高考真题衍生卷 命题区间14直线与圆--《高考快车道》2026版高考数学高考母题必读及衍生

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高考真题衍生卷 命题区间14直线与圆--《高考快车道》2026版高考数学高考母题必读及衍生

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命题区间14 直线与圆
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分,填空题每小题5分,共103分)
考向一 直线与圆的方程
1.(2022·全国甲卷文T14改编题)已知直线l:x+y+3=0,A(-1,0),B(1,0).动点P满足|PA|=|PB|,则动点P到直线l距离的最小值为(  )
[A] [B]2
[C]3 [D]1
2.(2023·全国乙卷文T11)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(  )
[A]1+ [B]4
[C]1+3 [D]7
3.(多选)(补偿题)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,则下列说法正确的是(  )
[A]的最大值为 [B]的最小值为0
[C]x2+y2的最大值为+1 [D]x+y的最大值为3+
4.(2024·北京卷T3)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离为(  )
[A] [B]2
[C]3 [D]3
5.(2023·上海卷T7)已知圆C:x2+y2-4y-m=0的面积为π,则m=________.
考向二 直线与圆的位置关系
6.(2022·北京卷T3)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=(  )
[A] [B]-
[C]1 [D]-1
7.(2023·新高考Ⅰ卷T6)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=(  )
[A]1 [B]
[C] [D]
8.(2022·新高考Ⅱ卷T15改编题)已知圆x2+y2-2x+2y+a=0截直线x+y-4=0所得弦的长度小于6,则实数a的取值范围为(  )
[A](2-,2+) [B](2-,2)
[C](-15,+∞) [D](-15,-6)
9.(多选)(2024·新高考Ⅱ卷T10改编题)已知椭圆C:=1(a>b>0),过点M的两条直线分别与圆O:x2+y2=1相切于点A,B,若直线AB与C相切,则(  )
[A]圆O与以OM为直径的圆的公共弦所在直线方程为2x+y-1=0
[B]+b2=1
[C]椭圆C内接矩形面积的最大值为2
[D]椭圆C内接矩形面积最大时C的离心率为
10.(2024·全国甲卷理T12)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为(  )
[A]1 [B]2
[C]4 [D]2
11.(2022·新高考Ⅱ卷T15子母题)过点P(-1,-)的直线l与圆x2+y2=3有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是(  )
[A] [B]
[C] [D]
12.(2024·全国甲卷理T12姊妹题)已知直线l:ax+(a+1)y+2=0,圆O:x2+y2=16,下列说法错误的是(  )
[A]对任意实数a,直线l与圆O有两个不同的公共点
[B]当且仅当a=-时,直线l被圆O所截弦长为4
[C]对任意实数a,圆O不关于直线l对称
[D]存在实数a,使得直线l与圆O相切
13.(2023·新高考Ⅱ卷T15)已知直线x-my+1=0与⊙C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值__________.
14.(2022·新高考Ⅱ卷T15改编题)已知从点(-5,3)发出的一束光线,经x轴反射后,光线恰好平分圆(x-1)2+(y-1)2=5的圆周,则反射光线所在直线的方程为________________.
15.(2022·新高考Ⅱ卷T15姊妹题)已知直线l:kx+y+k-1=0与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,以线段AB为直径作圆,当圆的面积最小时,圆的方程为________________.
考向三 圆与圆的位置关系
16.(2022·新高考Ⅰ卷T14子母题)已知两圆方程为x2+y2=4和(x-3)2+(y-4)2=9,则两圆的公切线有(  )
[A]1条 [B]2条
[C]3条 [D]4条
17.(2022·新高考Ⅰ卷T14改编题)已知圆C1:x2+y2-kx+2y=0与圆C2:x2+y2+ky-2=0的公共弦所在直线恒过点P,则点P的坐标为(  )
[A](1,-1) [B](-1,-1)
[C](-1,1) [D](1,1)
18.(2022·新高考Ⅰ卷T14姊妹题)已知圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0与圆C2:x2+y2-14x-2y+a=0,若圆C1与圆C2有且只有一个公共点,则实数a等于(  )
[A]14 [B]34
[C]14或45 [D]34或14
19.(多选)(补偿题)以下四个命题错误的是(  )
[A]直线(m-1)x+(2m-1)y=m-3(m∈R)恒过定点(-5,-2)
[B]若曲线C1:x2+y2+2x=0与C2:x2+y2-4x-8y+m=0恰有四条公切线,则实数m的取值范围为m>4
[C]圆x2+y2=2上有且仅有3个点到直线l:x-y+1=0的距离都等于
[D]已知圆C:x2+y2=2,P为直线x+y+2=0上一动点,过点P向圆C引切线PA,其中A为切点,则|PA|的最小值为
20.(2022·新高考Ⅰ卷T14子母题)写出与圆O1:x2+y2=1和O2:(x-3)2+y2=1都相切的一条直线方程________________.
4/4专题六 解析几何
高考真题衍生卷·命题区间14
1.A [设P(x,y),因为动点P满足|PA|=,
所以(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2],整理得(x-3)2+y2=8,
所以点P的轨迹是以(3,0)为圆心,2为半径的圆,
所以动点P到直线l的距离的最小值是圆心到直线距离减去半径.
因为圆心到直线l的距离d=,
所以动点P到直线l距离的最小值为d-2.故选A.]
2.C [法一:令x-y=k,则x=k+y,
代入原式化简得2y2+y+k2-4k-4=0,
因为存在实数y,所以Δ≥0,
即≥0,
化简得k2-2k-17≤0,解得1-3,
故x-y的最大值是3+1.故选C.
法二:由x2+y2-4x-2y-4=0可得(x-2)2+(y-1)2=9,
设x-y=k,则圆心到直线x-y=k的距离d=≤3,解得1-3.故选C.]
3.ABD [因为实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,所以(x-2)2+(y-1)2=1.
对于ABD,令y=kx,x+y=a,
则两条直线都与圆有公共点,
所以≤1,解得,
故x+y的最大值为3+=k的最大值为,最小值为0,故ABD正确;
对于C,原点到圆心的距离为d=,
则圆上的点到原点的距离的取值范围为,所以+1,所以6-2,故x2+y2的最大值为6+2,故C错误.故选ABD.]
4.D [由题意得x2+y2-2x+6y=0,即(x-1)2+(y+3)2=10,
则其圆心坐标为(1,-3),则圆心到直线x-y+2=0的距离为,故选D.]
5.-3 [圆C:x2+y2-4y-m=0化为标准方程为x2+(y-2)2=4+m.
因为圆的面积为π,所以圆的半径为1,
所以4+m=1,所以m=-3.]
6.A [若直线是圆的对称轴,则直线过圆心,圆心坐标(a,0),所以由2a+0-1=0,解得a=.故选A.]
7.B [圆x2+y2-4x-1=0可化为(x-2)2+y2=5,则圆心C(2,0),半径为r=.
设P(0,-2),切线为PA,PB,
则|PC|=,
在△PAC中,sin ,
所以cos ,
所以sin α=2sin cos .
故选B.]
8.D [圆x2+y2-2x+2y+a=0即(x-1)2+(y+1)2=2-a,
故弦心距d=.
再由弦长公式2
即得-159.BC [由题意得,AB是圆O:x2+y2=1与以OM为直径的圆的公共弦所在直线,且以OM为直径的圆的方程为,即x2+y2-x-y=0,两圆方程相减,得直线AB方程为2x+y-2=0,A错误;联立消去y得-1=0,由于直线AB与椭圆C相切,则Δ==0,化简可得+b2=1,B正确;由B项得+b2=1,则ab≤+b2=1,当且仅当a=时,等号成立.设椭圆内接矩形在第一象限的顶点为(n,m),则=1,所以1≥,当且仅当时,等号成立,所以2mn≤ab,所以椭圆内接矩形的面积为4mn≤2ab,又ab≤1,所以C正确;由C项可得C的离心率e=,D错误.
故选BC.]
10.C [因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,c=2b-a,代入直线方程ax+by+c=0得ax+by+2b-a=0,即a(x-1)+b(y+2)=0,
令得
故直线恒过(1,-2),
设P(1,-2),
圆的标准方程为x2+(y+2)2=5,
设圆心为C,画出直线与圆的图形,由图可知,当PC⊥AB时,|AB|最小,
|PC|=1,|AC|=r==2|AP|=
=2=4.故选C.]
11.C [设直线l的倾斜角为α,圆心到直线l的距离为d.
当直线l的斜率不存在时,易得l:x=-1,此时d=1<,符合题意,α=;
当直线l的斜率存在时,设直线l:y+=k(x+1),即kx-y+k-=0,
此时d=,解得k≤-或k≥0,即0≤α<或<α≤,
综上所述α∈?.故选C.]
12.D [直线l:a(x+y)+y+2=0,由解得即直线l恒过定点A(2,-2),
圆O的半径r=4,|OA|=<4,即点A(2,-2)在圆O内,所以对任意实数a,直线l与圆O有两个不同的公共点,A正确,D错误;
直线l不过圆O的圆心,因此对任意实数a,圆O不关于直线l对称,C正确;
直线OA的斜率k=-1,当a=时,直线l的斜率为-=1,因此直线l⊥OA,
此时直线l被圆O所截弦是过点A的最短弦,最短弦长为,
因此当且仅当a=-时,直线l被圆O所截弦长为,B正确.故选D.]
13.2 [设直线x-my+1=0为直线l,由条件知⊙C的圆心C(1,0),半径R=2,圆心C到直线l的距离d==.由S△ABC=,得+2=0,解得m=±2或m=±.故答案可以为2.]
14.2x-3y+1=0 [点(-5,3)关于x轴的对称点为(-5,-3),
由题意知,反射光线经过圆的圆心(1,1),而反射光线的反向延长线经过点(-5,-3),
所以反射光线所在直线的斜率为,其方程为y-1=(x-1),即2x-3y+1=0.]
15.(x+1)2+(y-1)2=2 [直线l:kx+y+k-1=0可变形为k(x+1)+(y-1)=0,过定点M(-1,1),
由x2+y2=4得圆心O(0,0),半径为2.
当直线l与OM垂直时线段AB最短,
|OM|==.
可得所求圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=2.]
16.C [根据题意,圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r=2,
圆(x-3)2+(y-4)2=9,其圆心为(3,4),半径R=3,
两圆的圆心距d==5=R+r,即两圆外切.
则两圆有3条公切线.故选C.]
17.A [将圆C1:x2+y2-kx+2y=0,圆C2:x2+y2+ky-2=0的方程相减得公共弦所在直线方程为k(x+y)-2(y+1)=0,
令解得所以公共弦所在直线过定点(1,-1).故选A.]
18.D [圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0即(x-3)2+(y+2)2=1,圆心(3,-2),半径为1,圆C2:x2+y2-14x-2y+a=0即(x-7)2+(y-1)2=50-a,圆心(7,1),半径为,
因为两个圆有且只有一个公共点,
所以两个圆内切或外切,圆心距为=5,内切时,5=,解得a=14,外切时,5=+1,解得a=34.故选D.]
19.ABD [对于A,因为直线(m-1)x+(2m-1)y=m-3(m∈R),即m(x+2y-1)-x-y+3=0,
令解得
即直线(m-1)x+(2m-1)y=m-3(m∈R),恒过定点(5,-2),故A错误;
对于B,曲线C1:x2+y2+2x=0,即(x+1)2+y2=1,圆心为(-1,0),半径为1,曲线C2:x2+y2-4x-8y+m=0,即(x-2)2+(y-4)2=20-m,圆心(2,4),半径为(m<20),若两圆恰有四条公切线,则两圆外离,则>1+,解得4对于C,因为圆x2+y2=2的圆心是(0,0),半径为,则圆心到直线l:x-y+1=0的距离为.
故圆x2+y2=2上有且仅有3个点到直线l:x-y+1=0的距离都等于,故C正确;
对于D,因为|PA|=最小,
又=0的距离,即,
故|PA|的最小值为2,故D错误.故选ABD.]
20.y=-
[作出圆O1与O2的示意图如图所示,
①当切线斜率为0时,由图可知,与圆O1,O2同时相切的直线有l1:y=1;l2:y=-1.
②当切线斜率不为0时,设两切线交于点P,
由△PO1M∽△PO2N可知=,故P,则sin ∠O1PM==,则,
故l3:y=,即y=;
l4:y=-,即y=-.]
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