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　函数的极值与最值
利用导数研究函数的极值
命题角度：(1)根据函数图象判断极值；(2)求已知函数的极值；(3)已知极值(点)求参数．
典例1　(多选)(2023·新高考Ⅱ卷T11)若函数f (x)＝a ln x＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　)
A．bc>0　 B．ab>0　 C．b2＋8ac>0 　D．ac<0
命题立意：本题以对数函数与幂函数构成的新函数为载体，考查利用导数解决函数的极值，属于课程学习情境．
思维拆解 解题思路 名师点拨
第1步：确定函数定义域． 第2步：求导函数． 第3步：确定方程根的情况． 第4步：列方程组，得结论． 解：函数定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x)＝＝， 因为函数f (x)既有极大值也有极小值，则函数f ′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0， 因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2， 于是即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，显然a2bc<0，即bc<0，A错误，BCD正确，故选BCD. (1)定义域优先原则． (2)掌握极值点处的导函数值等于0. (3)在做选择题时，不能只算出一个结果就选，要全面考虑，挖掘出题目中的限制条件，以防忽略某个条件而漏选、错选．
典例2　(2024·新高考Ⅱ卷T16)已知函数f (x)＝ex－ax－a3.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)若f (x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
命题立意 审题指导
本题以指数函数与一次函数构成的新函数为载体，考查导数的基本运算，导数的几何意义以及利用导数研究函数极值，体现了数学运算、逻辑推理的核心素养． (1)a＝1→f (x)→f (1)，f ′(x)→f ′(1)切线方程． (2)f ′(x)a＞0f (x)在x＝ln a处取得极小值1－ln a－a2＜0. 方法一(导数法)：设新函数g(a)→利用导数研究g(a)的单调性→a的取值范围． 方法二(图象法)：设新函数y＝ln a与y＝－a2＋1―→利用函数图象求得a的取值范围．
思维拆解 解题思路 名师点拨
(1)第1步：求当a＝1时函数的解析式与导函数． 第2步：求切线的斜率与切点坐标． 第3步：求切线方程． (2)第1步：求导． 第2步：讨论函数的单调性，求出极小值． 第3步：根据极小值小于0求a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f (x)＝ex－x－1，则f ′(x)＝ex－1， 则f (1)＝e－2，f ′(1)＝e－1. 所以切点坐标为(1，e－2)，切线斜率为e－1. 所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0. (2)易知函数f (x)的定义域为R，f ′(x)＝ex－a. 当a≤0时，f ′(x)＞0，函数f (x)在R上单调递增，无极值； 当a＞0时，由f ′(x)＞0，得x＞ln a，由f ′(x)＜0，得x＜ln a， 所以函数f (x)在区间(－∞，ln a)上单调递减，在区间(ln a，＋∞)上单调递增，所以f (x)的极小值为f (ln a)＝a－a ln a－a3. 由题意知a－a ln a－a3＜0(a＞0)，等价于1－ln a－a2＜0(a＞0)． 法一(导数法)：令g(a)＝1－ln a－a2(a＞0)， 则g′(a)＝－－2a＝＜0， 所以函数g(a)在(0，＋∞)上单调递减， 又g(1)＝0，故当0＜a＜1时，g(a)＞0；当a＞1时，g(a)＜0. 故实数a的取值范围为(1，＋∞)． 法二(图象法)：由1－ln a－a2＜0(a＞0)，得ln a＞－a2＋1(a＞0)．如图为函数y＝ln a与y＝－a2＋1在区间(0，＋∞)上的大致图象， 由图易知当a＞1时，ln a＞－a2＋1，即1－ln a－a2＜0. 所以实数a的取值范围为(1，＋∞)． (1)求曲线的切线方程时注意条件是“过点”还是“在点”的差异，“过点P”的切线中，点P不一定是切点，也不一定在已知曲线上，而在点P的切线，必以点P为切点． (2)f ′(x)的符号与a的取值有关． (3)易错：对函数极值的充要条件把握不准致误，一般地，f ′(x0)＝0时，若f ′(x)在x＝x0两侧符号相反，则函数f (x)在x＝x0处存在极值；若f ′(x)在x＝x0两侧符号相同，则函数f (x)在x＝x0处不存在极值．因此，在根据极值条件求参数的值的问题中，应按照函数在这一点取得极值所对应的条件检验每一组．解对应的函数在该点是否能取得极值，从而进行取舍． (4)若函数y＝f (x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f (x)在(a，b)内不是单调函数． 归纳总结：已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
利用导数研究最值问题
利用导数求函数的最值：(1)比较法：求出函数y＝f (x)在区间(a，b)上的极值及在端点处的函数值f (a)，f (b)，通过比较大小可求得y＝f (x)的最值．(2)构造函数法：构造函数，通过求导，利用函数的单调性求最值．
典例3　(2022·全国乙卷文T11)函数f ＝cos x＋sin x＋1在区间的最小值、最大值分别为(　　)
A．－　　　　　　 B．－　　　　　
C．－＋2　　　　　 D．－＋2
命题立意：本题属于课程学习情境．以三角函数为载体，考查利用导数求函数的最值，考查的知识是导数的运算法则、函数的单调性、最值等，体现了数学运算、直观想象等核心素养．
思维拆解 解题思路 名师点拨
第1步：求导． 第2步：求极值． 第3步：与端点值比较得最值． 解：因为f (x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0，2π]， 则f ′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x， 令cos x＝0得x＝或， 当x∈时，f ′(x)>0，f (x)单调递增； 当x∈时，f ′(x)<0，f (x)单调递减； 当x∈时，f ′(x)>0，f (x)单调递增， 所以f (x)在区间[0，2π]上的极大值为f ＝＋2，极小值为f ＝－，又因为f (0)＝2，f (2π)＝2， 所以函数f (x)在区间[0，2π]的最小值为－，最大值为＋2.故选D. (1)不能忽略函数f (x)的定义域． (2)熟记公式，避免求导错误．
典例4　(2022·新高考Ⅰ卷T22)已知函数f (x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f (x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
命题立意 审题指导
本题属于探索创新情境，以指数函数和对数函数为载体，考查函数最值和等差数列，考查导数运算、函数单调性、最值、等差数列等知识，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养． (1)f (x)，g(x)单调性 a＝1. (2)设直线y＝b与曲线y＝f (x)和y＝g(x)的三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1思维拆解 解题思路 名师点拨
(1)第1步：求导． 第2步：求最值． 对a分类讨论，利用导数正负判断单调性，结合单调性求最小值． 第3步：构建函数． 根据最小值相等列方程，构建函数． 第4步：求a. 判断构造函数的单调性，通过求h(x)零点进而求a的值． (2)第1步：求最小值．判断f (x)，g(x)的单调性，然后求最小值． 第2步：根据直线y＝b与曲线y＝f (x)和y＝g(x)有三个不同交点，可知直线y＝b经过y＝f (x)和y＝g(x)的交点． 第3步：同构函数g(x)＝f (ln x)，通过代换得证三个交点的横坐标从左到右成等差数列． 解：(1)f ′(x)＝ex－a，g′(x)＝a－. 若a≤0，f ′(x)>0在R上恒成立，f (x)在R上单调递增，即f (x)无最小值． 若a>0，当x∈(－∞，ln a)时，f ′(x)<0，f (x)单调递减， 当x∈(ln a，＋∞)时，f ′(x)>0，f (x)单调递增． 所以f (x)在x＝ln a处取得最小值f (ln a)＝a－a ln a. 当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以g(x)在x＝处取得最小值g＝1＋ln a， 所以a－a ln a＝1＋ln a(a>0)， 即ln a＋－1＝0. 令h(x)＝ln x＋－1(x>0)， 则h′(x)＝＝>0， 所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又h(1)＝0， 所以h(x)在(0，＋∞)上有唯一零点x＝1，所以a＝1. (2)证明：由(1)得f (x)＝ex－x，g(x)＝x－ln x，且f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f (x)min＝g(x)min＝1. 当直线y＝b与曲线y＝f (x)和y＝g(x)共有三个不同交点时，设三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x17/7

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