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　数列求和及其综合应用
数列求和
命题角度：(1)分组转化法求和；(2)裂项相消法求和；(3)错位相减法求和．
典例1　(2023·全国甲卷理T17)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn．
命题立意 审题指导
本题以数列前n项和与项之间的关系为载体，考查数列通项公式与数列前n项和的求法，体现了数学运算、逻辑推理的核心素养． (1)． (2)由(1)得数列―→Tn的表达式Tn的通项公式．
思维拆解 解题思路 名师点拨
(1)第1步：赋值法计算a1． 第2步：由Sn写出Sn－1的对应等式． 第3步：将Sn与Sn－1的对应等式作差，得到an与an－1的关系式． 第4步：累乘法计算通项公式． 第5步：检验并得出结论． (2)第1步：写出的具体表达式． 第2步：利用错位相减法计算数列的前n项和． 第3步：得结论． 解：(1)当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0． 当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝(n－1)an－1， 两式相减得2an＝nan－(n－1)an－1， 即(n－1)an－1＝(n－2)an， 当n＝2时，可得a1＝0， 故当n≥3时，＝， 则·…·＝·…·， 整理得＝n－1，因为a2＝1，所以an＝n－1(n≥3)． 当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1． (2)令bn＝＝， 则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn ＝＋…＋，　① Tn＝＋…＋，　② 由①－②，得Tn＝＋…＋＝＝1－，即Tn＝2－． (1)易忽略：a1＝S1． (2)注意观察等式特点，确定用何种方法求通项公式是解题关键． (3)易错：易忽略验证n＝1是否满足通项公式而致错． (4)在写“Tn”与“qTn”的表达式时，应注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Tn－qTn”的表达式． (5)在应用错位相减法求和时，若公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
归纳总结：1．由Sn与an的关系求an的思路 利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；或者转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n的关系，再求an．切记要在利用这一关系求通项公式时，务必验证n＝1时的情形，看其是否能与n≥2时的表达式合并． 2．数列求和常用的方法 (1)裂项相消法 裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有： ＝；＝；＝；＝． (2)错位相减法 如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意： ①等比数列的公比为负数的情形． ②在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两项“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式． (3)分组求和法与并项求和法 ①若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． ②形如an＝(－1)n·f (n)类型，常采用两项合并求解．
　　　　数列的综合问题
命题角度：(1)数列与数学文化；(2)数列与函数的交汇问题；(3)数列与不等式的交汇问题．
典例2　(2023·天津卷T19)已知数列{an}是等差数列，a2＋a5＝16，a5－a3＝4．
(2)已知{bn}为等比数列，对于任意k∈N*，若2k-1≤n≤2k－1，则bk(ⅰ)当k≥2时，求证：2k－1(ⅱ)求{bn}的通项公式及其前n项和．
命题立意 审题指导
本题以等差数列为载体，考查求通项公式，求和公式的应用以及数列的递推关系，属于探索创新情境．本题形式创新，考查角度新颖，符合新高考命题趋势． (1)建立方程组―→a1，d―→{an}的通项公式和a2n－1的表达式―→计算和a2n－1之间的项数―→求 由{bn}为等比数列―→设出{bn}的通项公式―→代入(ⅰ)中的不等式―→分类讨论，得出q的值―→{bn}的通项公式及前n项和．
思维拆解 解题思路 名师点拨
(1)第1步：利用等差数列的通项公式求出首项和公差，写出{an}的通项公式． 第2步：分别写出和a2n－1的表达式． 第3步：计算和a2n－1之间的项数． 第4步：利用等差数列的前n项和公式求得结果． (2)(ⅰ)第1步：写出关于bk＋1的不等式． 第2步：写出an与an＋1的范围． 第3步：得到bk＋1的范围，进而得到bk的范围． (ⅱ)第1步：设出{bn}的通项公式，代入(ⅰ)中的不等式． 第2步：不等式两边分别同除以2n． 第3步：对q分类讨论，得q的值． 第4步：求bn及Sn． 解：(1)设{an}的公差为d．由 得解得 所以{an}的通项公式为an＝3＋2(n－1)＝ ＝2·2n-1＋1＝2n＋1， a2n－1＝2(2n－1)＋1＝2n+1－1， 从到a2n－1共有2n－1－2n-1＋1＝2n-1(项)， ＝ ＝＝＝3·22n-2． (2)(ⅰ)证明：因为当2k-1≤n≤2k－1时，bk0，q>0且q≠1)． 由(ⅰ)知，2n－11，即q>2时， n0∈N*，使得>2，与矛盾； ②当0<<1，q≠1，即02和06/6

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