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高考真题衍生卷·命题区间16
1．D　[依题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为(x0，y0)，设直线AB的方程为y＝kx＋m，与双曲线方程联立可得(9－k2)x2－2kmx－m2－9＝0，则9－k2≠0，Δ＝4k2m2＋4(9－k2)(m2＋9)＞0，即k≠±3，且－k2＋m2＋9＞0．由点A，B在双曲线上可得
两式作差可得(x1＋x2)(x1－x2)－＝0，
整理得，即9·．
对于A选项，直线AB的斜率为＝9，则直线AB的方程为y－1＝9(x－1)，即y＝9x－8，－k2＋m2＋9＝－81＋64＋9＜0，不合题意；
对于B选项，直线AB的斜率为，则直线AB的方程为y－2＝，即y＝＋9＜0，不合题意；
对于C选项，直线AB的斜率为＝3，不合题意；
对于D选项，直线AB的斜率为，则直线AB的方程为y＋4＝(x＋1)，即y＝＋9＞0，符合题意．故选D．]
2．AC　[对于A，直线y＝－过点，所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，所以＝1，即p＝2，则A正确，且抛物线C的方程为y2＝4x；
对于B，设M，x1＞x2，
由 消去y并化简得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝，
所以，则B错误；
因为MN的中点的横坐标为，中点到抛物线的准线的距离为1＋，
所以以MN为直径的圆与l相切，所以C正确；
又M，
所以|OM|＝＝＝，
所以△OMN不是等腰三角形，所以D错误．故选AC．]
3．　[由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0)．因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±．]
4．解：(1)记C的半焦距为c，由题得C的离心率e＝＝2，①
由对称性不妨设C的顶点为(a，0)，渐近线方程为bx－ay＝0，则，②
又a2＋b2＝c2，③
联立①②③解得a＝，
所以C的方程为＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(3－k2)x2－4kx－10＝0，
所以
解得－＜k＜，且k≠±(*)，
所以x1＋x2＝，
所以|AB|＝
．
又点O到直线l的距离d＝，
所以△AOB的面积S＝·d＝，
解得k＝±1或k＝±2，符合(*)式，
所以k＝±1或k＝±2．
5．解：(1)设F(c，0)，由题设有c＝1且，故，故a＝2，故b＝，
故椭圆C的方程为＝1．
(2)证明：直线AB的斜率必定存在，设AB：y＝k(x－4)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由可得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，
故Δ＝1 024k4－4(3＋4k2)(64k2－12)>0，解得－又x1＋x2＝，
而N，故直线BN：y＝，故yQ＝，
所以y1－yQ＝y1＋
＝＝k·
＝k·＝k·＝0，
故y1＝yQ，即AQ⊥y轴．
6．C　[将直线y＝x＋m与椭圆方程联立得消去y，可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
因为直线与椭圆相交于A，B两点，则Δ＝36m2－4×>0，解得－2设点F1到直线AB距离为d1，点F2到直线AB距离为d2，易知F1，
则d1＝，＝2，
解得m＝－或m＝－3(舍去)．故选C．]
7．解：(1)由题意得抛物线C的准线方程为x＝－．
因为点P(x0，2)在抛物线C上且到焦点F的距离为2，
所以解得
所以抛物线C的标准方程为y2＝4x．
(2)由(1)得抛物线C的准线方程为x＝－1，焦点F(1，0)，
设Q(－1，m)，直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，
则直线l1的方程为y＝k1(x＋1)＋m，
直线l2的方程为y＝k2(x＋1)＋m．
令x＝0可得M(0，k1＋m)，N(0，k2＋m)，
所以S△QMN＝×1＝＝，
所以|k1－k2|＝2，即(k1－k2)2＝20．
设过点Q的直线方程为y＝k(x＋1)＋m，k≠0，
由
消去x得y2－＋4＝0，
因为直线y＝k(x＋1)＋m与抛物线C相切，
所以Δ＝＝0，
即k2＋mk－1＝0．
因为直线l1，l2均与抛物线C相切，
所以k1，k2是方程k2＋mk－1＝0的两实数根，
由根与系数的关系得k1＋k2＝－m，k1k2＝－1．
由(k1－k2)2＝20得(k1＋k2)2－4k1k2＝m2＋4＝20，
解得m＝±4，
此时对于k2＋mk－1＝0，有Δ＝m2＋4＞0，满足题意，
所以Q(－1，±4)，
所以|QF|＝．
4/4命题区间16　直线与圆锥曲线的位置关系
(单项选择题每小题5分，多项选择题每小题6分，填空题每小题5分，解答题每小题15分，共66分)
考向一　直线与圆锥曲线的位置关系、中点弦问题
1．(2023·全国乙卷文T12)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　)
[A](1，1) [B](－1，2)
[C](1，3) [D](－1，－4)
2．(多选)(2023·新高考Ⅱ卷T10)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　)
[A]p＝2
[B]|MN|＝
[C]以MN为直径的圆与l相切
[D]△OMN为等腰三角形
3．(2024·北京卷T13)若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________．
4．(15分)(2024·新高考Ⅰ卷T16改编题)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，顶点到渐近线的距离为．
(1)求C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2交C于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为2，求k的值．
5．(15分)(2024·全国甲卷理T20文T21)设椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴．
(1)求C的方程；
(2)过点P(4，0)的直线与C交于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴．
考向二　弦长、面积问题
6．(2023·新高考Ⅱ卷T5)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　)
[A] [B]
[C]－ [D]－
7．(15分)(2023·全国甲卷理T20文T21改编题)已知点P(x0，2)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，|PF|＝2．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)点Q在抛物线C的准线上，过点Q作两条直线l1，l2均与抛物线C相切，分别交y轴于M，N两点，若△QMN的面积为，求|QF|．
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