高考真题衍生卷 命题区间9三角恒等变换与解三角形--《高考快车道》2026版高考数学高考母题必读及衍生

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高考真题衍生卷 命题区间9三角恒等变换与解三角形--《高考快车道》2026版高考数学高考母题必读及衍生

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命题区间9 三角恒等变换与解三角形
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分,填空题每小题5分,解答题每小题13分,共90分)
考向一 三角恒等变换
1.(2023·新高考Ⅰ卷T8子母题)已知sin (α+β)=,sin αcos β=,则cos 4(α-β)=(  )
[A] [B]
[C]- [D]-
2.(2023·新高考Ⅰ卷T8姊妹题)若sin A+cos A=,则cos =(  )
[A] [B]
[C]- [D]
3.(2023·新高考Ⅰ卷T8改编题)已知cos (α-β)=,cos αcos β=,则cos (2α+2β)=(  )
[A]1 [B]
[C]- [D]-1
4.(2024·新高考Ⅰ卷T4)已知cos (α+β)=m,tan αtan β=2,则cos (α-β)=(  )
[A]-3m [B]-
[C] [D]3m
5.(2024·全国甲卷理T8文T9)已知=,则tan =(  )
[A]2+1 [B]2-1
[C] [D]1-
6.(2023·新高考Ⅱ卷T7姊妹题)已知α∈,tan α=,则=(  )
[A]- [B]-
[C] [D]
7.(2024·新高考Ⅱ卷T13)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin (α+β)=________.
考向二 解三角形
8.(2024·全国甲卷理T11文T12)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+sin C=(  )
[A] [B]
[C] [D]
9.(多选)(补偿题)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,以下条件中,使得△ABC无解的是(  )
[A]a=,b=,A=120°
[B]a=,b=,A=45°
[C]b=2,cos A=,B=60°
[D]c=b,sin A=sin B,C=60°
10.(2023·全国甲卷理T16)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=________.
11.(13分)(人教A版必修第二册P54习题6.4T22链接2024·新高考Ⅰ卷T15)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且a cos C+a sin C-b-c=0.
(1)求A;
(2)若a=2,且△ABC的面积为,求b,c.
12.(13分)(2023·新高考Ⅰ卷T17)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin (A-C)=sin B.
(1)求sin A;
(2)设AB=5,求AB边上的高.
13.(13分)(2024·新高考Ⅱ卷T15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2.
(1)求A;
(2)若a=2,b sin C=c sin 2B,求△ABC的周长.
3/3高考真题衍生卷·命题区间9
.]
8.C [因为B=ac,则由正弦定理得sin A sin C=sin2B=.
由余弦定理可得b2=a2+c2-ac=ac,
即a2+c2=ac,根据正弦定理得sin2A+sin2C==,
所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sinA sin C=,
因为A,C为三角形内角,则sin A+sin C>0,则sin A+sin C=.故选C.]
9.ABD [对于A,因为a=,A=120°,
所以a对于B,因为a=,A=45°,
由正弦定理得,即,
所以sin B=>1,不可能,无解;
对于C,由cos A=,得sin A=,
由正弦定理得,即,
所以a=,此时三角形有一解;
对于D,因为c=b,sin A=sin B,所以a=b,
由余弦定理的推论得cos C==0,不符合题意,此时三角形无解.故选ABD.]
10.2 [如图所示,记AB=c,AC=b,BC=a,
由余弦定理可得,22+b2-2×2×b×cos 60°=6,
因为b>0,解得b=1+,
由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得,
×2×b×sin 60°=×2×AD×sin 30°+×AD×b×sin 30°,
解得AD==2.]
11.解:(1)因为a cos c+a sin c-b-c=0,所以根据正弦定理得sin A cos C+sin A sin C=sin B+sin C,即sin A cos C+sin A sin C=sin (A+C)+sin C,
所以sin A cos C+sin A sin C=sin A cos C+cos Asin C+sin C.
因为0°<C<180°,所以sin C≠0,
所以sin A-cos A=1,即sin (A-30°)=.所以A-30°=30°(A-30°=150°舍去),即A=60°.
(2)由A=60°,S=bc sin A=,得bc=4.
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A=(b+c)2-2bc-2bc cos A,所以b+c=4.又bc=4,所以b=c=2.
12.解:(1)因为A+B=3C,所以π-C=3C,即C=,
又2sin (A-C)=sin B=sin (A+C),
所以2sin A cos C-2cos A sin C=sin A cos C+cos Asin C,
所以sin A cos C=3cos A sin C,
所以sin A=3cos A.
又因为sin2A+cos2A=1,
所以sin2A+sin2A=1,
解得sin2A=.
又因为A∈(0,π),
所以sinA>0, 所以sin A=.
(2)由(1)知,sin A=,tan A=3>0,所以A为锐角,所以cos A=,
所以sin B=sin (A+C)=sin A cos C+cos A sin C
=.
由正弦定理,可得AC=.
设AB边上的高为h,
所以AB·AC·sin A,
所以h=AC·sin A=2=6.
13.解:(1)法一:(辅助角公式)
由sin A+cos A=2可得sin A+cos A=1,即sin =1,
由于A∈(0,π),则A+∈,故A+,解得A=.
法二:(同角三角函数的基本关系)
由sin A+cos A=2,又sin2A+cos2A=1,消去sinA得4cos2A-4cosA+3=0,即2=0,解得cos A=,又A∈(0,π),故A=.
(2)由题设条件和正弦定理得,
sin B sin C=2sin C sin B cos B,
又B,C∈(0,π),则sin B sin C≠0,
所以cos B=,所以B=,
于是C=π-A-B=,
sin C=sin (π-A-B)=sin (A+B)=sin A cos B+sin Bcos A=,
由正弦定理,可得,解得b=2,
故△ABC的周长为2+.
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