高考真题衍生卷 命题区间16直线与圆锥曲线的位置关系--《高考快车道》2026版高考数学高考母题必读及衍生

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高考真题衍生卷 命题区间16直线与圆锥曲线的位置关系--《高考快车道》2026版高考数学高考母题必读及衍生

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高考真题衍生卷·命题区间16
1.D [依题意可设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为(x0,y0),设直线AB的方程为y=kx+m,与双曲线方程联立可得(9-k2)x2-2kmx-m2-9=0,则9-k2≠0,Δ=4k2m2+4(9-k2)(m2+9)>0,即k≠±3,且-k2+m2+9>0.由点A,B在双曲线上可得
两式作差可得(x1+x2)(x1-x2)-=0,
整理得,即9·.
对于A选项,直线AB的斜率为=9,则直线AB的方程为y-1=9(x-1),即y=9x-8,-k2+m2+9=-81+64+9<0,不合题意;
对于B选项,直线AB的斜率为,则直线AB的方程为y-2=,即y=+9<0,不合题意;
对于C选项,直线AB的斜率为=3,不合题意;
对于D选项,直线AB的斜率为,则直线AB的方程为y+4=(x+1),即y=+9>0,符合题意.故选D.]
2.AC [对于A,直线y=-过点,所以抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,所以=1,即p=2,则A正确,且抛物线C的方程为y2=4x;
对于B,设M,x1>x2,
由 消去y并化简得3x2-10x+3=0,解得x1=3,x2=,
所以,则B错误;
因为MN的中点的横坐标为,中点到抛物线的准线的距离为1+,
所以以MN为直径的圆与l相切,所以C正确;
又M,
所以|OM|===,
所以△OMN不是等腰三角形,所以D错误.故选AC.]
3. [由题意,知该双曲线的渐近线方程为y=±x,直线y=k(x-3)过定点(3,0).因为点(3,0)在双曲线内,所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点,则该直线与双曲线的渐近线平行,所以k=±.]
4.解:(1)记C的半焦距为c,由题得C的离心率e==2,①
由对称性不妨设C的顶点为(a,0),渐近线方程为bx-ay=0,则,②
又a2+b2=c2,③
联立①②③解得a=,
所以C的方程为=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(3-k2)x2-4kx-10=0,
所以
解得-<k<,且k≠±(*),
所以x1+x2=,
所以|AB|=

又点O到直线l的距离d=,
所以△AOB的面积S=·d=,
解得k=±1或k=±2,符合(*)式,
所以k=±1或k=±2.
5.解:(1)设F(c,0),由题设有c=1且,故,故a=2,故b=,
故椭圆C的方程为=1.
(2)证明:直线AB的斜率必定存在,设AB:y=k(x-4),A(x1,y1),B(x2,y2),
由可得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0,
故Δ=1 024k4-4(3+4k2)(64k2-12)>0,解得-又x1+x2=,
而N,故直线BN:y=,故yQ=,
所以y1-yQ=y1+
==k·
=k·=k·=0,
故y1=yQ,即AQ⊥y轴.
6.C [将直线y=x+m与椭圆方程联立得消去y,可得4x2+6mx+3m2-3=0,
因为直线与椭圆相交于A,B两点,则Δ=36m2-4×>0,解得-2设点F1到直线AB距离为d1,点F2到直线AB距离为d2,易知F1,
则d1=,=2,
解得m=-或m=-3(舍去).故选C.]
7.解:(1)由题意得抛物线C的准线方程为x=-.
因为点P(x0,2)在抛物线C上且到焦点F的距离为2,
所以解得
所以抛物线C的标准方程为y2=4x.
(2)由(1)得抛物线C的准线方程为x=-1,焦点F(1,0),
设Q(-1,m),直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2,
则直线l1的方程为y=k1(x+1)+m,
直线l2的方程为y=k2(x+1)+m.
令x=0可得M(0,k1+m),N(0,k2+m),
所以S△QMN=×1==,
所以|k1-k2|=2,即(k1-k2)2=20.
设过点Q的直线方程为y=k(x+1)+m,k≠0,

消去x得y2-+4=0,
因为直线y=k(x+1)+m与抛物线C相切,
所以Δ==0,
即k2+mk-1=0.
因为直线l1,l2均与抛物线C相切,
所以k1,k2是方程k2+mk-1=0的两实数根,
由根与系数的关系得k1+k2=-m,k1k2=-1.
由(k1-k2)2=20得(k1+k2)2-4k1k2=m2+4=20,
解得m=±4,
此时对于k2+mk-1=0,有Δ=m2+4>0,满足题意,
所以Q(-1,±4),
所以|QF|=.
4/4命题区间16 直线与圆锥曲线的位置关系
(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分,填空题每小题5分,解答题每小题15分,共66分)
考向一 直线与圆锥曲线的位置关系、中点弦问题
1.(2023·全国乙卷文T12)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是(  )
[A](1,1) [B](-1,2)
[C](1,3) [D](-1,-4)
2.(多选)(2023·新高考Ⅱ卷T10)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(  )
[A]p=2
[B]|MN|=
[C]以MN为直径的圆与l相切
[D]△OMN为等腰三角形
3.(2024·北京卷T13)若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点,则k的一个取值为________.
4.(15分)(2024·新高考Ⅰ卷T16改编题)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,顶点到渐近线的距离为.
(1)求C的方程;
(2)若直线l:y=kx+2交C于A,B两点,O为坐标原点,且△AOB的面积为2,求k的值.
5.(15分)(2024·全国甲卷理T20文T21)设椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F,点M在C上,且MF⊥x轴.
(1)求C的方程;
(2)过点P(4,0)的直线与C交于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证明:AQ⊥y轴.
考向二 弦长、面积问题
6.(2023·新高考Ⅱ卷T5)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=(  )
[A] [B]
[C]- [D]-
7.(15分)(2023·全国甲卷理T20文T21改编题)已知点P(x0,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,|PF|=2.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)点Q在抛物线C的准线上,过点Q作两条直线l1,l2均与抛物线C相切,分别交y轴于M,N两点,若△QMN的面积为,求|QF|.
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