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命题区间9　三角恒等变换与解三角形
(单项选择题每小题5分，多项选择题每小题6分，填空题每小题5分，解答题每小题13分，共90分)
考向一　三角恒等变换
1．(2023·新高考Ⅰ卷T8子母题)已知sin (α＋β)＝，sin αcos β＝，则cos 4(α－β)＝(　　)
[A] [B]
[C]－ [D]－
2．(2023·新高考Ⅰ卷T8姊妹题)若sin A＋cos A＝，则cos ＝(　　)
[A] [B]
[C]－ [D]
3．(2023·新高考Ⅰ卷T8改编题)已知cos (α－β)＝，cos αcos β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　)
[A]1 [B]
[C]－ [D]－1
4．(2024·新高考Ⅰ卷T4)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　)
[A]－3m [B]－
[C] [D]3m
5．(2024·全国甲卷理T8文T9)已知＝，则tan ＝(　　)
[A]2＋1 [B]2－1
[C] [D]1－
6．(2023·新高考Ⅱ卷T7姊妹题)已知α∈，tan α＝，则＝(　　)
[A]－ [B]－
[C] [D]
7．(2024·新高考Ⅱ卷T13)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________．
考向二　解三角形
8．(2024·全国甲卷理T11文T12)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　)
[A] [B]
[C] [D]
9．(多选)(补偿题)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，以下条件中，使得△ABC无解的是(　　)
[A]a＝，b＝，A＝120°
[B]a＝，b＝，A＝45°
[C]b＝2，cos A＝，B＝60°
[D]c＝b，sin A＝sin B，C＝60°
10．(2023·全国甲卷理T16)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________．
11．(13分)(人教A版必修第二册P54习题6.4T22链接2024·新高考Ⅰ卷T15)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C＋a sin C－b－c＝0．
(1)求A；
(2)若a＝2，且△ABC的面积为，求b，c．
12．(13分)(2023·新高考Ⅰ卷T17)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B．
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
13．(13分)(2024·新高考Ⅱ卷T15)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2．
(1)求A；
(2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长．
3/3高考真题衍生卷·命题区间9
．]
8．C　[因为B＝ac，则由正弦定理得sin A sin C＝sin2B＝．
由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝ac，
即a2＋c2＝ac，根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝＝，
所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinA sin C＝，
因为A，C为三角形内角，则sin A＋sin C＞0，则sin A＋sin C＝．故选C．]
9．ABD　[对于A，因为a＝，A＝120°，
所以a对于B，因为a＝，A＝45°，
由正弦定理得，即，
所以sin B＝>1，不可能，无解；
对于C，由cos A＝，得sin A＝，
由正弦定理得，即，
所以a＝，此时三角形有一解；
对于D，因为c＝b，sin A＝sin B，所以a＝b，
由余弦定理的推论得cos C＝＝0，不符合题意，此时三角形无解．故选ABD．]
10．2　[如图所示，记AB＝c，AC＝b，BC＝a，
由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，
因为b>0，解得b＝1＋，
由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得，
×2×b×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×AD×b×sin 30°，
解得AD＝＝2．]
11．解：(1)因为a cos c＋a sin c－b－c＝0，所以根据正弦定理得sin A cos C＋sin A sin C＝sin B＋sin C，即sin A cos C＋sin A sin C＝sin (A＋C)＋sin C，
所以sin A cos C＋sin A sin C＝sin A cos C＋cos Asin C＋sin C．
因为0°＜C＜180°，所以sin C≠0，
所以sin A－cos A＝1，即sin (A－30°)＝．所以A－30°＝30°(A－30°＝150°舍去)，即A＝60°．
(2)由A＝60°，S＝bc sin A＝，得bc＝4．
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A，所以b＋c＝4．又bc＝4，所以b＝c＝2．
12．解：(1)因为A＋B＝3C，所以π－C＝3C，即C＝，
又2sin (A－C)＝sin B＝sin (A＋C)，
所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos Asin C，
所以sin A cos C＝3cos A sin C，
所以sin A＝3cos A．
又因为sin2A＋cos2A＝1，
所以sin2A＋sin2A＝1，
解得sin2A＝．
又因为A∈(0，π)，
所以sinA>0, 所以sin A＝．
(2)由(1)知，sin A＝，tan A＝3>0，所以A为锐角，所以cos A＝，
所以sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C
＝．
由正弦定理，可得AC＝．
设AB边上的高为h，
所以AB·AC·sin A，
所以h＝AC·sin A＝2＝6．
13．解：(1)法一：(辅助角公式)
由sin A＋cos A＝2可得sin A＋cos A＝1，即sin ＝1，
由于A∈(0，π)，则A＋∈，故A＋，解得A＝．
法二：(同角三角函数的基本关系)
由sin A＋cos A＝2，又sin2A＋cos2A＝1，消去sinA得4cos2A－4cosA＋3＝0，即2＝0，解得cos A＝，又A∈(0，π)，故A＝．
(2)由题设条件和正弦定理得，
sin B sin C＝2sin C sin B cos B，
又B，C∈(0，π)，则sin B sin C≠0，
所以cos B＝，所以B＝，
于是C＝π－A－B＝，
sin C＝sin (π－A－B)＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin Bcos A＝，
由正弦定理，可得，解得b＝2，
故△ABC的周长为2＋．
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