝30°，
∵∠AOE＝90°，AE＝4，
∴，
∴，
∴，
∵四边形ABCO是矩形，
∴BC＝OA＝2，∠BCE＝90°，
∴．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
12．（2024 梅县区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作BD的平行线交AB的延长线于点E．
（1）求证：AC＝CE．
（2）若∠BOC＝120°，CE＝4，求AB的长．
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）2．
【分析】（1）可证四边形BDCE是平行四边形以此求证；
（2）利用直角三角形30度角的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AC＝BD，
∴BE∥CD．
∵BD∥CE，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∴BD＝CE，
∴AC＝CE．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，∠ABC＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝60°．
∴∠ACB＝30°，
∵CE＝4，
∴AC＝CE＝4，
∴AB＝2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、矩形的相关性质．熟记掌握矩形的性质是解答本题的关键．
13．（2024春 罗定市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．
求证：四边形ADCE是矩形．
【考点】矩形的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】证明见解析．
【分析】先证四边形ADCE是平行四边形，再由等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADC＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AE＝BD，
∵D为BC中点，
∴CD＝BD，
∴CD∥AE，CD＝AE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的性质，证出四边形ADCE为平行四边形是解题的关键．
14．（2024 乌鲁木齐模拟）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积．
【考点】矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由在平行四边形ABCD中，得到DF∥EB，AB＝CD，由CF＝AE，可得DF＝BE，根据矩形的判定即可求证．
（2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得AD＝FD＝5，由勾股定理可求出DE＝4，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，AB＝CD，
又∵CF＝AE，
∴DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形．
（2）解：∵AF平分∠DAB，DC∥AB，
∴∠DAF＝∠FAB，∠DFA＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠DFA，
∵DF＝5，
∴AD＝FD＝5，
∵AE＝CF＝3，DE⊥AB，
∴，
∴矩形BFDE的面积是：DF DE＝5×4＝20．
【点评】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键．
15．（2024 杜尔伯特县一模）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．
【考点】矩形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由条件可证得四边形CODE为平行四边形，再由菱形的性质可求得∠COD＝90°，则可证得四边形CODE为矩形；
（2）首先推知△ABC是等边三角形，所以AC＝4，则OCAC＝2，根据勾股定理知OD2，结合矩形的面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形．
（2）解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，
∴AB＝BC＝CD＝4．
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝4，
∴OCAC＝2，
∴OD2，
∴矩形OCED的面积是22＝4．
【点评】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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