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高考真题衍生卷·命题区间6
1．D　[结合函数图象可知，当x0，函数单调递增，
当ag′(x)，此时y′＝g′(x)－f ′(x)<0，函数单调递减；
当00，函数单调递增；
当x>b时，f ′(x)>g′(x)，此时y′＝g′(x)－f ′(x)<0，函数单调递减．
故函数在x＝a，x＝b处取得极大值，在x＝0处取得极小值．故选D.]
2．CD　[由题意可得f (x)的定义域为(0，＋∞)，
因为f (1)＝－1，所以－ae＋b＝－1，A错误；
则b＝ae－1，所以ab＝ea2－a，B错误；
由函数f (x)有两个极值点，
可知f ′(x)＝1＋ln x－aex＝0，
即a＝有两个不相等的实数根．
设g(x)＝，则g′(x)＝，
令g′(x)>0得0令g′(x)<0得x>1，此时g(x)单调递减，
所以g(x)在x＝1处取得极大值，
即极大值为g(1)＝，
又x→0时，g(x)→－∞；
x→＋∞时，g(x)→0，
可得g(x)的图象如图所示，
欲使y＝a与y＝g(x)图象有两个交点，只需0因为ab＝ea2－a，当a∈时，由二次函数的性质，得－≤ab<0，D正确．故选CD.]
3．ACD　[对A选项，因为函数f (x)的定义域为R，而f ′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，
易知当x∈(1，3)时，f ′(x)<0，当x∈(－∞，1)或x∈(3，＋∞)时，f ′(x)>0，
所以函数f (x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，所以x＝3是函数f (x)的极小值点，故A正确；
对B选项，当00，所以1>x>x2>0，
由A选项可知，函数f (x)在(0，1)上单调递增，所以f (x)>f (x2)，故B错误；
对C选项，当1所以f (1)>f (2x－1)>f (3)，即－4对D选项，当－10，
所以f (2－x)>f (x)，故D正确．故选ACD.]
4．BD　[f ′(x)＝2ae2x－bex＋c，
因为f (x)既有极大值也有极小值，
所以f ′(x)＝0有两个不相等的根，
令ex＝t，t∈(0，＋∞)，此时2at2－bt＋c＝0有两个不相等的正根，
所以即b2>8ac，且a，b，c同号，
所以A错误，B，D正确；
，C错误．故选BD.]
5．解：(1)因为f (x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f ′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex，f ′(1)＝(1－a)e.
由题设知f ′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此时f (1)＝3e≠0.所以a的值为1.
(2)由(1)得f ′(x)＝(ax－1)(x－2)ex.
若a＞，则当x∈时，f ′(x)＜0；
当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)＞0.
所以f (x)在x＝2处取得极小值．
若a≤，则当x∈(0，2)时，x－2＜0，ax－1≤x－1＜0，f ′(x)＞0.
所以x＝2不是f (x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是.
6．B　[因为函数f 的定义域为(0，＋∞)，所以依题可知，f (1)＝－2，f ′(1)＝0，而f ′(x)＝，所以b＝－2，a－b＝0，即a＝－2，b＝－2，所以f ′(x)＝，因此函数f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，当x＝1时取最大值，满足题意，即有f ′(2)＝－1＋.故选B.]
7．D　[因为f (x)＝2x3－6x2＋m，所以f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，可以得到函数在[－2，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，所以当x＝0时，f (x)＝m为最大值，所以m＝3，即f (x)＝2x3－6x2＋3，所以f (－2)＝2×(－8)－6×4＋3＝－37，f (2)＝－5，所以最小值是－37.故选D.]
8．AD　[由题意可得T＝2π是f (x)＝2sin x＋sin 2x的一个周期，故只需考虑f (x)＝2sin x＋sin 2x在[0，2π]上的值域．
因为f (x)＝2sin x＋sin 2x，
所以f ′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)＝2(2cosx－1)(cos x＋1)．
令f ′(x)＝0，解得cos x＝或cos x＝－1，解得x＝，π或，
所以f (x)＝2sin x＋sin 2x的最值只能在x＝，π或和端点x＝0，x＝2π中取到，计算可得f ，f (π)＝0，，f (0)＝0，f (2π)＝0.
故选AD.]
9．解：(1)f ′(x)＝，
令f ′(x)＝0，则x＝.
由已知，ax>0，
若a>0，则x>0，
当00，函数f (x)单调递增；
当x>时，f ′(x)<0，函数f (x)单调递减，则当x＝时，f (x)取得最大值f .
若a<0，则x<0，
当x<时，f ′(x)<0，函数f (x)单调递减；
当0，函数f (x)单调递增，
此时f (x)无最大值，
所以a>0，且x>0，f (x)max＝.
g′(x)＝，令g′(x)＝0，则x＝.
当x∈时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；
当x∈时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，
所以当x＝时，g(x)取得最大值.
依题意得，又a>0，所以a＝1.
(2)证明：由(1)可知f (x)＝和g(x)＝.
函数f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且f (x)max＝.
函数g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，且g(x)max＝.
作出两函数大致图象如图所示，
因为直线y＝b与曲线y＝f (x)，y＝g(x)共有三个不同的交点，
则直线y＝b一定过两函数图象的交点B，
设另外两个交点为A，C，设A，B，C三点横坐标分别为x1，x2，x3，
则.
结合图象可知0e，
即，
所以＝x2，即x1＝ln x2.
又，
所以＝x3，
所以x1x3＝＝(bx2)·，
所以x1，x2，x3成等比数列，
即从左到右的三个交点的横坐标成等比数列．
10．解：(1)当k＝1时，f (x)＝ln x＋，f ′(x)＝，
当0当x>1时，f ′(x)>0，f (x)单调递增，
故f (x)有最小值f (1)＝1，无最大值．
(2)由f (x)＝ln x＋＋1－k，得f ′(x)＝，
当x>1时，f (x)>0恒成立，即只要f (x)min>0即可．
①若k≤1，则f ′(x)＝>0恒成立，
f (x)在(1，＋∞)上单调递增，f (x)min>f (1)＝1>0，满足题意；
②当k>1时，f (x)在(1，k)上单调递减，在(k，＋∞)上单调递增，
f (x)min＝f (k)＝ln k＋2－k>0，
令g(x)＝ln x－x＋2(x>1)，则g′(x)＝<0，
所以g(x)在(1，＋∞)上单调递减，且g(3)＝ln 3－1>0，g(4)＝ln 4－2<0，
所以存在x0∈(3，4)使得g(x0)＝0，则g(x)＝ln x－x＋2>0的解集为(1，x0)，
综上，k的取值范围为(－∞，x0)，其中x0∈(3，4)．
所以k的最大整数值为3.
(3)证明：由(1)知，当k＝1，x≥1时，
f (x)＝ln x＋≥f (1)＝1，
即ln x＋≥1，得ln x≥1－，
令x＝n2＋n＋1，n∈N*，
得ln (n2＋n＋1)≥1－＝1－>1－＝1－，
故ln 3＋ln 7＋…＋ln (n2＋n＋1)>n－＝n－＝ (n∈N*).
4/5命题区间6　函数的极值与最值
(单项选择题每小题5分，多项选择题每小题6分，解答题每小题13分，共78分)
考向一　利用导数研究函数的极值
1．(补偿题)已知函数f (x)和g(x)的导函数f ′(x)，g′(x)图象分别如图所示，则关于函数y＝g(x)－f (x)的判断正确的是(　　)
[A]有3个极大值点
[B]有3个极小值点
[C]有1个极大值点和2个极小值点
[D]有2个极大值点和1个极小值点
2．(多选)(2023·新高考Ⅱ卷T11改编题)已知函数f (x)＝x ln x－aex＋b有两个极值点，且f (1)＝－1，则(　　)
[A]ae＋b＝－1 [B]ab＝e2a－a
[C]03．(多选)(2024·新高考Ⅰ卷T10)设函数f (x)＝(x－1)2(x－4)，则(　　)
[A]x＝3是f (x)的极小值点
[B]当0[C]当1[D]当－1f (x)
4．(多选)(2023·新高考Ⅱ卷T11子母题)若函数f (x)＝ae2x－bex＋cx在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，则(　　)
[A]ac<0 [B]b2>8ac
＝－ [D]ab>0
5．(13分)(2024·新高考Ⅱ卷T16姊妹题)已知函数f (x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex．
(1)若曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线与x轴平行，求a；
(2)若f (x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．
考向二　利用导数研究最值问题
6．(2022·全国甲卷理T6)当x＝1时，函数f (x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f ′(2)＝(　　)
[A]－1 [B]－
[C] [D]1
7．(补偿题)已知函数f (x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值为3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为(　　)
[A]0 [B]－5
[C]－10 [D]－37
8．(多选)(2022·全国乙卷文T11子母题)已知函数f (x)＝2sin x＋sin 2x，则(　　)
[A]f (x)的最小值是－ [B]f (x)的最小值是－
[C]f (x)的最大值是 [D]f (x)的最大值是
9．(13分)(2022·新高考Ⅰ卷T22子母题)已知函数f (x)＝和g(x)＝有相同的最大值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线y＝b与两条曲线y＝f (x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列．
10．(13分)(2022·新高考Ⅱ卷T22姊妹题)已知函数f (x)＝ln x＋＋1－k，k∈R．
(1)当k＝1时，求f (x)的最值；
(2)若f (x)>0对任意的x>1恒成立，求k的最大整数值；
(3)证明：ln 3＋ln 7＋…＋ln (n2＋n＋1)>(n∈N*)．
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