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高考真题衍生卷·命题区间15
1．B　[由椭圆方程得a＝4，即2a＝|MF1|＋|MF2|＝8，
所以
，
当且仅当|MF2|＝2|MF1|＝时取等号，所以的最小值为．故选B．]
2．C　[由椭圆方程得a＝3，即|MF1|＋|MF2|＝2a＝6，因为|MF1|＝5，所以|MF2|＝1．故选C．]
3．A　[设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，又P在曲线C上，
所以＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)，
即点M的轨迹方程为＝1(y>0)．故选A．]
4．A　[由题意得2c＝10，即c＝5，＝2，则b＝2a，代入c2＝a2＋b2，得c2＝5a2，解得a2＝5，b2＝4a2＝20．
所以双曲线C的方程为＝1．故选A．]
5．C　[由P是C上的点，F1，F2分别为C的左、右焦点，不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m＋n＝2a，c＝＝，所以＝(m＋n)2－2mn－2mn cos 60°＝4a2－3mn＝4a2－16，所以mn＝，所以＝．故选C．]
6．C　[如图，由题意可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，
设|PF2|＝m，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，因为＝tan θ1＝2，所以sin θ1＝，
因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，则，即tan θ2＝，sin θ2＝＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶，
则由|PF2|＝m，得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝m，
由＝·2m·m＝8，得m＝2，
则|PF2|＝2＝4＝2c＝，
由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以a＝，
所以双曲线的方程为＝1．故选C．]
7．ABD　[对于A，设曲线上的动点P(x，y)，则x＞－2且＝4，
因为曲线过坐标原点，故＝4，解得a＝－2，故A正确．
对于B，又曲线方程为＝4，而x＞－2，
故×(x＋2)＝4．
当x＝2，y＝0时，＝8－4＝4，
故点在曲线C上，故B正确．
对于C，由曲线的方程可得y2＝－(x－2)2，取x＝，则y2＝，而＞0，故此时y2＞1，
故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误．
对于D，当点(x0，y0)在曲线C上时，由C的分析可得－(x0－2)2≤，
故－，故D正确．故选ABD．]
8．C　[①②设M(x，y)到定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之积为4，
可得＝4，整理得(x2＋y2)2＝8(x2－y2)，
即曲线C的方程为(x2＋y2)2＝8(x2－y2)，
把x用－x代换，方程没变，可知曲线C关于y轴对称，
把y用－y代换，方程没变，可知曲线C关于x轴对称，
把x用－x代换，y用－y同时代换，方程没变，可知曲线C关于原点对称，图象如图所示，
所以①不正确，②正确；
③联立方程组可得x4＝0，即x＝0，所以y＝0，
所以直线y＝x与曲线C只有一个交点O(0，0)，所以③正确；
④原点O(0，0)满足曲线C的方程，即原点O在曲线C上，则|OF1|＝|OF2|，
即曲线C上存在点P与原点O重合时，满足|PF1|＝|PF2|，所以④正确．故选C．]
9．A　[由椭圆C2：＋y2＝1可得a2＝2，b2＝1，所以c2＝，
所以椭圆C2的离心率e2＝，
因为e2＝e1，
所以e1＝，所以，
所以＝，
所以a1＝或a1＝－(舍去)，所以a＝．
故选A．]
10．C　[由题意，F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，
则|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝＝10，|PF2|＝＝6，
则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，则e＝＝2．
故选C．]
11．C　[因为△POF2的面积为8，所以△PF1F2的面积为16．
又|OP|＝|OF2|，所以|OP|＝|OF2|＝|OF1|＝，所以△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，所以|m－n|＝2a，m2＋n2＝4c2，
所以mn＝＝2b2，
所以mn＝b2＝16，又b＞0，所以b＝4．
焦距为2c＝8，所以c＝4，则a2＝c2－b2＝2－16＝16，
所以a＝4，则离心率e＝．故选C．]
12．D　[若椭圆的焦点在x轴，则离心率e＝，得a2＝6，此时焦距2c＝2，
若椭圆的焦点在y轴，则离心率e＝，得a2＝，此时焦距2c＝2，
所以该椭圆的焦距为2或．故选D．]
13．－3　[双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝，故m＝－3．]
14．4　[由y2＝4x知抛物线的准线方程为x＝－1，设点P(x0，y0)，由题意得x0＋1＝9，解得x0＝8，
代入抛物线方程y2＝4x，得＝32，解得y0＝±4，
则点P到x轴的距离为4．]
15．　[如图，双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即x＝．设双曲线焦距为2c，．
因为F1(0，c)，，
所以，
解得m＝c，所以E，
所以kDE＝kF1E＝，从而tan ∠EF1y＝．
设直线OE的倾斜角为α，tan α＝，
tan 2α＝，
所以tan∠DOE＝tan (π－2α)＝，
又∠EF1O＋∠DOE＝π，
所以∠EF1y＝∠DOE，
所以，
所以a2＝3b2，即a＝b，
故双曲线的离心率为．]
16．　[依题意，P为双曲线C和椭圆＋y2＝1在第一象限的交点，且双曲线与椭圆的焦点相同，
设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，
由双曲线过点，且F1(－1，0)，
可得a2＝b2＝，
故双曲线方程为＝1，
由椭圆和双曲线的定义知，
|PF1|＋|PF2|＝2＝，
解得|PF1|＝＝＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理的推论得cos ∠F1PF2＝．]
17．＝m，则|AB|＝2m，
根据双曲线的定义可知：|BF1|＝|BF|＋2a＝m＋2a，|AF1|＝|AF|－2a＝3m－2a，
由双曲线的对称性可知，O是AG的中点，O也是F1F的中点，
所以四边形AF1GF是平行四边形，又因为AF⊥GF，所以AF1⊥AB，
所以由勾股定理得，|BF1|2＝|AF1|2＋|AB|2，即(m＋2a)2＝(3m－2a)2＋4m2，化简得m＝a，
再由勾股定理得，|FF1|2＝|AF1|2＋|AF|2，即4c2＝(3m－2a)2＋9m2，
代入m＝a得，c2＝5a2，所以e＝．]
3/6命题区间15　圆锥曲线的方程与性质
(单项选择题每小题5分，多项选择题每小题6分，填空题每小题5分，共86分)
考向一　圆锥曲线的定义与标准方程
1．(2023·全国甲卷文T7改编题)已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则的最小值为(　　)
　
[A]9 [B]
[C]6 [D]
2．(2023·全国甲卷文T7子母题)已知F1，F2是椭圆C： ＝1的两个焦点，点M在C上，且|MF1|＝5，则点M到另一个焦点F2的距离为(　　)
[A]5 [B]
[C]1 [D]
3．(2024·新高考Ⅱ卷T5)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′中点M的轨迹方程为(　　)
[A]＝1(y>0) [B]＝1(y>0)
[C]＝1(y>0) [D]＝1(y>0)
4．(2023·天津卷T9子母题)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的焦距为10，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线C的方程为(　　)
[A]＝1 [B]＝1
[C]＝1 [D]＝1
5．(2023·全国甲卷文T7姊妹题)设P为椭圆C：＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为(　　)
[A] [B]
[C] [D]3
6．(2024·天津卷T8)双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　)
[A]＝1 [B]＝1
[C]＝1 [D]＝1
7．(多选)(2024·新高考Ⅰ卷T11)设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中曲线C的一部分．已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于－2，到点F(2，0)的距离与到定直线x＝a(a＜0)的距离之积为4，则(　　)
[A]a＝－2
[B]点(2，0)在C上
[C]C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
[D]当点(x0，y0)在C上时，y0≤
8．(2024·新高考Ⅰ卷T11姊妹题)在平面直角坐标系Oxy中，把到定点F1(－a，0)，F2(a，0)距离之积等于a2(a＞0)的点的轨迹称为双纽线．若a＝2，点P(x0，y0)为双纽线C上任意一点，则下列结论正确的个数为(　　)
①C不关于x轴对称；
②C关于y轴对称；
③直线y＝x与C只有一个交点；
④C上存在点P，使得|PF1|＝|PF2|．
[A]1 [B]2
[C]3 [D]4
考向二　圆锥曲线的几何性质
9．(2023·新高考Ⅰ卷T5)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2＝e1，则a＝(　　)
[A] [B]
[C] [D]
10．(2024·全国甲卷理T5)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　)
[A]4 [B]3
[C]2 [D]
11．(2024·新高考Ⅰ卷T12子母题)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，焦距为8，点P在双曲线C上，|OP|＝|OF2|，且△POF2的面积为8，则双曲线的离心率为(　　)
[A]2 [B]
[C] [D]4
12．(2024·新高考Ⅰ卷T12改编题)若椭圆＝1(a＞0)的离心率为，则该椭圆的焦距为(　　)
[A] [B]
[C]2或 [D]2或
13．(2022·北京卷T12)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________．
14．(2024·上海卷T7)已知抛物线y2＝4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为________．
15．(2023·新高考Ⅰ卷T16子母题)已知F1为双曲线＝1(a>0，b>0)的上焦点，若过F1的直线交双曲线的渐近线于D，E两点，且∠EF1O＋∠DOE＝π(O为坐标原点)，＝2，则双曲线的离心率为________．
16．(2023·新高考Ⅰ卷T16改编题)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是双曲线C的焦点，且双曲线经过点，点P(x0，y0)(x0>0，y0>0)为C上一点，且满足＝1，则cos ∠F1PF2＝________．
17．(2024·新高考Ⅰ卷T12改编题)如图所示，已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作直线l交双曲线C于A，B两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，＝2，且A，O，G三点共线(其中O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
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