资源简介 基本初等函数、函数与方程 指数函数、对数函数与幂函数命题角度:(1)指数与对数的运算及其应用;(2)指数函数与对数函数的图象与性质及其应用;(3)二次函数与幂函数的图象与性质及其应用.典例1 (2024·全国甲卷理T15文T15)已知a>1且=-,则a=________.命题立意:本题属于课程学习情境,以对数为载体,考查对数的运算性质与换底公式的应用,体现了数学运算的学科素养.思维拆解 解题思路 名师点拨第1步:利用换底公式,换成相同底的对数. 第2步:利用对数的运算性质,化简对数. 第3步:把loga2看作一个整体解方程,进而求a. 解:因为=-(a>1), 所以loga8-=0, 即=0, 即3loga2-=0, 整理可得(loga2+1)(6loga2-1)=0. 因为a>1,所以loga2=, 解得a=64. (1)关键:利用对数换底公式,换成相同底的对数. (2)易错:忽视对参数a的讨论致误,对于底数含有参数的对数(指数),一般需对底数进行分类讨论.归纳总结:对数运算的一般思路 (1)在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并. (2)将同底对数的和、差、倍合并. (3)利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式.典例2 (2024·天津卷T5)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为( )A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a命题立意:本题以指数式和对数式为载体,考查指数、对数函数的性质,以及比较大小问题,属于课程学习情境,体现了逻辑推理、数学运算的学科素养.思维拆解 解题思路 名师点拨第1步:a与b同底,利用y=4.2x的单调性比较. 第2步:比较幂和对数与0的大小. 解:因为y=4.2x在R上单调递增,且-0.3<0<0.3, 所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3, 所以0<4.2-0.3<1<4.20.3,即0<a<1<b. 因为y=log4.2x在(0,+∞)上单调递增,且0<0.2<1, 所以log4.20.2<log4.21=0,即c<0. 所以b>a>c.故选B. (1)当两个数都是指数幂或对数式时,可将其看成指数函数、对数函数或幂函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较大小. (2)在指数、对数中通常优先选择“-1,0,1”对所比较的数进行划分. 函数与方程命题角度:(1)确定函数零点的个数或其存在情况;(2)已知函数零点个数或存在情况求参数的取值范围.典例3 (2024·新高考Ⅱ卷T6)设函数f (x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax,当x∈(-1,1)时,曲线y=f (x)与y=g(x)恰有一个交点,则a=( )A.-1 B. C.1 D.2命题立意:本题以二次函数、余弦函数为载体,考查函数零点问题,同时考查函数的性质,有较强的综合性,需要学生有良好的学科素养.思维拆解 解题思路 名师点拨方法一:令F(x)=ax2+a-1,G(x)=cos x,结合偶函数F(x),G(x)的对称性可知曲线y=F(x)与y=G(x)有一个交点,则该交点只能在y轴上. 方法二:分离参数法. 解:法一:令f (x)=g(x),得a(x+1)2-1=cos x+2ax, 即ax2+a-1=cos x,令F(x)=ax2+a-1, G(x)=cos x,原题意等价于当x∈(-1,1)时, 曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点, 因为F(x),G(x)均为偶函数,可知该交点只能在y轴上,可得F(0)=G(0),即a-1=1,解得a=2.故选D. 法二:由题意得f (x)=g(x),整理得a=,易得y=为偶函数,要使y=f (x)与y=g(x)恰有一个交点,所以两图象在x=0处相切,即a==2,所以a=2.故选D. (1)若按原函数的关系来研究曲线的交点,问题会很复杂,可将两函数合并后再重新组合,借助函数的图象与性质求解. (2)正难则反:偶函数的图象关于y轴对称,若x≠0,则至少有两个零点.归纳总结:已知函数零点情况求参数值或取值范围的方法和思路 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围. (2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.3/3 展开更多...... 收起↑ 资源预览