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高考试题 (年份/卷别/题号) 新高考全国卷 新高考地方卷
命题区间 空间几何体 及其表面积 和体积 2024新高考Ⅰ卷T5Ⅱ卷T7 2023新高考Ⅰ卷T14Ⅱ卷T9T14 2022新高考Ⅰ卷T4T8Ⅱ卷T7T11 2024北京卷T8T14 2024天津卷T9 2023天津卷T8
空间点线面的 位置关系、 空间向量 2024新高考Ⅰ卷T17Ⅱ卷T17 2023新高考Ⅰ卷T12T18Ⅱ卷T20 2022新高考Ⅰ卷T9T19Ⅱ卷T20 2024天津卷T6T17　　2024北京卷T17 2024上海卷T15T17 2023上海卷T17 2023北京卷T9T16 2023天津卷T17 2023上海(春季)卷T17 2022北京卷T17 2022浙江卷T8T19
命题分 析与备 考策略 1．规律小结 比较近三年的高考题可以发现，对于空间向量与立体几何的考查在能力素养要求上有所提高，但难度不会提升太多，多为基础性、综合性题目．考查内容主要有： (1)以空间几何体与球的切、接为背景，考查几何体的结构特征、表面积、体积、性质等； (2)以空间几何体为载体，考查空间线、面位置关系的证明以及空间角和距离的计算； (3)以空间向量为辅助工具，解决空间几何体的证明与计算问题． 2．考点频度 (1)高频考点：垂直关系的证明，二面角，体积． (2)中频考点：球及球的切接，线线角、线面角，劳动生产实际与数学文化． (3)低频考点：表面积，平行关系的证明． 3．考前备考策略 从近几年高考来看，立体几何总体难度有所提升，但仍然以基础性题目为主，注重考查数学文化、社会生活实践中的数学问题，球的切接问题也是考查的热点和难点．解答题以常见几何体为载体，重点考查空间中点、线、面的位置关系的判断与证明以及空间角的求法，更加注重对空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力的考查，题目多为中档的综合性问题．综上，备考中要加强对常规题型的理解，要理解解题思路与方法策略，做到针对性、点对点备考，在训练中注意提高运算求解能力和空间想象能力．
　空间几何体及其表面积和体积
　　　　数学文化与简单几何体的性质
关注社会主义建设成果，增强文化自信，同时考查空间想象能力、数学运算能力．
典例1　(2022·新高考Ⅰ卷T4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　　)
A．1.0×109 m3　　　B．1.2×109 m3　　　C．1.4×109 m3　　　D．1.6×109 m3
命题立意：本题属于生活实践情境．以我国的重大建设成就“南水北调”工程为背景，冷点新考，强调基础，考查棱台的体积公式，体现了数据分析、数学运算等核心素养．
思维拆解 解题思路 名师点拨
第1步：统一单位，化“km2”为“m2”． 第2步：求体积． 将统一单位后的数据代入棱台的体积公式求棱台的体积． 解：由已知可得棱台的两个底面面积分别为S1＝140.0 km2＝1.4×108m2，S2＝180.0 km2＝1.8×108m2，棱台的高h＝157.5－148.5＝9(m)． 由棱台的体积公式，得增加的水量约为 V＝(S1＋S2＋)h＝×(1.4×108＋1.8×108＋)×9＝3×(0.6×＋3.2)×108≈1.4×109(m3)． 故选C． 易错：解答本题要注意将单位统一．
归纳总结：本题以我国重大建设成就“南水北调”工程为背景，考查棱台体积公式，同时考查学生的空间想象、运算求解、阅读理解等多种能力，试题引导学生关注社会主义建设成果，增强社会责任感，注意到棱台的体积公式在近年的考试中很少涉及，是个“冷点”，在今后的复习中要格外注意．
　　　　空间几何体的表面积和体积的计算
命题角度：(1)空间几何体的表面积；(2)空间几何体的体积．
典例2　(2023·新高考Ⅰ卷T14)在正四棱台ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________．
命题立意：本题以正四棱台为载体，考查棱台中特殊梯形的应用及棱台的体积公式，考查了空间想象能力，体现了直观想象的数学学科核心素养．
思维拆解 解题思路 名师点拨
方法一：直接法 第1步：作辅助线，构造直角梯形、直角三角形． 第2步：利用勾股定理和台体的体积公式即可求解． 方法二：割补法 补全正棱锥，利用相似比值求解． 解：法一：如图，记上底面、下底面的中心分别为O1，O，则四边形AOO1A1为直角梯形．由题意可知AO＝2A1O1＝，则棱台的高h＝OO1＝，所以棱台的体积V＝×(4＋1＋)＝． 法二：如图，将正四棱台ABCD A1B1C1D1补形，得到正四棱锥O ABCD．由AB＝2A1B1，AA1＝，可得OA＝2，所以正四棱锥O ABCD的高h＝，其体积V1＝×4×＝．同理，可得正四棱锥O A1B1C1D1的高h＝，其体积V2＝×1×＝，则该棱台的体积V＝V1－V2＝． (1)易错1：棱台的几何性质掌握不牢致误． (2)易错2：几何体的体积公式应用不到位致误． (3)关键：利用正棱台的定义，将正四棱台补形成正四棱锥． (4)组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
归纳总结：求解几何体的表面积或体积的策略 (1)直接法：对于规则几何体可直接利用公式计算． (2)割补法：对于不规则几何体，可采用“分割、补体”的思想，采用化整为零或化零为整求解． (3)等体积转化法：对于某些动态三棱锥的体积问题，直接求解不方便时，可采用转换底面的方式求解，尤其涉及“空间点到平面的距离”问题，常采用等体积转换法求解．
　　　　球及其组合体(重点关注表面积与体积)
以其外接球、内切球为背景，考查其表面积与体积．
典例3　(2022·新高考Ⅰ卷T8)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
命题立意：本题以正四棱锥的外接球为背景，考查棱锥和球的体积公式，以及利用导数研究函数的最值问题，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养．
思维拆解 解题思路 名师点拨
第1步：求球的半径． 第2步：用已知表示未知． 设出正四棱锥底面边长a和高h，利用两个直角三角形，得到关于a和h的方程组，解方程组用l表示a和h． 第3步：求体积． 由正四棱锥的体积公式得到体积V的表达式． 第4步：求范围． 求导判断单调性求得四棱锥体积的取值范围． 解：如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的底面边长为a，高为h，则πR3＝36π，解得R＝3． 由题意及图可得 解得 所以正四棱锥的体积V＝a2h＝＝(3≤l≤3)， 所以V′＝l3－＝l3(3≤l≤3)． 令V′＝0，得l＝2， 所以当3≤l＜2时，V′>0； 当2归纳总结：求解此类锥体的外接球的关键是做好三关 一是“方程关”，能借用图形，利用已知球的体积，得球的半径R所满足的方程，然后解方程，求出R的值． 二是“应用关”，能看清球中的直角三角形，并适时应用勾股定理． 三是“构造关”，即构造函数，借用导数，即可求出几何体体积的取值范围，也可以利用基本不等式，求出几何体体积的取值范围．
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