高考真题衍生卷 命题区间17圆锥曲线的综合问题--《高考快车道》2026版高考数学高考母题必读及衍生

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高考真题衍生卷 命题区间17圆锥曲线的综合问题--《高考快车道》2026版高考数学高考母题必读及衍生

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高考真题衍生卷·命题区间17
1.B [抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),
设圆C的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=(x0-1)2+,
令x=-得y2-2y0y+3x0-=0,
因为点C(x0,y0)在抛物线y2=4x上,
故=4x0(x0≥0),
所以Δ=-12x0+3=4x0+3>0恒成立.
设A,则y1+y2=2y0,y1y2=3x0-,
所以|FA|·|FB|=


==3|x0+1|.
因为x0≥0,
所以|FA|·|FB|≥3,
即|FA|·|FB|的取值范围是[3,+∞).故选B.]
2.解:(1)由题意得e==2,则c=2,b=.
(2)当b=时,双曲线Γ:x2-=1,且M(-2,0),A2(1,0).
因为点P在第一象限,所以∠PA2M为钝角,又△MA2P为等腰三角形,所以|A2P|=|A2M|=3.设点P(x0,y0),且x0>0,y0>0,则
解得所以P.
(3)由题知A1(-1,0),A2(1,0),
当直线PQ的斜率为0时,此时=0,不合题意.
设直线PQ:x=my-2,
设点P(x1,y1),Q(x2,y2),又QO延长线交双曲线Γ于点R,
根据双曲线对称性知R(-x2,-y2).
联立消去x化简得(b2m2-1)y2-4b2my+3b2=0,
显然二次项系数b2m2-1≠0,
其中Δ=(-4mb2)2-4(b2m2-1)×3b2=4b4m2+12b2>0,
所以y1+y2=.
=(-x2+1,-y2),=(x1-1,y1),
则=(-x2+1)(x1-1)-y1y2=1,
因为P(x1,y1),Q(x2,y2)在直线PQ上,
则x1=my1-2,x2=my2-2,
即-(my2-3)(my1-3)-y1y2=1,即y1y2(m2+1)-3m(y1+y2)+10=0,
所以(m2+1)·+10=0,
即3b2(m2+1)-3m·4b2m+10(b2m2-1)=0,
化简得b2m2+3b2-10=0,
所以m2=-3,代入到b2m2-1≠0,得10-3b2≠1,所以b2≠3,且m2=-3≥0,解得b2≤,又因为b>0,则0<b2≤,
综上知,b2∈(0,3),
所以b的取值范围为.
3.解:(1)设M(x0,y0)是椭圆上一点,
所以|PM|=

=.
即点P到椭圆上点的距离的最大值为.
(2)易知直线AB的斜率存在,设直线AB方程为y=kx+,B(x2,y2),P(0,1),
联立
消去y,整理得(1+12k2)x2+12kx-9=0,
Δ=144k2+36(1+12k2)=36(1+16k2)>0,
所以x1+x2=-,
直线PA的方程为y=x+1,
联立
整理得xC=,
同理xD=,
所以|CD|=


=,
令3k+1=m(m≠0),
所以|CD|=
=,
所以当m=,即k=时,.
4.解:(1)因为点A(-2,0)在C上,所以=1,得b2=4.
因为椭圆的离心率e=,所以c2=a2,又a2=b2+c2=4+a2,所以a2=9,c2=5,
故椭圆C的方程为=1.
(2)证明:由题意知,直线PQ的斜率存在且不为0,设lPQ:y-3=k(x+2),P(x1,y1),Q(x2,y2),
由得(4k2+9)x2+(16k2+24k)x+16k2+48k=0,
则Δ=(16k2+24k)2-4(4k2+9)(16k2+48k)=-36×48k>0,
故x1+x2=-.
直线AP:y=(x+2),令x=0,解得yM=,同理得yN=,
则yM+yN=2×
=2×
=2×
=2×
=2×
=6.
所以MN的中点的纵坐标为=3,所以MN的中点为定点(0,3).
5.解:(1)由题意可得,解得b2=3,
所以椭圆E的方程为=1,短轴长为2.
(2)由消y得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,①
由Δ=(8km)2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,得m2=4k2+3,
此时方程①可化为m2x2+8kmx+16k2=0,
解得x=-,
设P(x0,y0),则x0=-,
即P,所以k1=.
因为l1∥l2,所以可设直线l2:y=kx+n(n≠0,n≠m),
由消y得(4k2+3)x2+8knx+4n2-12=0,
当Δ>0时,方程有两个不相等的实根,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,
因为A,C两点关于原点对称,所以C(-x1,-y1),
所以k2=.
所以k1=k2,所以=1.
5/5命题区间17 圆锥曲线的综合问题
(单项选择题每小题5分,解答题每小题15分,共65分)
考向一 最值、范围问题
1.(2023·全国甲卷理T20文T21姊妹题)已知C是抛物线y2=4x上的动点,以C为圆心的圆过抛物线的焦点F,且圆C与直线x=-相交于A,B两点,则|FA|·|FB|的取值范围是(  )
[A][4,+∞) [B][3,+∞)
[C][2,+∞) [D][1,+∞)
2.(15分)(2024·上海卷T20 )已知双曲线Γ:x2-=1(b>0),左、右顶点分别为A1,A2,过点M(-2,0)的直线交双曲线Γ于P,Q两点.
(1)若Γ的离心率为2,求b;
(2)若b=,△MA2P为等腰三角形,且点P在第一象限,求点P的坐标;
(3)连接QO(O为坐标原点)并延长交Γ于点R,若=1,求b的取值范围.
3.(15分)(2022·浙江卷T21)如图,已知椭圆+y2=1.设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=-x+3于C,D两点.
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;
(2)求|CD|的最小值.
考向二 定点、定值问题
4.(15分)(2023·全国乙卷文T21)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点A(-2,0)在C上.
(1)求C的方程;
(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.
5.(15分)(2024·北京卷T19姊妹题)已知椭圆E:=1(b2<4)的离心率为.
(1)求椭圆E的方程和短轴长;
(2)设直线l1:y=kx+m与椭圆E相切于第一象限内的点P,不过原点O且平行于l1的直线l2与椭圆E交于不同的两点A,B,点A关于原点O的对称点为C.记直线OP的斜率为k1,直线BC的斜率为k2,求的值.
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