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高考试题 (年份/卷别/题号) 新高考全国卷 新高考地方卷
命题区间 三角 函数 三角函数的图象与性质 2024新高考Ⅰ卷T7Ⅱ卷T9 2023新高考Ⅰ卷T15Ⅱ卷T16 2022新高考Ⅰ卷T6Ⅱ卷T9 2024北京卷T6　 2024天津卷T7 2023上海卷T15 2023北京卷T17 2022浙江卷T6
三角恒等 变换与 解三角形 2024新高考Ⅰ卷T4T15Ⅱ卷T13T152023新高考Ⅰ卷T8T17Ⅱ卷T7T17 2022新高考Ⅰ卷T18Ⅱ卷T6T18 2024北京卷T16　 2024天津卷T16 2023北京卷T17　 2023上海卷T4T8 2023天津卷T16　 2022浙江卷T13T18 2022北京卷T16
平面向量 2024新高考Ⅰ卷T3Ⅱ卷T3 2023新高考Ⅰ卷T3Ⅱ卷T13 2022新高考Ⅰ卷T3Ⅱ卷T4 2024北京卷T5　 2024天津卷T14 2024上海卷T5 2023北京卷T3 2023上海卷T2 2023天津卷T14 2022北京卷T10 2022浙江卷T17
命 题 分 析 与 备 考 策 略 1．规律小结 (1)三角函数和解三角形作为高考的必考内容，在高考中选择、填空、解答三种题型都会涉及，大部分考查基础知识和基本方法，考查内容涉及三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的基本关系式、图象变换、三角函数的图象和性质、三角恒等变换、解三角形．如果考查解答题，多位于解答题的第一题或第二题，难度不大． (2)平面向量题考的比较基础，重点考查向量的概念、共线、垂直、线性运算及坐标运算等知识，侧重考查向量数量积的坐标运算，难度较低，同时也有可能出现在解答题中，突出其工具功能． 2．考点频度 (1)高频考点：三角恒等变换、三角函数的图象和性质、解三角形、向量的线性运算、夹角计算、数量积． (2)中频考点：三角函数的概念、向量模的计算、向量的平行与垂直． (3)低频考点：向量的综合问题． 3．考前备考策略 (1)针对三角函数部分知识比较零碎，公式比较多，知识点比较多的特点，备考时可以采用如下策略和方法：①建立知识网络对知识进行梳理，掌握其知识体系．②弄清公式之间的内在联系和公式的各种用法．③注重将多个知识点融合交汇的综合题目的处理方法与思路解析明晰化． (2)向量内容必考且难度不大，备考时应重视基础知识，熟练掌握基本技能，复习面要广，题型要练全．
　三角函数的图象与性质、平面向量
　　　　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式
命题角度：(1)三角函数的概念；(2)同角三角函数的基本关系；(3)诱导公式．
典例1　(2021·新高考Ⅰ卷T6)若tan θ＝－2，则＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
命题立意：本题是基础性题目，属于课程学习情境，以三角函数化简求值为载体，考查三角函数基本关系式的应用．考查的知识是同角三角函数的基本关系式、倍角公式，体现了数学运算、逻辑推理的核心素养．
思维拆解 解题思路 名师点拨
方法一：弦化切法 根据已知条件tan θ＝－2，考虑将所求转化为只含tan θ的式子再进行求解． 方法二：正弦化余弦法 第1步：根据tan θ＝－2得sin θ＝－2cos θ． 第2步：利用sin2θ＋cos2θ＝1与sin2θ＝2sin θcos θ将所求式化为齐次式． 第3步：将sin θ＝－2cos θ代入齐次式，化简求值． 方法三：求值代入法 根据tan θ＝－2，利用同角三角函数基本关系式求出sin θ与cos θ的值，然后代入求值． 解：法一：＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sinθcos θ ＝＝＝＝．故选C． 法二：因为tanθ＝－2，所以sin θ＝－2cos θ， 则＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝ ＝＝．故选C． 法三：因为tanθ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限， 所以或 所以＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sinθcos θ＝＝． 故选C． (1)解题关键是将1＋sin 2θ转化成(sin θ＋cos θ)2，然后进行化简，并利用sin2θ＋cos2θ＝1将所求式化为齐次式． (2)根据正切值的正负，确定角θ可能所在的象限．
归纳总结：解答此类问题的关键：一是化简，利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系等，化简已知三角函数式；二是求值，利用弦化切或切化弦，求出三角函数值．
　　　　三角函数的图象和性质
命题角度：(1)三角函数的图象与解析式；(2)三角函数的性质及应用．
典例2　(2024·新高考Ⅰ卷T7)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin 的交点个数为(　　)
A．3　　　　　　　　　 B．4　　　　　　　　　
C．6　　　　　　　　　 D．8
命题立意：本题以正弦函数以及正弦型函数为载体，考查正弦函数的图象与性质，考查数形结合思想，体现了直观想象的核心素养．
思维拆解 解题思路 名师点拨
方法一：图象的变换法． 方法二：“五点法”作图． 解：法一：如图，先画出函数y＝sin x的图象；再把正弦曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的，得到函数y＝sin 的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数y＝2sin 的图象，如图所示． 由图可知，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为6．故选C． 法二：由题可得y＝2sin 的最小正周期T＝， 即在[0，2π]内，y＝2sin 有3个周期，又其值域为[－2，2]，且x＝0时，y＝－1， 而y＝sin x的值域为[－1，1]，在同一个坐标系内作出y＝sin x与y＝2sin 的图象如图所示， 由图可得曲线y＝sin x与y＝2sin 有6个交点．故选C． (1)易错：针对图象变换有两处易错：一是平移的方向与“＋”“－”的对应，二是如何处理自变量x的系数．如果是左右平移变换，平移变换的规则是“左加右减”，同时由y＝sin ωx的图象变换到y＝sin (ωx＋φ)的图象时，需要向左或向右平移(ω＞0)个单位长度，而不是|φ|个单位长度． (2)y＝sin (ωx＋φ)的最小正周期T＝．
　　　　平面向量
命题角度：(1)平面向量的线性运算；(2)平面向量的数量积；(3)平面向量的综合应用．
典例3　(2024·新高考Ⅱ卷T3)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　)
A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　
C．　　　　　　　　 D．1
命题立意：本题以平面向量的模为载体，考查平面向量的模以及向量垂直条件的应用，属于课程学习情境，体现了数学运算的核心素养．
思维拆解 解题思路 名师点拨
第1步：由(b－2a)⊥b得b2＝2ab． 第2步：将|a＋2b|＝2两边平方． 第3步：解方程得|b|． 解：因为(b－2a)⊥b， 所以(b－2a)b＝0，即b2＝2ab， 因为|a＋2b|＝2，得a2＋4ab＋4b2＝4， 又|a|＝1，所以1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4， 解得|b|2＝，所以|b|＝．故选B． (1)已知向量和(差)的模，往往两边同时平方，将向量模的问题转化为向量的数量积，从而与条件中的已知向量建立联系． (2)b2＝|b|2．
归纳总结：平面向量数量积运算的常用公式：|a|＝，(a＋b)(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2ab＋b2．
典例4　(2023·新高考Ⅰ卷T3)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　)
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1
命题立意：本题以向量的坐标表示为载体，考查两个平面向量的垂直关系，体现了数学运算的核心素养，属于课程学习情境．
思维拆解 解题思路 名师点拨
第1步：求a＋λb与a＋μb的坐标． 第2步：由两向量垂直与数量积的关系列式求解． 解：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)， 所以a＋λb＝(λ＋1，1－λ)，a＋μb＝(μ＋1，1－μ)， 由(a＋λb)⊥(a＋μb)，得 (λ＋1)(μ＋1)＋(1－λ)(1－μ)＝0， 整理得2λμ＋2＝0，即λμ＝－1．故选D． 易错警示：两个向量垂直，其数量积为零，注意与两直线垂直(两直线斜率存在)，其斜率之积为－1的区别．
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