资源简介 高考真题衍生卷·命题区间61.D [结合函数图象可知,当x0,函数单调递增,当ag′(x),此时y′=g′(x)-f ′(x)<0,函数单调递减;当00,函数单调递增;当x>b时,f ′(x)>g′(x),此时y′=g′(x)-f ′(x)<0,函数单调递减.故函数在x=a,x=b处取得极大值,在x=0处取得极小值.故选D.]2.CD [由题意可得f (x)的定义域为(0,+∞),因为f (1)=-1,所以-ae+b=-1,A错误;则b=ae-1,所以ab=ea2-a,B错误;由函数f (x)有两个极值点,可知f ′(x)=1+ln x-aex=0,即a=有两个不相等的实数根.设g(x)=,则g′(x)=,令g′(x)>0得0令g′(x)<0得x>1,此时g(x)单调递减,所以g(x)在x=1处取得极大值,即极大值为g(1)=,又x→0时,g(x)→-∞;x→+∞时,g(x)→0,可得g(x)的图象如图所示,欲使y=a与y=g(x)图象有两个交点,只需0因为ab=ea2-a,当a∈时,由二次函数的性质,得-≤ab<0,D正确.故选CD.]3.ACD [对A选项,因为函数f (x)的定义域为R,而f ′(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3),易知当x∈(1,3)时,f ′(x)<0,当x∈(-∞,1)或x∈(3,+∞)时,f ′(x)>0,所以函数f (x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,所以x=3是函数f (x)的极小值点,故A正确;对B选项,当00,所以1>x>x2>0,由A选项可知,函数f (x)在(0,1)上单调递增,所以f (x)>f (x2),故B错误;对C选项,当1所以f (1)>f (2x-1)>f (3),即-4对D选项,当-10,所以f (2-x)>f (x),故D正确.故选ACD.]4.BD [f ′(x)=2ae2x-bex+c,因为f (x)既有极大值也有极小值,所以f ′(x)=0有两个不相等的根,令ex=t,t∈(0,+∞),此时2at2-bt+c=0有两个不相等的正根,所以即b2>8ac,且a,b,c同号,所以A错误,B,D正确;,C错误.故选BD.]5.解:(1)因为f (x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,所以f ′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex,f ′(1)=(1-a)e.由题设知f ′(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此时f (1)=3e≠0.所以a的值为1.(2)由(1)得f ′(x)=(ax-1)(x-2)ex.若a>,则当x∈时,f ′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f ′(x)>0.所以f (x)在x=2处取得极小值.若a≤,则当x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤x-1<0,f ′(x)>0.所以x=2不是f (x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是.6.B [因为函数f 的定义域为(0,+∞),所以依题可知,f (1)=-2,f ′(1)=0,而f ′(x)=,所以b=-2,a-b=0,即a=-2,b=-2,所以f ′(x)=,因此函数f (x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,当x=1时取最大值,满足题意,即有f ′(2)=-1+.故选B.]7.D [因为f (x)=2x3-6x2+m,所以f ′(x)=6x2-12x=6x(x-2),可以得到函数在[-2,0]上单调递增,在[0,2]上单调递减,所以当x=0时,f (x)=m为最大值,所以m=3,即f (x)=2x3-6x2+3,所以f (-2)=2×(-8)-6×4+3=-37,f (2)=-5,所以最小值是-37.故选D.]8.AD [由题意可得T=2π是f (x)=2sin x+sin 2x的一个周期,故只需考虑f (x)=2sin x+sin 2x在[0,2π]上的值域.因为f (x)=2sin x+sin 2x,所以f ′(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1)=2(2cosx-1)(cos x+1).令f ′(x)=0,解得cos x=或cos x=-1,解得x=,π或,所以f (x)=2sin x+sin 2x的最值只能在x=,π或和端点x=0,x=2π中取到,计算可得f ,f (π)=0,,f (0)=0,f (2π)=0.故选AD.]9.解:(1)f ′(x)=,令f ′(x)=0,则x=.由已知,ax>0,若a>0,则x>0,当00,函数f (x)单调递增;当x>时,f ′(x)<0,函数f (x)单调递减,则当x=时,f (x)取得最大值f .若a<0,则x<0,当x<时,f ′(x)<0,函数f (x)单调递减;当0,函数f (x)单调递增,此时f (x)无最大值,所以a>0,且x>0,f (x)max=.g′(x)=,令g′(x)=0,则x=.当x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;当x∈时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减,所以当x=时,g(x)取得最大值.依题意得,又a>0,所以a=1.(2)证明:由(1)可知f (x)=和g(x)=.函数f (x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且f (x)max=.函数g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,且g(x)max=.作出两函数大致图象如图所示,因为直线y=b与曲线y=f (x),y=g(x)共有三个不同的交点,则直线y=b一定过两函数图象的交点B,设另外两个交点为A,C,设A,B,C三点横坐标分别为x1,x2,x3,则.结合图象可知0e,即,所以=x2,即x1=ln x2.又,所以=x3,所以x1x3==(bx2)·,所以x1,x2,x3成等比数列,即从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.10.解:(1)当k=1时,f (x)=ln x+,f ′(x)=,当0当x>1时,f ′(x)>0,f (x)单调递增,故f (x)有最小值f (1)=1,无最大值.(2)由f (x)=ln x++1-k,得f ′(x)=,当x>1时,f (x)>0恒成立,即只要f (x)min>0即可.①若k≤1,则f ′(x)=>0恒成立,f (x)在(1,+∞)上单调递增,f (x)min>f (1)=1>0,满足题意;②当k>1时,f (x)在(1,k)上单调递减,在(k,+∞)上单调递增,f (x)min=f (k)=ln k+2-k>0,令g(x)=ln x-x+2(x>1),则g′(x)=<0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减,且g(3)=ln 3-1>0,g(4)=ln 4-2<0,所以存在x0∈(3,4)使得g(x0)=0,则g(x)=ln x-x+2>0的解集为(1,x0),综上,k的取值范围为(-∞,x0),其中x0∈(3,4).所以k的最大整数值为3.(3)证明:由(1)知,当k=1,x≥1时,f (x)=ln x+≥f (1)=1,即ln x+≥1,得ln x≥1-,令x=n2+n+1,n∈N*,得ln (n2+n+1)≥1-=1->1-=1-,故ln 3+ln 7+…+ln (n2+n+1)>n-=n-= (n∈N*).4/5命题区间6 函数的极值与最值(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分,解答题每小题13分,共78分)考向一 利用导数研究函数的极值1.(补偿题)已知函数f (x)和g(x)的导函数f ′(x),g′(x)图象分别如图所示,则关于函数y=g(x)-f (x)的判断正确的是( )[A]有3个极大值点[B]有3个极小值点[C]有1个极大值点和2个极小值点[D]有2个极大值点和1个极小值点2.(多选)(2023·新高考Ⅱ卷T11改编题)已知函数f (x)=x ln x-aex+b有两个极值点,且f (1)=-1,则( )[A]ae+b=-1 [B]ab=e2a-a[C]03.(多选)(2024·新高考Ⅰ卷T10)设函数f (x)=(x-1)2(x-4),则( )[A]x=3是f (x)的极小值点[B]当0[C]当1[D]当-1f (x)4.(多选)(2023·新高考Ⅱ卷T11子母题)若函数f (x)=ae2x-bex+cx在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,则( )[A]ac<0 [B]b2>8ac=- [D]ab>05.(13分)(2024·新高考Ⅱ卷T16姊妹题)已知函数f (x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.(1)若曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线与x轴平行,求a;(2)若f (x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.考向二 利用导数研究最值问题6.(2022·全国甲卷理T6)当x=1时,函数f (x)=a ln x+取得最大值-2,则f ′(2)=( )[A]-1 [B]-[C] [D]17.(补偿题)已知函数f (x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值为3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为( )[A]0 [B]-5[C]-10 [D]-378.(多选)(2022·全国乙卷文T11子母题)已知函数f (x)=2sin x+sin 2x,则( )[A]f (x)的最小值是- [B]f (x)的最小值是-[C]f (x)的最大值是 [D]f (x)的最大值是9.(13分)(2022·新高考Ⅰ卷T22子母题)已知函数f (x)=和g(x)=有相同的最大值.(1)求a;(2)证明:存在直线y=b与两条曲线y=f (x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.10.(13分)(2022·新高考Ⅱ卷T22姊妹题)已知函数f (x)=ln x++1-k,k∈R.(1)当k=1时,求f (x)的最值;(2)若f (x)>0对任意的x>1恒成立,求k的最大整数值;(3)证明:ln 3+ln 7+…+ln (n2+n+1)>(n∈N*).3/3 展开更多...... 收起↑ 资源列表 命题区间6 参考答案与精析.docx 高考真题衍生卷 命题区间6函数的极值与最值--《高考快车道》2026版高考数学高考母题必读及衍生.docx