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高考真题衍生卷·命题区间19
1．　[因为甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分最多为3．
若甲的总得分为3，则甲出卡片3，5，7时都赢，所以只有1种组合：3－2，5－4，7－6，1－8．
若甲的总得分为2，有以下三类情况：
第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为3－2，5－4，1－6，7－8；
第二类，当甲出卡片3和7时赢，有3－2，7－4，1－6，5－8或3－2，7－4，1－8，5－6或3－2，7－6，1－4，5－8，共3种组合；
第三类，当甲出卡片5和7时赢，有5－2，7－4，1－6，3－8或5－2，7－4，1－8，3－6或5－4，7－2，1－6，3－8或5－4，7－2，1－8，3－6或5－2，7－6，1－4，3－8或5－2，7－6，1－8，3－4或5－4，7－6，1－2，3－8，共7种组合．
综上，甲的总得分不小于2共有12种组合，而所有不同的组合共有4×3×2×1＝24(种)，所以甲的总得分不小于2的概率P＝．]
2．　[5次比较中，X的可能取值为0，1，2，3，4，由题意得X＝0时，只有1种情况；X＝1时，①甲的数据大于乙：甲为66，则乙为53时有1种情况，乙为49有2种情况，乙为40有4种情况，乙为25时有8种情况；②甲的数据大于乙：甲为50，则乙为49时有1种情况，乙为40有2种情况，乙为25时有4种情况；③甲的数据大于乙：甲为43，则乙为40时有1种情况，乙为25时有2种情况，④甲的数据大于乙：甲为30，则乙为25时有1种情况，共有1＋2＋4＋8＋1＋2＋4＋1＋2＋1＝26种；X＝4时，只有1种情况．所以P(2≤X≤3)＝1－．]
3．解：(1)共计1 000份，其中索赔次数不少于2的共有60＋30＋10＝100(份)，
所以所求概率为＝0.1．
(2)(ⅰ)由题意得X的所有可能取值为0.4，－0.4，－1.2，－2.0，－2.6，
P(X＝0.4)＝；
P(X＝－0.4)＝；P(X＝－1.2)＝；
P(X＝－2.0)＝；P(X＝－2.6)＝，
所以E(X)＝0.4×－0.4×－1.2×－2.0×－2.6×＝0.122．
(ⅱ)这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值比(ⅰ)中E(X)估计值大．
4．解：(1)这8名同学的成绩中大众一级、大众二级、大众三级的人数分别为2，4，2，
则抽取的2名同学的成绩中至少有1名同学的成绩为大众一级的概率P1＝．
(2)(ⅰ)由(1)得，抽取的3名同学的成绩中恰有2名成绩为大众二级的概率P2＝．
(ⅱ)X的可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝3)＝，由(ⅰ)得P(X＝2)＝，
所以X的分布列为
故E(X)＝0×．
5．解：(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，
所以P＋P(B1B2)＝＝0.5×＋0.5×0.8＝0.6．
(2)设P＝pi，依题可知，P，
则P＋P(BiAi＋1)＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)，即pi＋1＝0.6pi＋＝0.4pi＋0.2，
所以pi＋1－，又p1－≠0，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以pi－，
即pi＝．
(3)由题意得甲第i次投篮次数Yi服从两点分布，且P(Yi＝1)＝1－P(Yi＝0)＝pi，
＝．
综上所述，E(Y)＝，n∈N*．
6．A　[因为随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，且P(ξ<5)＝0.7，所以P(1<ξ<3)＝P(3<ξ<5)＝P(ξ<5)－P(ξ≤3)＝0.7－0.5＝0.2．故选A．]
7．AD　[对于A，该校学生的体能检测结果的期望为μ＝75，故A正确．
对于B，该校学生的体能检测结果的标准差为σ＝＝9，故B不正确．
对于C，因为μ－2σ＝75－18＝57<60，
所以P(X≥60)对于D，因为60＋90＝2μ，所以P(X<60)＝P(X>90)，
所以该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等，故D正确．故选AD．]
8．0.4　[因为正态曲线关于直线x＝2对称，所以P(1≤ξ<2)＝[1－2(1－0.9)]＝0.4．]
9．2　　[设入选人数为X，则X～，则E(X)＝4×＝2．
每位男教师入选的概率为，每位女教师入选的概率是，
设男教师和女教师入选人数相等为事件A，则P(A)＝．]
3/3命题区间19　随机变量及其分布
(单项选择题每小题5分，多项选择题每小题6分，填空题每小题5分，解答题每小题13分，共70分)
考向一　随机变量及其分布列、均值和方差
1．(2024·新高考Ⅰ卷T14)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用)．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为________．
2．(2024·新高考Ⅰ卷T14姊妹题)甲、乙两名质检员对某产品零件的质量进行检测，已知两人分别从50个零件中抽5个进行检测，甲测得数据分别为20 g，30 g，43 g，50 g，66 g；乙测得数据分别为25 g，40 g，49 g，53 g，67 g．现不放回地从甲、乙两人测得的数据中分别随机抽取一个进行比较，若抽取5次，记抽得的甲的数据大于乙的数据的次数为X，则P(2≤X≤3)＝________．
3．(13分)(2024·北京卷T18改编)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1 000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．
假设不同保单的索赔次数相互独立，用频率估计概率．
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
(ⅰ)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X)；
(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(ⅰ)中E(X)估计值的大小．(结论不要求证明)
4．(13分)(2024·新高考Ⅱ卷T18姊妹题)大众中长跑等级标准显示：年龄在16～34岁的男子3 000米长跑分为大众一级、大众二级、大众三级，其成绩(*分*秒)标准分别约为10：19，11：23，12：48．某高校春季运动会男子3 000米前8名的成绩统计如下：
名次 1 2 3 4
成绩 10：05 10：17 10：47 10：54
名次 5 6 7 8
成绩 11：13 11：17 11：28 11：32
(1)从这8名同学的成绩中随机抽取2名同学的成绩，求至少有1名同学的成绩达到大众一级的概率；
(2)从这8名同学的成绩中随机抽取3名同学的成绩．
(ⅰ)求这3名同学的成绩中恰有2名同学的成绩为大众二级的概率；
(ⅱ)记X为这3名同学的成绩中大众二级的人数，求X的分布列及数学期望．
5．(13分)(2023·新高考Ⅰ卷T21)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，
记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．
考向二　二项分布、超几何分布与正态分布
6．(2024·新高考Ⅰ卷T9子母题)已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，且P(ξ<5)＝0.7，则P(1<ξ<3)＝(　　)
[A]0.2 [B]0.35
[C]0.5 [D]0.7
7．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷T13改编题)某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼．学生的体能检测结果X服从正态分布N(75，81)，其中60为体能达标线，90为体能优秀线，下列说法正确的有(　　)
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
[A]该校学生的体能检测结果的期望为75
[B]该校学生的体能检测结果的标准差为81
[C]该校学生的体能达标率超过0.98
[D]该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等
8．(2024·新高考Ⅰ卷T9改编题)若随机变量ξ～N(2，σ2)，P(ξ≤3)＝0.9，则P(1≤ξ<2)＝________．
9．(补偿题)某校数学组有两名男教师和两名女教师共四名教师报名参加志愿者服务，若每位教师入选的概率都是，则入选人数的均值是________，若每位男教师入选的概率是，每位女教师入选的概率还是，则男教师和女教师入选人数相等时的概率为________．
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