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命题区间18　计数原理、二项式定理、概率
(单项选择题每小题5分，多项选择题每小题6分，填空题每小题5分，共86分)
考向一　计数原理
1．(多选)(2023·新高考Ⅰ卷T13子母题)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是(　　)
[A]若任意选择三门课程，选法总数为
[B]若物理和化学至少选一门，选法总数为
[C]若物理和历史不能同时选，选法总数为
[D]若政治必须选，选法总数为
2．(2023·新高考Ⅰ卷T13姊妹题)中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术，我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体．如图，以“国”字为例，现有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同的分法种数为(　　)
[A]60 [B]90
[C]120 [D]150
3．(2023·全国甲卷理T9)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　)
[A]120种 [B]60种
[C]30种 [D]20种
4．(2024·上海卷T10)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，则集合中元素个数的最大值为________．
5．(2024·新高考Ⅱ卷T14)在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．
11 21 31 40
12 22 33 42
13 22 33 43
15 24 34 44
6．(2024·新高考Ⅱ卷T14改编题)从3 210，4 321，5 432，6 543这4个四位数的每个数的不同数位中分别取出1个数字，使其积为0，并排列成1个新的四位数，则共有________个不同的四位数；在符合上述要求的四位数中最小的是________．
考向二　二项式定理
7．(2024·北京卷T4)在(x－)4的展开式中，x3的系数为(　　)
[A]6 [B]－6
[C]12 [D]－12
8．(2022·新高考Ⅰ卷T13改编题)已知(ax2＋1)(a∈R)的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中x的系数为(　　)
[A]－120 [B]－40
[C]40 [D]120
9．(2022·新高考Ⅰ卷T13姊妹题)已知(2x－y)5的展开式中x2y4的系数为80，则m的值为(　　)
[A]－2 [B]2
[C]－1 [D]1
10．(2024·上海卷T6)在(x＋1)n的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为________．
11．(2024·全国甲卷理T13)的展开式中，各项系数的最大值是________．
考向三　概率
12．(2024·全国甲卷文T4)甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
13．(2023·全国甲卷理T6)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　)
[A]0.8 [B]0.6
[C]0.5 [D]0.4
14．(2024·上海卷T8)某校举办科学竞技比赛，有A，B，C 3种题库，A题库有5 000道题，B题库有4 000道题，C题库有3 000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是________．
15．(2024·全国甲卷理T16)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n差的绝对值不超过的概率是________．
16．(2023·天津卷T13)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为________．
17．(2024·天津卷T13)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A的概率为________；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为________．
4/4专题七　概率与统计
高考真题衍生卷·命题区间18
1．AC　[任意选择三门课程，选法总数为，A正确；物理和化学至少选一门，分两类，第一类：物理和化学选一门，有种选法，其余两门从剩余的五门中选两门，有种选法，共有种选法；第二类：物理和化学都选有种选法，其余一门从剩余的五门中选一门，有种选法，共有种选法．由分类加法计数原理知，选法总数为＋，B错误；物理和历史不能同时选，选法总数为－＝－，C正确；政治必须选，另两门从余下六门中任选两门，选法总数为，D错误．
故选AC．]
2．D　[满足条件的分法可分为两类．第一类，其中一人三张，另两人各一张，符合条件的方法有＝60种．第二类，其中一人一张，另两人各两张，符合条件的方法有＝90种．由分类加法计数原理可得，满足条件的方法总数为60＋90＝150．故选D．]
3．B　[先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有种安排方式，所以不同的安排方式共有＝60(种)．故选B．]
4．329　[由题意知集合中至多只有一个奇数，其余均是偶数．
首先讨论三位数中的偶数，
①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有＝72个；
②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，根据分步乘法计数原理可得这样的偶数共有＝256个；
最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为72＋256＋1＝329．]
5．24　112　[第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法；第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的数，共有3种不同的选法；第三步，从第三行选一个与第一、二个数均不同列的数，共有2种不同的选法；第四步，从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数，只有1种选法．
由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4×3×2×1＝24．
先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1，2，3，4．再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第四行选15，此时个位上的数字之和最大．故选中方格中的4个数之和的最大值为21＋33＋43＋15＝112．]
6．57　2 046　[要使得积为0，则在3 210中只能取出个位0，所以在3 210，4 321，5 432，6 543中按题意要求的取法如图所示，
所以共有6种符合要求的取法，则在第①种取法中，可排列3个四位数，在第②③⑥种取法中共可排列＝36个，在第④⑤种取法中共可排列2×3×3＝18个，故共有3＋36＋18＝57个不同的四位数，其中最小的四位数为2 046．]
7．A　[4的二项展开式通项公式为Tk＋1＝k＝(－1)kx(k＝0，1，2，3，4)，令4－＝3，解得k＝2，故所求即为(－1)2＝6．故选A．]
8．C　[在(ax2＋1)中，令x＝1，可得展开式中各项系数的和为a＋1＝2，故a＝1．
所以(ax2＋1)＝(x2＋1)·，
所以该展开式中x的系数为－40＋80＝40．故选C．]
9．A　[(2x－y)5＝(2x－y)5＋my(2x－y)5，故展开式中含x2y4的项为(－y)3(2x)2＝－40mx2y4，令－40m＝80，解得m＝－2．故选A．]
10．10　[令x＝1，所以(1＋1)n＝32，即2n＝32，解得n＝5，
所以(x＋1)5的展开式通项公式为Tk＋1＝·x5-k，令5－k＝2，则k＝3，所以T4＝x2＝10x2．故答案为10．]
11．5　[二项式的展开式的通项公式为Tk＋1＝，0≤k≤10且k∈Z，设展开式中第k＋1项系数最大，
则 即，又k∈Z，故k＝8，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为＝5．故答案为5．]
12．B　[画出树状图：
甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为．故选B．]
13．A　[令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，所以P(C)＝P(A|B)＝＝0.8．故选A．]
14．0．85　[由题意知，A，B，C题库的比例为5∶4∶3，
各占比分别为，
则根据全概率公式知所求正确率P＝×0.92＋×0.86＋×0.72＝0.85．故答案为0.85．]
15．　[从6个标有不同数字的球中不放回地抽取3次，共有＝120(种)，
设前两个球的号码为a，b，第三个球的号码为c，则，
故|2c－(a＋b)|≤3，故－3≤2c－(a＋b)≤3，
故a＋b－3≤2c≤a＋b＋3．
若c＝1，则a＋b≤5，则(a，b)为(2，3)，(3，2)，故有2种；
若c＝2，则1≤a＋b≤7，则(a，b)为(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，4)，(4，1)，(4，3)，(5，1)，(6，1)，故有10种；
若c＝3，则3≤a＋b≤9，则(a，b)为(1，2)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(4，1)，(4，2)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，故有16种；
若c＝4，则5≤a＋b≤11，同理有16种；
若c＝5，则7≤a＋b≤13，同理有10种；
若c＝6，则9≤a＋b≤15，同理有2种．
则m与n的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为2×(2＋10＋16)＝56，故所求概率为．]
16．　[设A＝“从甲盒子中取一个球，是黑球”，B＝“从乙盒子中取一个球，是黑球”，C＝“从丙盒子中取一个球，是黑球”，由题意可知P(A)＝40%＝，P(B)＝25%＝，P(C)＝50%＝，现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝设D1＝“取到的球是甲盒子中的”，D2＝“取到的球是乙盒子中的”，D3＝“取到的球是丙盒子中的”，E＝“取到的球是白球”，由题意可知P(D1)＝，P(D2)＝，P(D3)＝＝1－＝1－＝1－＝．]
17．　[法一：从五个活动中选三个的情况有：
ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种情况，
其中甲选到A有6种可能情况：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，
则甲选到A的概率为．
乙选A活动有6种可能情况：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，
其中再选择B有3种可能情况：ABC，ABD，ABE，
故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为．
法二：设甲、乙选到A为事件M，乙选到B为事件N，
则甲选到A的概率为P(M)＝．
乙选了A活动，他再选择B活动的概率为P(N|M)＝．]
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