资源简介

　导数的几何意义及函数的单调性
　　　　导数的概念、几何意义及基本运算
命题角度：(1)导数的概念；(2)导数的基本运算；(3)利用导数求切线问题．
典例1　(2024·新高考Ⅰ卷T13)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________．
命题立意：本题以指数函数与一次函数构成的新函数以及对数型复合函数为载体，考查导数的几何意义及基本运算，体现了理性思维和数学运算的学科素养．考教衔接：本题源自人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T13．
思维拆解 解题思路 名师点拨
第1步：求导． 第2步：求出y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程． 第3步：求导，设出曲线y＝ln (x＋1)＋a的切点坐标． 第4步：利用公切线斜率相等，求出x0． 第5步：求出切线方程，进而由两切线重合，求出a． 解：由y＝ex＋x得y′＝ex＋1，y′|x＝0＝e0＋1＝2， 故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1． 由y＝ln (x＋1)＋a得y′＝，设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)，由两曲线有公切线得＝2，解得x0＝－，则切点为，切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2， 根据两切线重合，得a－ln 2＝0，解得a＝ln 2． (1)易错：当曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线与x轴垂直时，函数在该点处的导数不存在，切线方程为x＝x0． (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标．
归纳总结：(1)两曲线y＝f (x)，y＝g(x)在公共点(a，b)处有相同的切线，则满足方程组解此方程组可得a，进而得b后得出切线方程． (2)求与曲线y＝f (x)，y＝g(x)切点不同的公切线，分别设出切点坐标(x1，f (x1))，(x2，g(x2))，满足方程组f ′(x1)＝g′(x2)＝，据此解得x1或者x2，即可求得公切线方程．
　　　　函数的单调性
命题角度：(1)利用导数研究函数的单调性；(2)单调性的简单应用．
典例2　(2023·全国乙卷文T20)已知函数f (x)＝ln (1＋x)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)若函数f (x)在(0，＋∞)单调递增，求a的取值范围．
命题立意 审题指导
本题以对数型函数与反比例函数构成的新函数为载体，考查导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，属于课程学习情境． (1)当a＝－1时，由f (x)＝ln (1＋x)求f ′(x)，f (1)，由f ′(1)求切线方程． (2)f (x)→f ′(x)，f (x)单调递增的充要条件→构造函数g(x)＝ax2＋x－(1＋x)ln (1＋x)→g′(x)a的取值范围．
思维拆解 解题思路 名师点拨
(1)第1步：求f ′(x)． 第2步：求f (1)，f ′(1)． 第3步：求切线方程． (2)第1步：求出f (x)单调递增的充要条件． 第2步：分类讨论，求a的取值范围． 解：(1)当a＝－1时，f (x)＝ln (1＋x)， f ′(x)＝－·ln (1＋x)＋， 所以f ′(1)＝－ln 2， 又f (1)＝0，所以曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y－0＝－(x－1)ln 2，即x ln 2＋y－ln 2＝0． (2)由题意得f ′(x)＝－ln (1＋x)＋≥ 0(x>0)，即 ≥0(x>0)，因为x2(1＋x)>0，所以只需满足ax2＋x－(1＋x)ln (1＋x)≥0(x>0)． 设g(x)＝ax2＋x－(1＋x)ln (1＋x)， 则g′(x)＝2ax＋1－ln (1＋x)－1＝2ax－ln (1＋x)． 若a≤0，则g′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，于是在(0，＋∞)上g(x)0，设h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝2a－，h′(0)＝2a－1． ①若0－1时，h′(x)>0， 所以h(x)即g′(x)在上单调递减，在上单调递增，于是当0h′(0)＝2a－1≥0，所以h(x)即g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以在(0，＋∞)上g′(x)>g′(0)＝0，于是g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以在(0，＋∞)上g(x)>g(0)＝0，满足题意． 综上所述，a的取值范围为． (1)第(1)问比较常规，切勿失分． (2)利用导数研究单调性时，要注意： ①题目中函数定义域是否有限制； ②在对含参问题进行分类讨论时，分类要做到“不重不漏、层次分明”． (3)分类依据：令h′(x)＝0得x＝－1，对于导数的含参零点，应从三个方面进行讨论： ①零点无意义； ②零点不在定义域内； ③零点在定义域内，与其他已知零点进行大小讨论．由此可知应讨论0归纳总结：(1)正确地分类讨论是解决问题的关键． (2)用导数证明不等式的关键在于构造函数，由作差或者作商构造函数是最基本的方法．
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