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高考真题衍生卷·命题区间17
1．B　[抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，
设圆C的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0－1)2＋，
令x＝－得y2－2y0y＋3x0－＝0，
因为点C(x0，y0)在抛物线y2＝4x上，
故＝4x0(x0≥0)，
所以Δ＝－12x0＋3＝4x0＋3>0恒成立．
设A，则y1＋y2＝2y0，y1y2＝3x0－，
所以|FA|·|FB|＝
＝
＝
＝＝3|x0＋1|．
因为x0≥0，
所以|FA|·|FB|≥3，
即|FA|·|FB|的取值范围是[3，＋∞)．故选B．]
2．解：(1)由题意得e＝＝2，则c＝2，b＝．
(2)当b＝时，双曲线Γ：x2－＝1，且M(－2，0)，A2(1，0)．
因为点P在第一象限，所以∠PA2M为钝角，又△MA2P为等腰三角形，所以|A2P|＝|A2M|＝3．设点P(x0，y0)，且x0＞0，y0＞0，则
解得所以P．
(3)由题知A1(－1，0)，A2(1，0)，
当直线PQ的斜率为0时，此时＝0，不合题意．
设直线PQ：x＝my－2，
设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，又QO延长线交双曲线Γ于点R，
根据双曲线对称性知R(－x2，－y2)．
联立消去x化简得(b2m2－1)y2－4b2my＋3b2＝0，
显然二次项系数b2m2－1≠0，
其中Δ＝(－4mb2)2－4(b2m2－1)×3b2＝4b4m2＋12b2＞0，
所以y1＋y2＝．
＝(－x2＋1，－y2)，＝(x1－1，y1)，
则＝(－x2＋1)(x1－1)－y1y2＝1，
因为P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线PQ上，
则x1＝my1－2，x2＝my2－2，
即－(my2－3)(my1－3)－y1y2＝1，即y1y2(m2＋1)－3m(y1＋y2)＋10＝0，
所以(m2＋1)·＋10＝0，
即3b2(m2＋1)－3m·4b2m＋10(b2m2－1)＝0，
化简得b2m2＋3b2－10＝0，
所以m2＝－3，代入到b2m2－1≠0，得10－3b2≠1，所以b2≠3，且m2＝－3≥0，解得b2≤，又因为b＞0，则0＜b2≤，
综上知，b2∈(0，3)，
所以b的取值范围为．
3．解：(1)设M(x0，y0)是椭圆上一点，
所以|PM|＝
＝
＝．
即点P到椭圆上点的距离的最大值为．
(2)易知直线AB的斜率存在，设直线AB方程为y＝kx＋，B(x2，y2)，P(0，1)，
联立
消去y，整理得(1＋12k2)x2＋12kx－9＝0，
Δ＝144k2＋36(1＋12k2)＝36(1＋16k2)>0，
所以x1＋x2＝－，
直线PA的方程为y＝x＋1，
联立
整理得xC＝，
同理xD＝，
所以|CD|＝
＝
＝
＝，
令3k＋1＝m(m≠0)，
所以|CD|＝
＝，
所以当m＝，即k＝时，．
4．解：(1)因为点A(－2，0)在C上，所以＝1，得b2＝4．
因为椭圆的离心率e＝，所以c2＝a2，又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5，
故椭圆C的方程为＝1．
(2)证明：由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0，
则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k>0，
故x1＋x2＝－．
直线AP：y＝(x＋2)，令x＝0，解得yM＝，同理得yN＝，
则yM＋yN＝2×
＝2×
＝2×
＝2×
＝2×
＝6．
所以MN的中点的纵坐标为＝3，所以MN的中点为定点(0，3)．
5．解：(1)由题意可得，解得b2＝3，
所以椭圆E的方程为＝1，短轴长为2．
(2)由消y得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①
由Δ＝(8km)2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，得m2＝4k2＋3，
此时方程①可化为m2x2＋8kmx＋16k2＝0，
解得x＝－，
设P(x0，y0)，则x0＝－，
即P，所以k1＝．
因为l1∥l2，所以可设直线l2：y＝kx＋n(n≠0，n≠m)，
由消y得(4k2＋3)x2＋8knx＋4n2－12＝0，
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实根，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
因为A，C两点关于原点对称，所以C(－x1，－y1)，
所以k2＝．
所以k1＝k2，所以＝1．
5/5命题区间17　圆锥曲线的综合问题
(单项选择题每小题5分，解答题每小题15分，共65分)
考向一　最值、范围问题
1．(2023·全国甲卷理T20文T21姊妹题)已知C是抛物线y2＝4x上的动点，以C为圆心的圆过抛物线的焦点F，且圆C与直线x＝－相交于A，B两点，则|FA|·|FB|的取值范围是(　　)
[A][4，＋∞) [B][3，＋∞)
[C][2，＋∞) [D][1，＋∞)
2．(15分)(2024·上海卷T20 )已知双曲线Γ：x2－＝1(b＞0)，左、右顶点分别为A1，A2，过点M(－2，0)的直线交双曲线Γ于P，Q两点．
(1)若Γ的离心率为2，求b；
(2)若b＝，△MA2P为等腰三角形，且点P在第一象限，求点P的坐标；
(3)连接QO(O为坐标原点)并延长交Γ于点R，若＝1，求b的取值范围．
3．(15分)(2022·浙江卷T21)如图，已知椭圆＋y2＝1．设A，B是椭圆上异于P(0，1)的两点，且点Q在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y＝－x＋3于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求|CD|的最小值．
考向二　定点、定值问题
4．(15分)(2023·全国乙卷文T21)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2，0)在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
5．(15分)(2024·北京卷T19姊妹题)已知椭圆E：＝1(b2＜4)的离心率为．
(1)求椭圆E的方程和短轴长；
(2)设直线l1：y＝kx＋m与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于l1的直线l2与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C．记直线OP的斜率为k1，直线BC的斜率为k2，求的值．
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