高考真题衍生卷 命题区间12空间几何体及其表面积和体积--《高考快车道》2026版高考数学高考母题必读及衍生

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高考真题衍生卷 命题区间12空间几何体及其表面积和体积--《高考快车道》2026版高考数学高考母题必读及衍生

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命题区间12 空间几何体及其表面积和体积
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分,填空题每小题5分,共78分)
考向一 数学文化与简单几何体的性质
1.(2022·新高考Ⅰ卷T4姊妹题)如图所示,有一个沙漏,由圆柱和圆锥组合而成,上下对称,沙漏中沙子完全流下刚好填满下半部分的圆柱部分,已知沙漏总高度为10 cm,下半部分圆柱高度为2 cm,则初始状态的沙子高度h为(  )
 
[A]3 cm [B]3.5 cm
[C]4 cm [D]4.5 cm
2.(多选)(2023·新高考Ⅰ卷T12)下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(  )
[A]直径为0.99 m的球体
[B]所有棱长均为1.4 m的四面体
[C]底面直径为0.01 m,高为1.8 m的圆柱体
[D]底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体
3.(多选)(2023·新高考Ⅰ卷T12姊妹题)已知长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=3,下列物体中,能够被整体放入该长方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(  )
[A]一个半径为的球
[B]两个球,其中一个球的半径为1,另一个球的半径为
[C]三个球,其中一个球的半径为1,另两个球的半径均为
[D]底面直径为2.8,高为0.01的圆锥
4.(多选)(2023·新高考Ⅰ卷T12子母题)下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正四面体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(  )
[A]直径为 m的球体
[B]底面直径为 m,高为 m的圆柱体
[C]表面积为3π m2的球
[D]棱长为 m的正方体
考向二 空间几何体的表面积和体积的计算
5.(2024·新高考Ⅰ卷T5)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为(  )
[A]2π [B]3π
[C]6π [D]9π
6.(2022·新高考Ⅱ卷T11改编题)如图,已知正四面体A BCD的棱长为1,过点B作截面α分别交侧棱AC,AD于E,F两点,且四面体A BEF的体积为四面体A BCD体积的,则EF的最小值为(  )
[A] [B]
[C] [D]
7.(2024·天津卷T9)一个五面体ABC DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1,AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为(  )
[A] [B]
[C] [D]
8.(2024·新高考Ⅰ卷T5改编题)已知圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆,过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是(  )
[A]π [B]π
[C]π [D]π
9.(2023·新高考Ⅰ卷T14改编题)在马致远的《汉宫秋》楔子中写道:“毡帐秋风迷宿草,穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示,某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体,圆锥的高为4,侧面积为15π,圆柱的侧面积为18π,则该毡帐的体积为(  )
[A]39π [B]18π
[C]38π [D]45π
10.(2023·新高考Ⅱ卷T14)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为 ________.
11.(2024·全国甲卷理T14)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台的母线长分别为2(r2-r1),3(r2-r1),则圆台甲与乙的体积之比为________.
考向三 球及其组合体(重点关注表面积与体积)
12.(2022·新高考Ⅰ卷T8子母题)已知正三棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为16π,且≤l≤2,则该正三棱锥体积的取值范围是(  )
[A] [B]
[C] [D]
13.(2023·全国甲卷理T15子母题)已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,以A为球心,AB为半径的球截得正方体为M1(含球心的部分)和M2两部分,则四边形ADC1B1被球A截得的圆形的面积与M2的表面积之比为(  )
[A] [B]
[C] [D]
14.(2022·新高考Ⅰ卷T8姊妹题)在梯形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC=AD=1,将△ABC沿直线AC翻折成△AB1C,当三棱锥B1 ACD的体积最大时,三棱锥B1 ACD的外接球的表面积为________.
15.(2023·全国乙卷文T16)已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上,△ABC是边长为3的等边三角形,SA⊥平面ABC,则SA=________.
4/4专题五 立体几何
高考真题衍生卷·命题区间12
1.C [如图所示,设初始状态圆柱部分沙子的高度为h′,沙漏下半部分的圆柱高度为h1,圆锥部分高度为h2,上、下底面半径为r,则h1=2 cm,又沙漏总高度为10 cm,则h2=3 cm,所以πr2h2+πr2h′=πr2h1,即πr2×3+πr2h′=πr2×2,解得h′=1 cm.
所以初始状态的沙子高度h=3+h′=4 cm.故选C.]
2.ABD [由于棱长为1 m的正方体的内切球的直径为1 m,所以选项A正确;由于棱长为1 m的正方体中可放入棱长为 m的正四面体,且>1.4,所以选项B正确;因为正方体的棱长为1 m,体对角线长为 m,<1.8,所以高为1.8 m的圆柱体不可能整体放入正方体容器中,所以选项C不正确;由于正方体的体对角线长为 m,而底面直径为1.2 m的圆柱体,其高0.01 m可忽略不计,故只需把圆柱的底面与正方体的体对角线平行放置,即可以整体放入正方体容器中,所以选项D正确.故选ABD.]
3.BCD [因为长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=3,所以里面所放球的半径最大为1,A错误;设球O1半径为1,放入长方体内部时,与四个侧面和底面均相切,如图1,设球O的半径为r,且与过点D1的三个面均相切,
不妨让球O与球O1也相切,
分别过点O1,O作O1E,OF⊥平面CDD1C1于E,F,
连接OO1,在梯形EFOO1中,过点O作OG⊥O1E,
在Rt△OO1G中易知OO1=r+1,O1G=1-r,
OG=
即2r2-6r+5+(1-r)2=(1+r)2,
即2r2-10r+5=0,
解得r=或r=(舍),B正确;
若要在长方体内同时放三个球,
其中一个球半径为1,另两个球半径相等,
作俯视图如图2,则球O的半径为1,
球O1,O2的最大半径为r=>,C正确;
因为长方体的对角面的边长分别为2和3,
且2.8<2,
所以可以让圆锥底面放到长方体的对角面上,
故可以放入长方体内部,D正确.故选BCD.
]
4.ABD [因为正四面体的棱长为1 m,
如图1,在Rt△AOD中,
可得正四面体的高h=AO= m,
设该正四面体的内切球(与各面均相切)的半径为r,球心为O1,
则有VA BCD=S△BCD·h=4×S△BCD·r,
即r= m,A正确;
如图2,设圆柱的底面半径为r1,高为h1,
在Rt△AOE中,,

V圆柱=h1=π,
令圆柱的体积关于h1的函数为V(h1),
则V′(h1)=π,
令V′(h1)=0,解得h1=或h1=,
易知,当h1= m,r1= m时,V圆柱最大,B正确;
当球的表面积为3π m2时,其球的半径为 m,
而由A项得内切球的半径r=<,
故表面积为3π m2的球不能放入该正四面体中,C错误;
由B项可知,圆柱的直径为 m,
由勾股定理可得,其底面内接正方形的边长为 m,
又圆柱的高为 m,
故可以放入一个棱长为 m的正方体,D正确.]
5.B [设圆柱的底面半径为r,则圆锥的母线长为,而它们的侧面积相等,所以2πr×=πr×,即2,故r=3,
故圆锥的体积为π×9×π.故选B.]
6.D [由题知VB AEF=VB ACD,
所以S△AEF=S△ACD=.
设EF=a,AE=b,AF=c,
则bc sin 60°=,即bc=,
则a2=b2+c2-2bc cos 60°≥2bc-bc=bc=.
当且仅当即b=c=时,取等号,所以EF的最小值为.故选D.]
7.C [因为AD,BE,CF两两平行,且两两之间距离为1,则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥,其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积,四棱锥的高为,底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形,故该五面体的体积V=.故选C.]
8.A [设圆锥的高为h,母线长为l,底面圆半径为r,则解得l=2,r=1,所以h=,所以圆台体积为π×12×π×.故选A.]
9.A [设圆柱的底面半径为r,高为h,圆锥的母线长为l,因为圆锥的侧面积为15π,所以πrl=15π,即rl=15.因为l2=r2+42,所以联立解得r=3(舍负).因为圆柱的侧面积为18π,所以2πrh=18π,即2π×3h=18π,解得h=3,所以该毡帐的体积为πr2×4+πr2h=39π.故选A.]
10.28 [如图所示,根据题意易知△SO1A1∽△SOA,
所以,
又SO1=3,所以SO=6,所以OO1=3,
又上下底面正方形边长分别为2,4,
所以所得棱台的体积为×3=28.]
11. [由题可得两个圆台的高分别为
h甲=(r1-r2),
h乙=(r1-r2),
所以=.]
12.C [如图,设正三棱锥的底面边长为a,高为h,高与侧棱的夹角为θ,
由球的表面积为16π可得球的半径为2,
则在△PDB中,由余弦定理可得
cos θ=∈
时,V′(t)>0,函数V(t)单调递增;
当t∈
2
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