高考真题衍生卷 命题区间10等差数列、等比数列--《高考快车道》2026版高考数学高考母题必读及衍生

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高考真题衍生卷 命题区间10等差数列、等比数列--《高考快车道》2026版高考数学高考母题必读及衍生

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专题四 数列
高考真题衍生卷·命题区间10
1.D [由题意可知举高R为B~B,第一折为R,且椽缝下折高度构成以R为首项,为公比的等比数列.
某建筑的总进深为120,当举高R=
第四椽缝下折高度为=0.375,
同理可得当举高R=B时,第四椽缝下折高度为0.5,
所以第四椽缝下折高度在0.375~0.5之间,
结合选项可知第四椽缝下折高度可以为0.45.故选D.]
2.B [由于an=
故数列的前10项和为(a1+a3+a5+a7+a9)+(a2+a4+a6+a8+a10)
=?+ln +ln 6.故选B.]
3.ABD [因为an+1an=2an-1,所以an+1an-an=an-1,
即(an+1-1)an=an-1,即an+1-1=,
所以+1,
故=1,
所以是首项为1,公差为1的等差数列,
所以=1+(n-1)=n,故an=+1.
因为+1>1,所以A正确;
又因为an+1-an=<0,
所以an+1因为对任意n∈N*都有1所以2a2n>2,所以不存在正整数n使an=2a2n,故C不正确;
因为(n∈N*)且(10n-1)∈N*,
所以都是数列{an}中的项,故D选项正确.
故选ABD.]
4.ABC [因为数列{an}满足an+1=(n∈N*),a1=1,
所以=1,
所以数列是首项为1,公差为2的等差数列,
故成立,A正确.
所以=1+2(n-1)=2n-1,
故(2n-1)·an=1,C正确.
所以an=,
所以3a5a17=3×,D错误.
因为=22n-1,所以=4,
所以数列是首项为2,公比为4的等比数列,B正确.故选ABC.]
5.解:(1)因为Sn+1+Sn=,
所以Sn+Sn-1=(n≥2),
两式相减得an+1+an=,
即an+1+an=(an+1+an)(an+1-an),
由于an+1+an>0,则an+1-an=2(n≥2),
当n=1时,S1+S2=,
即a1+a1+a2=,
又a1=2,故得a2=4(负值舍去),
a2-a1=2,则an+1-an=2(n∈N*),
所以{an}是首项和公差均为2的等差数列,
故an=2+(n-1)·2=2n.
(2)由(1)知bn=,
所以Tn=,①
,②
由①-②得,
所以,
所以Tn=.
6.D [法一:由S9=9a1+d=1,得9a1+36d=1,
所以a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=(9a1+36d)=.故选D.
法二:因为S9==1,所以a3+a7=.故选D.]
7.C [设等比数列的公比为q(q≠0),首项为a1,
若q=1,则S6=6a1=3×2a1=3S2,与题意不符,所以q≠1.
由S4=-5,S6=21S2,可得,
所以1+q2+q4=21,解得q2=4,
所以S8==-85.故选C.]
8.A [由数列{an}是等差数列可知,S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,即S4,3S4+4,6S4-14成等差数列.
所以2(3S4+4)=S4+6S4-14,解得S4=22,
又S12-2S8=2S4-18,则S12=2(4S4+4)+2S4-18=10S4-10=210.故选A.]
9.D [设数列{an}的公比为q(q≠1),
因为S6=-1,
所以(a1+a2+a3)(1+q3)=-1,
所以a1+a2+a3≠0.
因为S9=3S3,
所以(a1+a2+a3)(1+q3+q6)=3(a1+a2+a3),
则1+q3+q6=3.
因为q≠1,所以q3=-2,
所以a1+a2+a3=1,
故a13+a14+a15=(a1+a2+a3)q12=1×(-2)4=16.
故选D.]
10.95 [因为数列{an}为等差数列,则由题意得
解得
则S10=10a1+d=10×(-4)+45×3=95.]
11.解:(1)由a2+a6=a8可得a1+d+a1+5d=a1+7d,
则a1=d,故an=nd.
=2d,
b1=2a1·2a1-d=2d,
则数列{bn}是首项为2d,公比为2d的等比数列,
由S8+S16=T4+a2可得,
+2d,
即24d-85×2d+84=0,
即2d(23d-1)-84(2d-1)=0,
即2d(2d-1)(22d+2d+1)-84(2d-1)=0,
由d>0可得2d(22d+2d+1)=84,
设f (d)=2d(22d+2d+1),
显然f (d)在(0,+∞)上单调递增,
且f (2)=84,故d=2,
所以{an}的通项公式为an=2n.
(2)由a1+a2=a4可得,2a1+d=a1+3d,即a1=2d,
则an=a1+(n-1)d=(n+1)d,
由bn=2a1·2an-d=4d·2nd,
得=2d,
故{bn}是首项为4d·2d,公比为2d的等比数列.
由T4-S9=
=-54d=66d,
得=30,
即2d(1+2d)(1+22d)=30,
由d∈N可得2d,1+2d,1+22d都是正整数,
且30=2×3×5,
故2d=2,解得d=1.
5/5命题区间10 等差数列、等比数列
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分,填空题每小题5分,解答题每小题13分,共73分)
考向一 数列的概念及简单表示法
1.(2022·新高考Ⅱ卷T3姊妹题)如图是我国古代建筑中的“举折”做法的示意图,以房屋的前后撩檐枋(清式称挑檐桁)心之间的水平距离为总进深(B),在前后撩檐枋上皮的连线中点举起至总进深作为脊椽上皮的高度,称举高(R).第一步将脊椽上皮与撩檐枋上皮连一直线,自脊椽而下,第一椽缝折下,第二椽缝依前法再向下折,第三椽缝依前法再向下折,以此类推.若某建筑的总进深为120,则第四椽缝下折高度可以为(  )
 
[A]0.75 [B]0.65
[C]0.55 [D]0.45
2.(2021·新高考Ⅰ卷T17(2)改编题)已知数列{an}满足an=则数列{an}的前10项和为(  )
[A]+ln 6 [B]+ln 6
[C]-ln 2 [D]-ln 2
3.(多选)(补偿题)数列{an}的首项a1=2,对一切正整数n,都有an+1an=2an-1,则(  )
[A]对一切正整数n都有an>1
[B]数列{an}单调递减
[C]存在正整数n,使得an=2a2n
[D](n∈N*)都是数列{an}中的项
4.(多选)(2022·浙江卷T10姊妹题)已知数列{an}满足an+1=(n∈N*),a1=1,则下列结论正确的是(  )
[A]= [B]是等比数列
[C](2n-1)an=1 [D]3a5a17=a49
5.(13分)(2024·全国甲卷理T18姊妹题)已知各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn+1+Sn=,a1=2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
考向二 等差数列、等比数列
6.(2024·全国甲卷文T5)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,则a3+a7=(  )
[A]-2 [B]
[C]1 [D]
7.(2023·新高考Ⅱ卷T8)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=(  )
[A]120 [B]85
[C]-85 [D]-120
8.(2023·新高考Ⅱ卷T8改编题)记Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4S4+4,S12-2S8=2S4-18,则S12=(  )
[A]210 [B]230
[C]250 [D]300
9.(2023·新高考Ⅱ卷T8姊妹题)已知公比不等于1的等比数列的前n项和为Sn,若S6=-1,S9=3S3,则a13+a14+a15=(  )
[A]-16 [B]-8
[C]8 [D]16
10.(2024·新高考Ⅱ卷T12)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=________.
11.(13分)(2023·新高考Ⅰ卷T20姊妹题)设等差数列{an}的公差为d,且d>0,令bn=2a1·2an-d,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.
(1)若a2+a6=a8,且S8+S16=T4+a2,求{an}的通项公式;
(2)若a1+a2=a4,d∈N,且T4-S9=66d,求d.
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