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高考试题 (年份/卷别/题号) 新高考全国卷 新高考地方卷
命题区间 等差数列、 等比数列 2024新高考Ⅰ卷T19Ⅱ卷T12 2023新高考Ⅰ卷T7Ⅱ卷T8 2022新高考Ⅱ卷T3 2024北京卷T15　 2023北京卷T14 2023上海卷T3 2023天津卷T6T19 2022北京卷T6 2023上海(春季)卷T16
数列求和 及其综合应用 2024新高考Ⅱ卷T12 2023新高考Ⅰ卷T20Ⅱ卷T18 2022新高考Ⅰ卷T17Ⅱ卷T17 2024天津卷T19　 2023北京卷T14T21 2023天津卷T19　 2022浙江卷T10T20 2022北京卷T15
命题分析与 备考策略 1．规律小结 由于数列是一类特殊函数，所以在对知识的基础性、综合性与应用性的考查上，常会与函数、不等式等知识交汇，综合考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想；通过数列在实际生活中的应用以及与数学文化有关的问题，考查数学抽象、数学探究以及数学应用、数学建模等素养． 2．考点频度：高频考点 (1)数列自身内部问题的综合考查：如数列的递推公式，等差、等比数列的性质、通项公式及前n项和公式，数列求和． (2)构造新数列求通项、求和：如“归纳、累加、累乘、分组、错位相减、倒序相加、裂项、并项求和”等方法的应用与创新． (3)综合性问题：如与不等式、函数等其他知识的交汇问题，与数列有关的数学文化问题及与实际生活有关的应用问题以及结构不良等问题． 3．考前备考策略 从近几年的高考题可以看出，数列部分主要以考查基础知识为主，同时锻炼考生的运算求解能力、逻辑思维能力等．重点考查考生对数列基础知识的掌握程度及灵活应用，同时也要重视对通性通法的培养，所以在备考中应把重点放在以下几个方面： (1)对数列的概念及表示的理解和应用． (2)会利用等差、等比数列的定义判断或证明数列问题． (3)通过转化与化归思想，利用错位相减、裂项相消、分组求和等方法求数列的前n项和． (4)数列与不等式、函数等的交汇问题． (5)结构不良问题、举例问题等创新题型．
　等差数列、等比数列
数列的概念及简单表示法命题角度：(1)由an与Sn的关系求通项公式；(2)由数列的递推关系求通项公式；(3)数列的性质．
典例1　(2024·全国甲卷理T18)记Sn为数列{an}的前n项和，且4Sn＝3an＋4．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn．
命题立意 审题指导
本题以数列前n项和与通项之间的关系式为载体，考查在已知数列的递推关系的条件下，求数列的通项公式和前n项和，体现了数学运算、逻辑推理的核心素养． ． ．
思维拆解 解题思路 名师点拨
(1)第1步：根据数列中an和Sn的关系求数列{an}的递推关系． 第2步：求出a1． 第3步：求数列{an}的通项公式． (2)第1步：求出数列{bn}的通项公式． 第2步：错位相减法求Tn． 解：(1)因为4Sn＝3an＋4，① 所以4Sn＋1＝3an＋1＋4，② ②－①可得4an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝－3an． 又因为4S1＝3a1＋4，所以a1＝4． 故数列{an}是首项为4，公比为－3的等比数列， 所以an＝4·(－3)n-1． (2)由(1)知bn＝(－1)n-1nan＝＝4n·3n-1， 所以Tn＝4(1×30＋2×31＋3×32＋…＋n·3n-1)，③ 3Tn＝4(1×31＋2×32＋3×33＋…＋n·3n)，④ ③－④可得－2Tn＝4(30＋31＋32＋…＋3n-1－n·3n) ＝4＝(2－4n)·3n－2， 所以Tn＝(2n－1)3n＋1． (1)数列中an和Sn的关系： 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1； 当n＝1时，a1＝S1． (2)关键找到任意相邻两项的关系确定特殊数列． (3)若一个数列的通项为anbn的形式，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则求数列{anbn}的前n项和时，可以利用错位相减法．
归纳总结：由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(只适用于选择题、填空题) (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f (n)(f (n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法． ②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f (n)an(f (n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法．
等差数列、等比数列
命题角度：(1)等差数列、等比数列的基本运算；(2)等差数列、等比数列的性质；(3)等差数列、等比数列的判断与证明．
典例2　(2022·新高考Ⅱ卷T17)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4．
(1)证明：a1＝b1；
(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数．
命题立意 审题指导
本题以等差数列与等比数列的关系为载体，考查数列的通项公式，考查的知识是等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，等比数列的通项公式an＝a1qn-1，体现了数学运算、逻辑推理的核心素养． (1)等差数列{an}，等比数列{bn} a1，b1和公差d的关系a1和b1的关系→得证． (2)由(1)得a1，b1和d的关系k关于m的表达式k的取值→集合中元素的个数．
思维拆解 解题思路 名师点拨
(1)第1步：列式，根据a2－b2＝a3－b3＝b4－a4找到a1，b1和公差d的关系式． 第2步：化简消元，消掉多余量d． 第3步：得证． (2)第1步：等量代换． 由bk＝am＋a1结合(1)得到k和m的关系． 第2步：求范围． 由1≤m≤500得到k的取值范围． 第3步：求k的个数． 解：(1)证明：设等差数列{an}的公差为d， 则(a1＋d)－2b1＝(a1＋2d)－4b1， (a1＋d)－2b1＝8b1－(a1＋3d)， 化简得d＝2b1，a1＋2d－5b1＝0． 代入消元得a1＝b1． (2)由(1)知am＝a1＋(m－1)d＝a1＋(m－1)×2b1＝(2m－1)a1，bk＝b1·2k-1． 由bk＝am＋a1得b1·2k-1＝(2m－1)a1＋a1， 由a1＝b1≠0得2k-2＝m， 由1≤m≤500得1≤2k-2≤500，k∈N*， 由28<500<29得0≤k－2≤8，2≤k≤10，k∈N*，所以集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素个数为9． 求解数列问题的基本策略在于“归”——化归与归纳，将问题化归为等差(等比)数列的通项问题或前n项和问题，然后借助等差(比)数列的性质或基本量运算求解．
归纳总结：(1)等差(比)数列的通项公式及前n项和公式，共涉及a1，an，d(q)，n，Sn五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d(q)是等差(比)数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用的方法．
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