高考真题衍生卷 命题区间6函数的极值与最值--《高考快车道》2026版高考数学高考母题必读及衍生

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高考真题衍生卷 命题区间6函数的极值与最值--《高考快车道》2026版高考数学高考母题必读及衍生

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高考真题衍生卷·命题区间6
1.D [结合函数图象可知,当x0,函数单调递增,
当ag′(x),此时y′=g′(x)-f ′(x)<0,函数单调递减;
当00,函数单调递增;
当x>b时,f ′(x)>g′(x),此时y′=g′(x)-f ′(x)<0,函数单调递减.
故函数在x=a,x=b处取得极大值,在x=0处取得极小值.故选D.]
2.CD [由题意可得f (x)的定义域为(0,+∞),
因为f (1)=-1,所以-ae+b=-1,A错误;
则b=ae-1,所以ab=ea2-a,B错误;
由函数f (x)有两个极值点,
可知f ′(x)=1+ln x-aex=0,
即a=有两个不相等的实数根.
设g(x)=,则g′(x)=,
令g′(x)>0得0令g′(x)<0得x>1,此时g(x)单调递减,
所以g(x)在x=1处取得极大值,
即极大值为g(1)=,
又x→0时,g(x)→-∞;
x→+∞时,g(x)→0,
可得g(x)的图象如图所示,
欲使y=a与y=g(x)图象有两个交点,只需0因为ab=ea2-a,当a∈时,由二次函数的性质,得-≤ab<0,D正确.故选CD.]
3.ACD [对A选项,因为函数f (x)的定义域为R,而f ′(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3),
易知当x∈(1,3)时,f ′(x)<0,当x∈(-∞,1)或x∈(3,+∞)时,f ′(x)>0,
所以函数f (x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,所以x=3是函数f (x)的极小值点,故A正确;
对B选项,当00,所以1>x>x2>0,
由A选项可知,函数f (x)在(0,1)上单调递增,所以f (x)>f (x2),故B错误;
对C选项,当1所以f (1)>f (2x-1)>f (3),即-4对D选项,当-10,
所以f (2-x)>f (x),故D正确.故选ACD.]
4.BD [f ′(x)=2ae2x-bex+c,
因为f (x)既有极大值也有极小值,
所以f ′(x)=0有两个不相等的根,
令ex=t,t∈(0,+∞),此时2at2-bt+c=0有两个不相等的正根,
所以即b2>8ac,且a,b,c同号,
所以A错误,B,D正确;
,C错误.故选BD.]
5.解:(1)因为f (x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,所以f ′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex,f ′(1)=(1-a)e.
由题设知f ′(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此时f (1)=3e≠0.所以a的值为1.
(2)由(1)得f ′(x)=(ax-1)(x-2)ex.
若a>,则当x∈时,f ′(x)<0;
当x∈(2,+∞)时,f ′(x)>0.
所以f (x)在x=2处取得极小值.
若a≤,则当x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤x-1<0,f ′(x)>0.
所以x=2不是f (x)的极小值点.
综上可知,a的取值范围是.
6.B [因为函数f 的定义域为(0,+∞),所以依题可知,f (1)=-2,f ′(1)=0,而f ′(x)=,所以b=-2,a-b=0,即a=-2,b=-2,所以f ′(x)=,因此函数f (x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,当x=1时取最大值,满足题意,即有f ′(2)=-1+.故选B.]
7.D [因为f (x)=2x3-6x2+m,所以f ′(x)=6x2-12x=6x(x-2),可以得到函数在[-2,0]上单调递增,在[0,2]上单调递减,所以当x=0时,f (x)=m为最大值,所以m=3,即f (x)=2x3-6x2+3,所以f (-2)=2×(-8)-6×4+3=-37,f (2)=-5,所以最小值是-37.故选D.]
8.AD [由题意可得T=2π是f (x)=2sin x+sin 2x的一个周期,故只需考虑f (x)=2sin x+sin 2x在[0,2π]上的值域.
因为f (x)=2sin x+sin 2x,
所以f ′(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1)=2(2cosx-1)(cos x+1).
令f ′(x)=0,解得cos x=或cos x=-1,解得x=,π或,
所以f (x)=2sin x+sin 2x的最值只能在x=,π或和端点x=0,x=2π中取到,计算可得f ,f (π)=0,,f (0)=0,f (2π)=0.
故选AD.]
9.解:(1)f ′(x)=,
令f ′(x)=0,则x=.
由已知,ax>0,
若a>0,则x>0,
当00,函数f (x)单调递增;
当x>时,f ′(x)<0,函数f (x)单调递减,则当x=时,f (x)取得最大值f .
若a<0,则x<0,
当x<时,f ′(x)<0,函数f (x)单调递减;
0,函数f (x)单调递增,
此时f (x)无最大值,
所以a>0,且x>0,f (x)max=.
g′(x)=,令g′(x)=0,则x=.
当x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;
当x∈时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减,
所以当x=时,g(x)取得最大值.
依题意得,又a>0,所以a=1.
(2)证明:由(1)可知f (x)=和g(x)=.
函数f (x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且f (x)max=.
函数g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,且g(x)max=.
作出两函数大致图象如图所示,
因为直线y=b与曲线y=f (x),y=g(x)共有三个不同的交点,
则直线y=b一定过两函数图象的交点B,
设另外两个交点为A,C,设A,B,C三点横坐标分别为x1,x2,x3,
则.
结合图象可知0e,
即,
所以=x2,即x1=ln x2.
又,
所以=x3,
所以x1x3==(bx2)·,
所以x1,x2,x3成等比数列,
即从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
10.解:(1)当k=1时,f (x)=ln x+,f ′(x)=,
当0当x>1时,f ′(x)>0,f (x)单调递增,
故f (x)有最小值f (1)=1,无最大值.
(2)由f (x)=ln x++1-k,得f ′(x)=,
当x>1时,f (x)>0恒成立,即只要f (x)min>0即可.
①若k≤1,则f ′(x)=>0恒成立,
f (x)在(1,+∞)上单调递增,f (x)min>f (1)=1>0,满足题意;
②当k>1时,f (x)在(1,k)上单调递减,在(k,+∞)上单调递增,
f (x)min=f (k)=ln k+2-k>0,
令g(x)=ln x-x+2(x>1),则g′(x)=<0,
所以g(x)在(1,+∞)上单调递减,且g(3)=ln 3-1>0,g(4)=ln 4-2<0,
所以存在x0∈(3,4)使得g(x0)=0,则g(x)=ln x-x+2>0的解集为(1,x0),
综上,k的取值范围为(-∞,x0),其中x0∈(3,4).
所以k的最大整数值为3.
(3)证明:由(1)知,当k=1,x≥1时,
f (x)=ln x+≥f (1)=1,
即ln x+≥1,得ln x≥1-,
令x=n2+n+1,n∈N*,
得ln (n2+n+1)≥1-=1->1-=1-,
故ln 3+ln 7+…+ln (n2+n+1)>n-=n-= (n∈N*).
4/5命题区间6 函数的极值与最值
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分,解答题每小题13分,共78分)
考向一 利用导数研究函数的极值
1.(补偿题)已知函数f (x)和g(x)的导函数f ′(x),g′(x)图象分别如图所示,则关于函数y=g(x)-f (x)的判断正确的是(  )
[A]有3个极大值点
[B]有3个极小值点
[C]有1个极大值点和2个极小值点
[D]有2个极大值点和1个极小值点
2.(多选)(2023·新高考Ⅱ卷T11改编题)已知函数f (x)=x ln x-aex+b有两个极值点,且f (1)=-1,则(  )
[A]ae+b=-1 [B]ab=e2a-a
[C]03.(多选)(2024·新高考Ⅰ卷T10)设函数f (x)=(x-1)2(x-4),则(  )
[A]x=3是f (x)的极小值点
[B]当0[C]当1[D]当-1f (x)
4.(多选)(2023·新高考Ⅱ卷T11子母题)若函数f (x)=ae2x-bex+cx在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,则(  )
[A]ac<0 [B]b2>8ac
=- [D]ab>0
5.(13分)(2024·新高考Ⅱ卷T16姊妹题)已知函数f (x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.
(1)若曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线与x轴平行,求a;
(2)若f (x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.
考向二 利用导数研究最值问题
6.(2022·全国甲卷理T6)当x=1时,函数f (x)=a ln x+取得最大值-2,则f ′(2)=(  )
[A]-1 [B]-
[C] [D]1
7.(补偿题)已知函数f (x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值为3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为(  )
[A]0 [B]-5
[C]-10 [D]-37
8.(多选)(2022·全国乙卷文T11子母题)已知函数f (x)=2sin x+sin 2x,则(  )
[A]f (x)的最小值是- [B]f (x)的最小值是-
[C]f (x)的最大值是 [D]f (x)的最大值是
9.(13分)(2022·新高考Ⅰ卷T22子母题)已知函数f (x)=和g(x)=有相同的最大值.
(1)求a;
(2)证明:存在直线y=b与两条曲线y=f (x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
10.(13分)(2022·新高考Ⅱ卷T22姊妹题)已知函数f (x)=ln x++1-k,k∈R.
(1)当k=1时,求f (x)的最值;
(2)若f (x)>0对任意的x>1恒成立,求k的最大整数值;
(3)证明:ln 3+ln 7+…+ln (n2+n+1)>(n∈N*).
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