资源简介

命题区间14　直线与圆
(单项选择题每小题5分，多项选择题每小题6分，填空题每小题5分，共103分)
考向一　直线与圆的方程
1．(2022·全国甲卷文T14改编题)已知直线l：x＋y＋3＝0，A(－1，0)，B(1，0)．动点P满足|PA|＝|PB|，则动点P到直线l距离的最小值为(　　)
[A] [B]2
[C]3 [D]1
2．(2023·全国乙卷文T11)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)
[A]1＋ [B]4
[C]1＋3 [D]7
3．(多选)(补偿题)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0，则下列说法正确的是(　　)
[A]的最大值为 [B]的最小值为0
[C]x2＋y2的最大值为＋1 [D]x＋y的最大值为3＋
4．(2024·北京卷T3)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到x－y＋2＝0的距离为(　　)
[A] [B]2
[C]3 [D]3
5．(2023·上海卷T7)已知圆C：x2＋y2－4y－m＝0的面积为π，则m＝________．
考向二　直线与圆的位置关系
6．(2022·北京卷T3)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　)
[A] [B]－
[C]1 [D]－1
7．(2023·新高考Ⅰ卷T6)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　)
[A]1 [B]
[C] [D]
8．(2022·新高考Ⅱ卷T15改编题)已知圆x2＋y2－2x＋2y＋a＝0截直线x＋y－4＝0所得弦的长度小于6，则实数a的取值范围为(　　)
[A](2－，2＋) [B](2－，2)
[C](－15，＋∞) [D](－15，－6)
9．(多选)(2024·新高考Ⅱ卷T10改编题)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)，过点M的两条直线分别与圆O：x2＋y2＝1相切于点A，B，若直线AB与C相切，则(　　)
[A]圆O与以OM为直径的圆的公共弦所在直线方程为2x＋y－1＝0
[B]＋b2＝1
[C]椭圆C内接矩形面积的最大值为2
[D]椭圆C内接矩形面积最大时C的离心率为
10．(2024·全国甲卷理T12)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
[A]1 [B]2
[C]4 [D]2
11．(2022·新高考Ⅱ卷T15子母题)过点P(－1，－)的直线l与圆x2＋y2＝3有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
12．(2024·全国甲卷理T12姊妹题)已知直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0，圆O：x2＋y2＝16，下列说法错误的是(　　)
[A]对任意实数a，直线l与圆O有两个不同的公共点
[B]当且仅当a＝－时，直线l被圆O所截弦长为4
[C]对任意实数a，圆O不关于直线l对称
[D]存在实数a，使得直线l与圆O相切
13．(2023·新高考Ⅱ卷T15)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值__________．
14．(2022·新高考Ⅱ卷T15改编题)已知从点(－5，3)发出的一束光线，经x轴反射后，光线恰好平分圆(x－1)2＋(y－1)2＝5的圆周，则反射光线所在直线的方程为________________．
15．(2022·新高考Ⅱ卷T15姊妹题)已知直线l：kx＋y＋k－1＝0与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，以线段AB为直径作圆，当圆的面积最小时，圆的方程为________________．
考向三　圆与圆的位置关系
16．(2022·新高考Ⅰ卷T14子母题)已知两圆方程为x2＋y2＝4和(x－3)2＋(y－4)2＝9，则两圆的公切线有(　　)
[A]1条 [B]2条
[C]3条 [D]4条
17．(2022·新高考Ⅰ卷T14改编题)已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为(　　)
[A](1，－1) [B](－1，－1)
[C](－1，1) [D](1，1)
18．(2022·新高考Ⅰ卷T14姊妹题)已知圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0与圆C2：x2＋y2－14x－2y＋a＝0，若圆C1与圆C2有且只有一个公共点，则实数a等于(　　)
[A]14 [B]34
[C]14或45 [D]34或14
19．(多选)(补偿题)以下四个命题错误的是(　　)
[A]直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－3(m∈R)恒过定点(－5，－2)
[B]若曲线C1：x2＋y2＋2x＝0与C2：x2＋y2－4x－8y＋m＝0恰有四条公切线，则实数m的取值范围为m>4
[C]圆x2＋y2＝2上有且仅有3个点到直线l：x－y＋1＝0的距离都等于
[D]已知圆C：x2＋y2＝2，P为直线x＋y＋2＝0上一动点，过点P向圆C引切线PA，其中A为切点，则|PA|的最小值为
20．(2022·新高考Ⅰ卷T14子母题)写出与圆O1：x2＋y2＝1和O2：(x－3)2＋y2＝1都相切的一条直线方程________________．
4/4专题六　解析几何
高考真题衍生卷·命题区间14
1．A　[设P(x，y)，因为动点P满足|PA|＝，
所以(x＋1)2＋y2＝2[(x－1)2＋y2]，整理得(x－3)2＋y2＝8，
所以点P的轨迹是以(3，0)为圆心，2为半径的圆，
所以动点P到直线l的距离的最小值是圆心到直线距离减去半径．
因为圆心到直线l的距离d＝，
所以动点P到直线l距离的最小值为d－2．故选A．]
2．C　[法一：令x－y＝k，则x＝k＋y，
代入原式化简得2y2＋y＋k2－4k－4＝0，
因为存在实数y，所以Δ≥0，
即≥0，
化简得k2－2k－17≤0，解得1－3，
故x－y的最大值是3＋1．故选C．
法二：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3，解得1－3．故选C．]
3．ABD　[因为实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0，所以(x－2)2＋(y－1)2＝1．
对于ABD，令y＝kx，x＋y＝a，
则两条直线都与圆有公共点，
所以≤1，解得，
故x＋y的最大值为3＋＝k的最大值为，最小值为0，故ABD正确；
对于C，原点到圆心的距离为d＝，
则圆上的点到原点的距离的取值范围为，所以＋1，所以6－2，故x2＋y2的最大值为6＋2，故C错误．故选ABD．]
4．D　[由题意得x2＋y2－2x＋6y＝0，即(x－1)2＋(y＋3)2＝10，
则其圆心坐标为(1，－3)，则圆心到直线x－y＋2＝0的距离为，故选D．]
5．－3　[圆C：x2＋y2－4y－m＝0化为标准方程为x2＋(y－2)2＝4＋m．
因为圆的面积为π，所以圆的半径为1，
所以4＋m＝1，所以m＝－3．]
6．A　[若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标(a，0)，所以由2a＋0－1＝0，解得a＝．故选A．]
7．B　[圆x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，则圆心C(2，0)，半径为r＝．
设P(0，－2)，切线为PA，PB，
则|PC|＝，
在△PAC中，sin ，
所以cos ，
所以sin α＝2sin cos ．
故选B．]
8．D　[圆x2＋y2－2x＋2y＋a＝0即(x－1)2＋(y＋1)2＝2－a，
故弦心距d＝．
再由弦长公式2
即得－159．BC　[由题意得，AB是圆O：x2＋y2＝1与以OM为直径的圆的公共弦所在直线，且以OM为直径的圆的方程为，即x2＋y2－x－y＝0，两圆方程相减，得直线AB方程为2x＋y－2＝0，A错误；联立消去y得－1＝0，由于直线AB与椭圆C相切，则Δ＝＝0，化简可得＋b2＝1，B正确；由B项得＋b2＝1，则ab≤＋b2＝1，当且仅当a＝时，等号成立．设椭圆内接矩形在第一象限的顶点为(n，m)，则＝1，所以1≥，当且仅当时，等号成立，所以2mn≤ab，所以椭圆内接矩形的面积为4mn≤2ab，又ab≤1，所以C正确；由C项可得C的离心率e＝，D错误．
故选BC．]
10．C　[因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，代入直线方程ax＋by＋c＝0得ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0，
令得
故直线恒过(1，－2)，
设P(1，－2)，
圆的标准方程为x2＋(y＋2)2＝5，
设圆心为C，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，
|PC|＝1，|AC|＝r＝＝2|AP|＝
＝2＝4．故选C．]
11．C　[设直线l的倾斜角为α，圆心到直线l的距离为d．
当直线l的斜率不存在时，易得l：x＝－1，此时d＝1<，符合题意，α＝；
当直线l的斜率存在时，设直线l：y＋＝k(x＋1)，即kx－y＋k－＝0，
此时d＝，解得k≤－或k≥0，即0≤α<或<α≤，
综上所述α∈?．故选C．]
12．D　[直线l：a(x＋y)＋y＋2＝0，由解得即直线l恒过定点A(2，－2)，
圆O的半径r＝4，|OA|＝＜4，即点A(2，－2)在圆O内，所以对任意实数a，直线l与圆O有两个不同的公共点，A正确，D错误；
直线l不过圆O的圆心，因此对任意实数a，圆O不关于直线l对称，C正确；
直线OA的斜率k＝－1，当a＝时，直线l的斜率为－＝1，因此直线l⊥OA，
此时直线l被圆O所截弦是过点A的最短弦，最短弦长为，
因此当且仅当a＝－时，直线l被圆O所截弦长为，B正确．故选D．]
13．2　[设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径R＝2，圆心C到直线l的距离d＝＝．由S△ABC＝，得＋2＝0，解得m＝±2或m＝±．故答案可以为2．]
14．2x－3y＋1＝0　[点(－5，3)关于x轴的对称点为(－5，－3)，
由题意知，反射光线经过圆的圆心(1，1)，而反射光线的反向延长线经过点(－5，－3)，
所以反射光线所在直线的斜率为，其方程为y－1＝(x－1)，即2x－3y＋1＝0．]
15．(x＋1)2＋(y－1)2＝2　[直线l：kx＋y＋k－1＝0可变形为k(x＋1)＋(y－1)＝0，过定点M(－1，1)，
由x2＋y2＝4得圆心O(0，0)，半径为2．
当直线l与OM垂直时线段AB最短，
|OM|＝＝．
可得所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2．]
16．C　[根据题意，圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径r＝2，
圆(x－3)2＋(y－4)2＝9，其圆心为(3，4)，半径R＝3，
两圆的圆心距d＝＝5＝R＋r，即两圆外切．
则两圆有3条公切线．故选C．]
17．A　[将圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0，圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0的方程相减得公共弦所在直线方程为k(x＋y)－2(y＋1)＝0，
令解得所以公共弦所在直线过定点(1，－1)．故选A．]
18．D　[圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0即(x－3)2＋(y＋2)2＝1，圆心(3，－2)，半径为1，圆C2：x2＋y2－14x－2y＋a＝0即(x－7)2＋(y－1)2＝50－a，圆心(7，1)，半径为，
因为两个圆有且只有一个公共点，
所以两个圆内切或外切，圆心距为＝5，内切时，5＝，解得a＝14，外切时，5＝＋1，解得a＝34．故选D．]
19．ABD　[对于A，因为直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－3(m∈R)，即m(x＋2y－1)－x－y＋3＝0，
令解得
即直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－3(m∈R)，恒过定点(5，－2)，故A错误；
对于B，曲线C1：x2＋y2＋2x＝0，即(x＋1)2＋y2＝1，圆心为(－1，0)，半径为1，曲线C2：x2＋y2－4x－8y＋m＝0，即(x－2)2＋(y－4)2＝20－m，圆心(2，4)，半径为(m<20)，若两圆恰有四条公切线，则两圆外离，则>1＋，解得4对于C，因为圆x2＋y2＝2的圆心是(0，0)，半径为，则圆心到直线l：x－y＋1＝0的距离为．
故圆x2＋y2＝2上有且仅有3个点到直线l：x－y＋1＝0的距离都等于，故C正确；
对于D，因为|PA|＝最小，
又＝0的距离，即，
故|PA|的最小值为2，故D错误．故选ABD．]
20．y＝－
[作出圆O1与O2的示意图如图所示，
①当切线斜率为0时，由图可知，与圆O1，O2同时相切的直线有l1：y＝1；l2：y＝－1．
②当切线斜率不为0时，设两切线交于点P，
由△PO1M∽△PO2N可知＝，故P，则sin ∠O1PM＝＝，则，
故l3：y＝，即y＝；
l4：y＝－，即y＝－．]
6/6

展开更多......

收起↑