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命题区间8　三角函数的图象与性质、平面向量
(单项选择题每小题5分，多项选择题每小题6分，填空题每小题5分，解答题每小题13分，共100分)
考向一　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式
1．(2023·全国乙卷文T14姊妹题)已知角α的终边经过点P(1，3)，则＝(　　)
[A] [B]
[C]－ [D]－
2．(2023·全国乙卷文T14子母题)已知tan θ＝，则＝(　　)
[A]6 [B]
[C] [D]2
3．(2023·全国乙卷文T14改编题)已知sinα＋cos α＝，则＝(　　)
[A]－ [B]
[C]－ [D]
考向二　三角函数的图象和性质
4．(2024·上海卷T14)下列函数中，最小正周期是2π的是(　　)
[A]y＝sin x＋cos x [B]y＝sin x cos x
[C]y＝sin2x＋cos2x [D]y＝sin2x－cos2x
5．(2024·北京卷T6)设函数f (x)＝sinωx(ω＞0)．已知f (x1)＝－1，f (x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　)
[A]1 [B]2
[C]3 [D]4
6．(2024·新高考Ⅰ卷T7子母题)当x∈[0，π]时，曲线f (x)＝cos x与g(x)＝cos 的交点个数为(　　)
[A]4 [B]5
[C]6 [D]7
7．(2024·天津卷T7改编)已知函数f (x)＝sin 3(ω＞0)的最小正周期为π，则f (x)在的最小值为(　　)
[A]－ [B]－
[C]0 [D]
8．(2024·新高考Ⅰ卷T7姊妹题)设函数f (x)＝cos (ωx＋φ)，|φ|＜，若 x∈R，都有f ＋f ＝0，且曲线y＝f (x)在一个周期内与直线y＝－有两个交点A，B，|AB|min＝，则f ＝(　　)
[A] [B]
[C]－ [D]－
9．(多选)(2024·新高考Ⅱ卷T9姊妹题)已知函数f (x)＝cos ，把y＝f (x)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，以下说法正确的是(　　)
[A]直线x＝是y＝f (x)图象的一条对称轴
[B]f (x)的单调递减区间为(k∈Z)
[C]y＝g(x)的图象关于原点对称
[D]f (x)＋g(x)的最大值为
10．(多选)(补偿题)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
[A]函数f (x)图象的对称轴方程为x＝4k－3(k∈Z)
[B]函数f (x)的单调递减区间为[8k－3，8k＋1](k∈Z)
[C]函数f (x)在区间[－π，0]上单调递增
[D]f (x)≥－1的解集为(k∈Z)
11．(2023·新高考Ⅰ卷T15)已知函数f (x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________．
考向三　平面向量
12．(2024·新高考Ⅰ卷T3)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　)
[A]－2 [B]－1
[C]1 [D]2
13．(2024·新高考Ⅰ卷T3子母题)若|a＋b|＝|a－b|，a＝(1，2)，b＝(m，3)，则实数m＝(　　)
[A]6 [B]－6
[C]3 [D]－3
14．(2023·北京卷T3)已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，则|a|2－|b|2＝(　　)
[A]－2 [B]－1
[C]0 [D]1
15．(2024·全国甲卷理T9)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　)
[A]“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件
[B]“x＝－3”是“a∥b”的必要条件
[C]“x＝0”是“a⊥b”的充分条件
[D]“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件
16．(2023·全国甲卷理T4)已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos 〈a－c，b－c〉＝(　　)
[A]－ [B]－
[C] [D]
17．(2023·新高考Ⅱ卷T13)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝__________．
18．(13分)(人教A版必修第二册P60复习参考题6T8衔接2024·新高考Ⅱ卷T3)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)．当λ为何值时，a＋λb与a垂直？
4/4专题三　三角函数、平面向量及其应用
高考真题衍生卷·命题区间8
1．C　[由题意，可得tan α＝3，
所以－sin α(cos α＋sin α)
＝－，故选C．]
2．C　[因为tanθ＝，
所以＝．
故选C．]
3．C　[因为sin α＋cos α＝，
所以1＋2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝－，
4．A　[对于选项A，y＝sin x＋cos x＝sin ，其最小正周期T＝2π，故A正确；
对于选项B，y＝sin x cos x＝sin 2x，其最小正周期T＝＝π，故B错误；
对于选项C，y＝sin2x＋cos2x＝1，是常数函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D，y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，其最小正周期T＝＝π，故D错误．故选A．]
5．B　[由题意可知，x1为f (x)的最小值点，x2为f (x)的最大值点，则|x1－x2|min＝，即T＝π，
又ω＞0，所以ω＝＝2．故选B．]
6．B　[由题可得g(x)＝cos 的最小正周期T＝，即在[0，π]内，g(x)有3个周期，又其值域为[－1，1]，且g(0)＝－，在同一直角坐标系内作出f (x)＝cos x与g(x)＝cos 的图象，如图所示，由图象可得曲线f (x)＝cos x与g(x)＝cos 在[0，π]内有5个交点．故选B．
]
7．A　[f (x)＝sin 3＝sin (3ωx＋π)＝－sin 3ωx，由T＝＝π得ω＝，即f (x)＝－sin 2x，
当x∈
8．C　[令f (x)＝cos (ωx＋φ)＝，所以ωx＋φ＝＋2kπ或＋2kπ，k∈Z，即xA＝＋－，xB＝＋－，k∈Z，由题意及|AB|min＝得，|AB|min＝|xA－xB|＝＝，所以ω＝1，因为函数f (x)对任意的x∈R，都有f ＋f ＝0，所以函数f (x)的图象关于点中心对称，所以f ＝cos ＝0，又|φ|＜，所以φ＝，即f (x)＝cos ，则f ＝cos ＝－．故选C．]
9．ABD　[将函数f (x)＝cos 的图象向右平移个单位长度，
得到函数y＝g(x)＝cos (2x－π)＝－cos 2x的图象．
对于A项，令x＝，求得f (x)＝，即为函数y＝f (x)的最大值，
所以直线x＝是函数f (x)图象的一条对称轴，所以A正确；
对于B项，令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
可得f (x)的单调递减区间为，k∈Z，所以B正确；
对于C项，由于g(x)＝－cos 2x是偶函数，可得函数g(x)的图象关于y轴对称，所以C错误；
对于D项，由f (x)＋g(x)＝cos ＋
＝－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin ≤，
即f (x)＋g(x)的最大值为，所以D正确．
故选ABD．]
10．AD　[根据题图可知，A＝2，＝3－1＝2，所以T＝8，即ω＝，
又f (1)＝2sin ＝2，
而|φ|<，所以φ＝，可得f (x)＝2sin ．
对于A，令x＋＝－＋kπ，k∈Z，解得x＝4k－3(k∈Z)，A正确；
对于B，由题图结合函数周期可知，函数f (x)的单调递增区间为[8k－3，8k＋1](k∈Z)，B错误；
对于C，由题图可知，函数f (x)在区间[－π，－3]上单调递减，在[－3，0]上单调递增，C错误；
对于D，在函数f (x)的一个周期[－3，5]内，
由2sin ＝－1，解得x＝－或x＝，
所以f (x)≥－1的解集为(k∈Z)，D正确．故选AD．]
11．[2，3)　[因为0≤x≤2π，ω＞0，所以0≤ωx≤2ωπ，
令f (x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，
令t＝ωx，则cos t＝1有且仅有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，
结合余弦函数y＝cos t的图象可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3．
]
12．D　[因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，
所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2．
故选D．]
13．B　[因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，
即a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0，
因为a＝(1，2)，b＝(m，3)，所以a·b＝m＋6＝0，
解得m＝－6．故选B．]
14．B　[因为a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，
所以a＝(0，2)，b＝(2，1)，
所以|a|2－|b|2＝4－5＝－1．故选B．]
15．C　[对A，当a⊥b时，则a·b＝0，
所以x(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A错误；
对C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0，
所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；
对B，当a∥b时，则2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误；
对D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误．故选C．]
16．D　[因为|a|＝|b|＝1，|c|＝，
且a＋b＋c＝0，所以－c＝a＋b，
所以c2＝a2＋b2＋2a·b，
即2＝1＋1＋2×1×1×cos 〈a，b〉，
解得cos 〈a，b〉＝0，所以a⊥b．
又a－c＝2a＋b，b－c＝a＋2b，
所以(a－c)·(b－c)＝(2a＋b)·(a＋2b)＝2a2＋2b2＋5a·b＝2＋2＋0＝4，
|a－c|＝＝＝＝，
|b－c|＝＝＝＝，
所以cos 〈a－c，b－c〉＝＝＝．故选D．]
17．　[因为|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，
所以a2＋b2－2a·b＝3，
a2＋b2＋2a·b＝4a2＋b2－4a·b，
所以a2＝2a·b，所以b2＝3，所以|b|＝．]
18．解：a＋λb＝(1，0)＋λ(1，1)＝(λ＋1，λ)，
由(a＋λb)⊥a，得a·(a＋λb)＝(1，0)·(λ＋1，λ)＝λ＋1＝0，解得λ＝－1．
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