资源简介

　空间点线面的位置关系、空间向量
　　　　空间点、直线、平面之间的位置关系
命题角度：(1)点线面之间的位置关系；(2)空间轨迹、距离、折叠与展开、截面以及生产生活实践．
典例1　(2023·全国乙卷文T19)如图，在三棱锥P ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO．
(1)求证：EF∥平面ADO；
(2)若∠POF＝120°，求三棱锥P ABC的体积．
命题立意 审题指导
本题以三棱锥为载体，考查空间中直线与平面平行以及棱锥的体积公式，体现了直观想象、逻辑推理等核心素养，属于探索创新情境． (1) ＝0―→F为AC的中点―→ 四边形ODEF为平行四边形 EF∥平面ADO． (2)∠POF是二面角P BC F的平面角∠POM是二面角P BC M的平面角―→∠POM＝60°PM的值―→P ABC的体积．
思维拆解 解题思路 名师点拨
(1)第1步：证明F是AC的中点． 第2步：证明四边形ODEF为平行四边形进而可得EF∥DO． 第3步：证明EF∥平面ADO． (2)第1步：求二面角P BC F的大小． 解：(1)证明：连接DE，OF，设AF＝tAC，则＝＝(1－t)＋t＝－，由题知BF⊥AO， 则＝[(1－t)＋t]·＝(t－1)t＝4(t－1)＋4t＝0， 解得t＝，则F为AC的中点． 由D，E，O，F分别为PB，PA，BC，AC的中点， 得DE∥AB，DE＝AB，OF∥AB，OF＝AB，即DE∥OF，DE＝OF， 则四边形ODEF为平行四边形， 所以EF∥DO， 又EF 平面ADO，DO 平面ADO， 所以EF∥平面ADO． (2)由(1)得FO∥AB， 因为AB⊥BC， 所以FO⊥BC． 又PO⊥BC， 所以∠POF是二面角P BC F的平面角， 所以二面角P BC F的大小为120°． (1)利用向量的数量积列方程求解，是探求点在直线上的位置的有效途径．如本题中，由BF⊥AO联想到＝0，进而联想到用向量法探求F在AC上的位置． (2)易错：不经过证明，想当然地认为F是AC的中点而失分．
思维拆解 解题思路 名师点拨
第2步：结合二面角P BC F的大小求出三棱锥P ABC的高． 第3步：求三棱锥P ABC的体积． 如图，过点P作PM⊥平面ABC于点M，连接MO，MB，则∠POM是二面角P BC M的平面角， 所以∠POM＝60°． 在△PBC中，由PB＝PC＝，BC＝2，得PO＝2， 所以PM＝PO sin 60°＝． 所以三棱锥P ABC的体积VP ABC＝×PM＝×2×2＝． (3)将∠POF＝120°“还原”为二面角，是一个逆向思维，对空间想象能力要求较高． (4)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形，以防结论失误．
归纳总结：判断空间线面位置关系常用的方法：根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题，必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、正方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．
　　　　空间向量与立体几何
命题角度：(1)线线、线面、面面平行(垂直)关系判定；(2)空间向量与线面关系证明、空间角的计算．
典例2　(2024·新高考Ⅰ卷T17)如图，四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝．
(1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；
(2)若AD⊥DC，且二面角A CP D的正弦值为，求AD．
命题立意 审题指导
本题以四棱锥为载体，考查线面垂直的判定与性质，线面平行的判定，二面角的求法，体现了直观想象，数学运算的核心素养，属于课程学习情境． (1)证明AD⊥平面PAB―→AD⊥AB AB⊥BC―→AD∥BCAD∥平面PBC． (2)以D为坐标原点，建系→平面ACP与平面CPD的一个法向量得解．
思维拆解 解题思路 名师点拨
(1)第1步：证明AD⊥AB． 第2步：证明AB⊥BC，得出BC∥AD． 第3步：证明AD∥平面PBC． 解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PA⊥AD， 又AD⊥PB，PB∩PA＝P，且PB，PA 平面PAB， 所以AD⊥平面PAB， 因为AB 平面PAB， 所以AD⊥AB． 在△ABC中，因为AC＝2，BC＝1，AB＝， 所以AB2＋BC2＝AC2，则AB⊥BC， 所以AD∥BC， 又BC 平面PBC，AD 平面PBC， 所以AD∥平面PBC． (1)第(1)问证明点线面之间的位置关系，比较简单，一般用几何法，不用向量法．
思维拆解 解题思路 名师点拨
(2)第1步：建系，设出A点坐标，写出相关向量的坐标． 第2步：得出平面ACP的一个法向量． 第3步：得出平面CPD的一个法向量． 第4步：根据二面角A CP D的正弦值列方程． 第5步：得出AD的长． (2)因为AD⊥DC，故以D为坐标原点，分别以DA，DC所在的直线为x，y轴， 过点D作与平面ABCD垂直的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz． 令AD＝t，0＜t＜2， 则A(t，0，0)，P(t，0，2)， D(0，0，0)， 由AD⊥DC得DC＝， 所以C(0，，0)， 则＝(－t，，0)，＝(0，0，2)， ＝(t，0，2)，＝(0，，0)， 设平面ACP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则 即 z1＝0，取x1＝，则y1＝t， 则平面ACP的一个法向量为n1＝(，t，0)． 设平面CPD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则 即 y2＝0，取z2＝t，则x2＝－2， 则平面CPD的一个法向量为n2＝(－2，0，t)， 因为二面角A CP D的正弦值为， 则该二面角的余弦值为＝， 故|cos 〈n1，n2〉|＝＝＝， 解得t＝(负值舍去)， 故AD＝． (2)证明空间线面问题的关键：准确把握几何体的结构特征，灵活利用平面几何知识把平面中的平行与垂直关系转化为空间中的线面关系． (3)易错①：使用向量法，建系前应注意证明相交于一点的三条直线两两垂直． (4)易错②：求解空间角，常利用平面的法向量，准确求解空间向量是基础． (5)易错③：给出角的正弦值，需转化为二面角的余弦值． (6)平面与平面的夹角的范围是，两向量夹角的余弦值的绝对值为面面角的余弦值． (7)求空间角，牢记各类角的范围是解题关键．两条异面直线所成角的取值范围是，直线和平面所成角的范围是，二面角的平面角的取值范围是[0，π]． (8)易错④：用向量法求二面角时，要特别注意向量的夹角与所求角的关系． (9)在书写解题过程时，对于得分点的解题步骤一定要写全，若是找二面角的平面角，应遵循“一作”“二证”“三求”的原则，“证”是关键，不能忽略了“证”这一重要环节．
归纳总结：利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤 (1)建坐标系：根据图形与已知条件，构建适当的空间直角坐标系； (2)求法向量：准确求解相关点的坐标，并分别求出两平面的法向量m，n，设两平面的夹角为θ； (3)用公式：利用求两向量夹角余弦值的公式cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝，求夹角的余弦值．
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