资源简介 命题区间18 计数原理、二项式定理、概率(单项选择题每小题5分,多项选择题每小题6分,填空题每小题5分,共86分)考向一 计数原理1.(多选)(2023·新高考Ⅰ卷T13子母题)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法正确的是( )[A]若任意选择三门课程,选法总数为[B]若物理和化学至少选一门,选法总数为[C]若物理和历史不能同时选,选法总数为[D]若政治必须选,选法总数为2.(2023·新高考Ⅰ卷T13姊妹题)中国书法历史悠久,源远流长,书法作为一门艺术,以文字为载体,不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观.谈到书法艺术,就离不开汉字,汉字是书法艺术的精髓,汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性,使汉字书写成为一门独特的艺术,我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体.如图,以“国”字为例,现有5张分别写有一种书体的临摹纸,将其全部分给3名书法爱好者,每人至少1张,则不同的分法种数为( )[A]60 [B]90[C]120 [D]1503.(2023·全国甲卷理T9)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有( )[A]120种 [B]60种[C]30种 [D]20种4.(2024·上海卷T10)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两者之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值为________.5.(2024·新高考Ⅱ卷T14)在如图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有________种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是________.11 21 31 4012 22 33 4213 22 33 4315 24 34 446.(2024·新高考Ⅱ卷T14改编题)从3 210,4 321,5 432,6 543这4个四位数的每个数的不同数位中分别取出1个数字,使其积为0,并排列成1个新的四位数,则共有________个不同的四位数;在符合上述要求的四位数中最小的是________.考向二 二项式定理7.(2024·北京卷T4)在(x-)4的展开式中,x3的系数为( )[A]6 [B]-6[C]12 [D]-128.(2022·新高考Ⅰ卷T13改编题)已知(ax2+1)(a∈R)的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中x的系数为( )[A]-120 [B]-40[C]40 [D]1209.(2022·新高考Ⅰ卷T13姊妹题)已知(2x-y)5的展开式中x2y4的系数为80,则m的值为( )[A]-2 [B]2[C]-1 [D]110.(2024·上海卷T6)在(x+1)n的展开式中,若各项系数和为32,则展开式中x2的系数为________.11.(2024·全国甲卷理T13)的展开式中,各项系数的最大值是________.考向三 概率12.(2024·全国甲卷文T4)甲、乙、丙、丁四人排成一列,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是( )[A] [B][C] [D]13.(2023·全国甲卷理T6)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为( )[A]0.8 [B]0.6[C]0.5 [D]0.414.(2024·上海卷T8)某校举办科学竞技比赛,有A,B,C 3种题库,A题库有5 000道题,B题库有4 000道题,C题库有3 000道题.小申已完成所有题,他A题库的正确率是0.92,B题库的正确率是0.86,C题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题,正确率是________.15.(2024·全国甲卷理T16)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中不放回地随机抽取3次,每次取1个球.记m为前两次取出的球上数字的平均值,n为取出的三个球上数字的平均值,则m与n差的绝对值不超过的概率是________.16.(2023·天津卷T13)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球,其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为________;将三个盒子中的球混合后任取一个球,是白球的概率为________.17.(2024·天津卷T13)A,B,C,D,E五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为________;已知乙选了A活动,他再选择B活动的概率为________.4/4专题七 概率与统计高考真题衍生卷·命题区间181.AC [任意选择三门课程,选法总数为,A正确;物理和化学至少选一门,分两类,第一类:物理和化学选一门,有种选法,其余两门从剩余的五门中选两门,有种选法,共有种选法;第二类:物理和化学都选有种选法,其余一门从剩余的五门中选一门,有种选法,共有种选法.由分类加法计数原理知,选法总数为+,B错误;物理和历史不能同时选,选法总数为-=-,C正确;政治必须选,另两门从余下六门中任选两门,选法总数为,D错误.故选AC.]2.D [满足条件的分法可分为两类.第一类,其中一人三张,另两人各一张,符合条件的方法有=60种.第二类,其中一人一张,另两人各两张,符合条件的方法有=90种.由分类加法计数原理可得,满足条件的方法总数为60+90=150.故选D.]3.B [先从5人中选择1人两天均参加公益活动,有种方式;再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日,有种安排方式,所以不同的安排方式共有=60(种).故选B.]4.329 [由题意知集合中至多只有一个奇数,其余均是偶数.首先讨论三位数中的偶数,①当个位为0时,则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列,则这样的偶数有=72个;②当个位不为0时,则个位有个数字可选,百位有个数字可选,十位有个数字可选,根据分步乘法计数原理可得这样的偶数共有=256个;最后再加上单独的奇数,所以集合中元素个数的最大值为72+256+1=329.]5.24 112 [第一步,从第一行任选一个数,共有4种不同的选法;第二步,从第二行选一个与第一个数不同列的数,共有3种不同的选法;第三步,从第三行选一个与第一、二个数均不同列的数,共有2种不同的选法;第四步,从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数,只有1种选法.由分步乘法计数原理知,不同的选法种数为4×3×2×1=24.先按列分析,每列必选出一个数,故所选4个数的十位上的数字分别为1,2,3,4.再按行分析,第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1,3,3,5,故从第一行选21,从第二行选33,从第三行选43,从第四行选15,此时个位上的数字之和最大.故选中方格中的4个数之和的最大值为21+33+43+15=112.]6.57 2 046 [要使得积为0,则在3 210中只能取出个位0,所以在3 210,4 321,5 432,6 543中按题意要求的取法如图所示,所以共有6种符合要求的取法,则在第①种取法中,可排列3个四位数,在第②③⑥种取法中共可排列=36个,在第④⑤种取法中共可排列2×3×3=18个,故共有3+36+18=57个不同的四位数,其中最小的四位数为2 046.]7.A [4的二项展开式通项公式为Tk+1=k=(-1)kx(k=0,1,2,3,4),令4-=3,解得k=2,故所求即为(-1)2=6.故选A.]8.C [在(ax2+1)中,令x=1,可得展开式中各项系数的和为a+1=2,故a=1.所以(ax2+1)=(x2+1)·,所以该展开式中x的系数为-40+80=40.故选C.]9.A [(2x-y)5=(2x-y)5+my(2x-y)5,故展开式中含x2y4的项为(-y)3(2x)2=-40mx2y4,令-40m=80,解得m=-2.故选A.]10.10 [令x=1,所以(1+1)n=32,即2n=32,解得n=5,所以(x+1)5的展开式通项公式为Tk+1=·x5-k,令5-k=2,则k=3,所以T4=x2=10x2.故答案为10.]11.5 [二项式的展开式的通项公式为Tk+1=,0≤k≤10且k∈Z,设展开式中第k+1项系数最大,则 即,又k∈Z,故k=8,所以展开式中系数最大的项是第9项,且该项系数为=5.故答案为5.]12.B [画出树状图:甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法,其中丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有8种,所以所求概率为.故选B.]13.A [令事件A,B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪,事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰,则P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(AB)=P(A)+P(B)-0.7=0.4,所以P(C)=P(A|B)==0.8.故选A.]14.0.85 [由题意知,A,B,C题库的比例为5∶4∶3,各占比分别为,则根据全概率公式知所求正确率P=×0.92+×0.86+×0.72=0.85.故答案为0.85.]15. [从6个标有不同数字的球中不放回地抽取3次,共有=120(种),设前两个球的号码为a,b,第三个球的号码为c,则,故|2c-(a+b)|≤3,故-3≤2c-(a+b)≤3,故a+b-3≤2c≤a+b+3.若c=1,则a+b≤5,则(a,b)为(2,3),(3,2),故有2种;若c=2,则1≤a+b≤7,则(a,b)为(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,4),(4,1),(4,3),(5,1),(6,1),故有10种;若c=3,则3≤a+b≤9,则(a,b)为(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,5),(5,1),(5,2),(5,4),(6,1),(6,2),故有16种;若c=4,则5≤a+b≤11,同理有16种;若c=5,则7≤a+b≤13,同理有10种;若c=6,则9≤a+b≤15,同理有2种.则m与n的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为2×(2+10+16)=56,故所求概率为.]16. [设A=“从甲盒子中取一个球,是黑球”,B=“从乙盒子中取一个球,是黑球”,C=“从丙盒子中取一个球,是黑球”,由题意可知P(A)=40%=,P(B)=25%=,P(C)=50%=,现从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=设D1=“取到的球是甲盒子中的”,D2=“取到的球是乙盒子中的”,D3=“取到的球是丙盒子中的”,E=“取到的球是白球”,由题意可知P(D1)=,P(D2)=,P(D3)==1-=1-=1-=.]17. [法一:从五个活动中选三个的情况有:ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种情况,其中甲选到A有6种可能情况:ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,则甲选到A的概率为.乙选A活动有6种可能情况:ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,其中再选择B有3种可能情况:ABC,ABD,ABE,故乙选了A活动,他再选择B活动的概率为.法二:设甲、乙选到A为事件M,乙选到B为事件N,则甲选到A的概率为P(M)=.乙选了A活动,他再选择B活动的概率为P(N|M)=.]5/5 展开更多...... 收起↑ 资源列表 命题区间18 参考答案与精析.docx 高考真题衍生卷 命题区间18计数原理、二项式定理、概率--《高考快车道》2026版高考数学高考母题必读及衍生.docx