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高考试题 (年份/卷别/题号) 新高考全国卷 新高考地方卷
命题区间 直线与圆 2024新高考Ⅱ卷T10 2023新高考Ⅰ卷T6Ⅱ卷T15 2022新高考Ⅰ卷T14Ⅱ卷T15 2024北京卷T3 2024天津卷T12 2023上海卷T7 2023天津卷T12 2022北京卷T3
圆锥曲线的方程与性质 2024新高考Ⅰ卷T11T12T16Ⅱ卷T5 2023新高考Ⅰ卷T5T16 2022新高考Ⅰ卷T16Ⅱ卷T21 2024北京卷T11T19　　 2024上海卷T20 2024天津卷T8T12T18 2023天津卷T9 2023北京卷T6T12 2023上海卷T16 2022北京卷T12T19 2022浙江卷T16
直线与圆锥 曲线的位 置关系 2024新高考Ⅰ卷T16Ⅱ卷T10T19 2023新高考Ⅱ卷T5T10T21 2022新高考Ⅰ卷T11Ⅱ卷T10T16 2024北京卷T13　 2024上海卷T20 2024天津卷T18　 2023天津卷T18 2023上海卷T20　 2023北京卷T19
圆锥曲线的 综合问题 2024新高考Ⅰ卷T16Ⅱ卷T19 2023新高考Ⅰ卷T22Ⅱ卷T21 2022新高考Ⅰ卷T21Ⅱ卷T21 2024北京卷T19　 2024上海卷T20 2024天津卷T18　 2023上海卷T16T20 2023天津卷T18　 2023北京卷T19 2022北京卷T19　 2022浙江卷T21
命题分 析与备 考策略 1．规律小结 平面解析几何是中学数学的核心内容，是考查学生学科素养的载体．每年高考卷的必考题，一般是两小一大，分析近三年高考试题不难发现，高考对解析几何的考查一般以课程学习情境与探索创新情境为主，注重数学知识的基础性、综合性和应用性的考查，侧重考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力．具体呈现以下规律： (1)基础性：高考通过对直线和圆、圆锥曲线的概念和几何性质等基础知识、基本方法的考查，增强了考查内容的基础性；通过对解析几何基础知识、基本技能、基本思想方法的全面覆盖，考查逻辑思维能力和运算求解能力等，从而促进学科素养的提升，提高考生从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力． (2)综合性和应用性：解析几何涉及知识点多，高考通过综合设计试题，将多个知识点衔接起来考查，要求考生从整体上把握各种现象的本质和规律，能综合应用所学知识原理和方法来分析和解决问题． (3)创新性和选择性：创新意识是理性思维的高层次表现．分析近三年高考题发现其重点考查的学科素养是理性思维和数学探索．高考数学在对解析几何的考查中，充分利用学科特点，加强对考生创新能力的考查． 2．考点频度 高频考点：直线与方程、圆与方程、椭圆、抛物线、双曲线的概念及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系及其综合问题． 3．考前备考策略 根据对本专题高考试题的分析，现给出如下备考建议： (1)回归教材，注重基础，构建知识网络 高考中对解析几何的基础知识考查全面且综合，如直线和圆的方程、圆锥曲线定义和几何性质、直线与圆锥曲线位置关系等，而且不回避热点，如求圆的方程问题、椭圆和双曲线离心率问题、弦长问题等．仔细对比可以发现，每年的高考试题大都由教材习题改编而来，源于教材，又高于教材． (2)重视圆锥曲线的定义及其几何性质 代数法(坐标法)是解决解析几何问题的通性通法，但解析几何问题的本质是几何问题，利用题干图形的几何性质解答，往往能避开烦琐的代数运算，起到出奇制胜、事半功倍的效果． (3)多角度审视，注重一题多解，把握问题的本质 解析几何的试题一般入口较宽，很容易找到解决问题的思路，但是不同解法间运算量的差异很大，有的是“可望而不可及”．为此，在复习过程中要特别注重对不同方法的分析、比较，研究图形的几何特征，以掌握处理代数式的一般方法，明确不同方法的差异和联系，使每位考生找到自己最擅长的方法． (4)夯实基本技能和基本方法，提升学科核心素养 高考复习不仅是简单地“刷题”，平时解题的目的应重点放在巩固、加深对概念的理解、训练和提升基本技能、熟练掌握基本方法上，利用的知识技能方法包括数形转化以及向量转化等． (5)加大训练力度，侧重培养考生逻辑思维能力和运算求解能力 在平面解析几何专题复习过程中，提升考生的逻辑思维能力和运算求解能力尤为重要，因此平时要引导考生进行以运算为主的练习和规范严密的思维分析训练．在运算时注重一题多解的方法，选取恰当的解法能起到事半功倍的效果，以便使考生在考场上尽可能多得分．
　直线与圆
直线与圆的方程
命题角度：(1)直线的方程；(2)圆的方程．
典例1　(2022·全国甲卷文T14)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________．
命题立意：本题属于课程学习情境．考查圆的方程，考查方程思想，体现了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养．
思维拆解 解题思路 名师点拨
方法一：代数法 设圆的标准方程，用待定系数法求解． 方法二：代数法 设圆的一般方程，用待定系数法求解． 方法三：几何法 利用圆心在过点(3，0)和(0，1)两点的弦的中垂线上求解． 解：法一：设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则解得 所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5． 法二：设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则M， 所以解得 所以⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5． 法三：设A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半径为r，则kAB＝＝－，AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为y－＝3，即3x－y－4＝0．联立解得M(1，－1)，所以r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5． (1)确定圆的几何要素——圆心和半径． (2)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆心为的圆； 当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点； 当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有实数解，不表示任何图形．
归纳总结：求圆的方程时，应根据条件选择合适的方法．一般来说，求圆的方程有两种方法： (1)几何法：通过研究圆的性质进而求出圆的几何要素．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质，一是圆心在过切点且垂直于切线的直线上；二是圆心在任一弦的中垂线上；三是两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． (2)代数法：设出圆的方程，用待定系数法求解．
直线与圆的位置关系
命题角度：(1)直线与圆相切；(2)直线与圆相离；(3)直线与圆相交；(4)直线与圆位置关系的综合问题．
典例2　(多选)(2024·新高考Ⅱ卷T10)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则(　　)
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
命题立意：本题以抛物线与圆为载体，考查直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想，对考生分析问题、解决问题的能力要求较高，体现了直观想象、数学运算的核心素养．
思维拆解 解题思路 名师点拨
第1步：A选项，抛物线准线为x＝－1，根据圆心到准线的距离来判断． 第2步：B选项，由P，A，B三点共线得P点坐标，进而得出切线长． 第3步：C选项，由|PB|＝2可算出P点坐标，然后验证PA与AB是否垂直． 解：A选项，抛物线y2＝4x的准线为x＝－1， ⊙A的圆心(0，4)到直线x＝－1的距离显然是1， 等于圆的半径， 故准线l和⊙A相切，A选项正确； B选项，P，A，B三点共线时，即PA⊥l， 则P的纵坐标yP＝4， 由＝4xP，得到xP＝4，故P(4，4)， 此时切线长|PQ|＝＝＝， B选项正确； C选项，当|PB|＝2时，xP＝1，此时＝4xP＝4，故P(1，2)或P(1，－2)， 当P的坐标为(1，2)时，A(0，4)，B(－1，2)，kPA＝＝－2， kAB＝＝2，不满足kPAkAB＝－1； 当P的坐标为(1，－2)时，A(0，4)，B(－1，－2)，kPA＝＝－6，kAB＝＝6，不满足kPAkAB＝－1， 于是PA⊥AB不成立，C选项错误； (1)判断直线与圆的位置关系的常见方法： ①几何法：利用圆心到直线的距离与半径r的关系； ②代数法：联立方程后利用Δ判断． (2)切线长问题要特别注意所构成的直角三角形的几何性质． (3)利用“k1·k2＝－1”判断两直线垂直的前提是“斜率存在”．
第4步：D选项，方法一：利用抛物线的定义转化 利用|PB|＝|PF|，将问题转化成|PA|＝|PF|的点P的存在性问题，进而考察AF的中垂线和抛物线交点个数即可． 方法二：直接设出点P坐标，根据|PA|＝|PB|列方程判断． D选项，法一(利用抛物线定义转化)： 根据抛物线的定义，|PB|＝|PF|，F(1，0)， 于是|PA|＝|PB|时P点的存在性问题转化成|PA|＝|PF|时P点的存在性问题， A(0，4)，F(1，0)，AF中点，AF的斜率为－4，AF中垂线的斜率为， 于是AF的中垂线方程为y－2＝，即2x－8y＋15＝0， 与抛物线y2＝4x联立可得y2－16y＋30＝0， Δ＝162－4×30＝136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个P点，使得|PA|＝|PF|，D选项正确． 法二(设点直接求解)： 设P，由PB⊥l可得B(－1，t)，又A(0，4)，|PA|＝|PB|， 根据两点间的距离公式，得＝＋1， 整理得t2－16t＋30＝0， Δ＝162－4×30＝136>0，则关于t的方程有两个解， 即存在两个这样的P点，D选项正确． 故选ABD． (4)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在． (5)涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，要注意在解题中利用两者之间的相互转化．
圆与圆的位置关系
通过圆的方程，判断两圆的位置关系．
典例3　(2022·新高考Ⅰ卷T14)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________．
命题立意：本题考查圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，体现了直观想象、逻辑推理等核心素养．
思维拆解 解题思路 名师点拨
第1步：判断两圆的位置关系． 第2步：方法一：数形结合，快速求外公切线． 方法二：数形结合，稳妥求解． (1)定位置，根据圆心距与两圆半径和差的关系判定两圆的位置关系． (2)会用几何法，即会利用圆心到直线的距离求出内公切线方程． (3)求外公切线的交点． (4)设方程求解，设出另一条外公切线方程，利用点到直线的距离公式，求参数得外公切线方程． 解：设圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心分别为O(0，0)，M(3，4)，半径分别为r1＝1，r2＝4，则圆心距|OM|＝＝5＝r1＋r2，所以两圆外切． 法一：根据题意，精确作出两圆， 由图形直观看出直线x＝－1是两圆的一条公切线，经验证符合题意，故可填x＝－1． 法二：由法一易知一条外公切线方程为x＝－1．注意到两圆外切，有一条内公切线，设切点为A，则|OA|＝1，易知kOA＝kOM＝，则可设两圆内公切线方程为3x＋4y＋t＝0，点O(0，0)到该直线的距离＝1，解得t＝－5(正值舍去)，所以内公切线方程为3x＋4y－5＝0． 两圆心连线的方程为y＝x，联立解得 易知另一条外公切线的斜率存在，且过点，可设其方程为y＋＝k(x＋1)，点O(0，0)到该直线的距离＝1，解得k＝，故另一条外公切线的方程为7x－24y－25＝0．故填x＝－1(或填3x＋4y－5＝0，或填7x－24y－25＝0)． (1)题眼：题目给出了两个圆的方程，只要求一条公切线，而两圆的公切线不止一条，可选择较为容易求的切线． (2)准确作图分析，是可以直接得到这个结果的，这也说明了在平时复习备考中，注重基础的同时，也要注意“小题小解”． (3)关键：内公切线与两圆心连线垂直是设直线方程的关键． (4)敲黑板：审题时要注意看清题目要求，如果因为读题不认真将三个方程都写上，这样既浪费时间，又增大了出错率．
归纳总结：(1)“举例问题”在2021年全国乙卷首次出现，2022年不仅在全国乙卷中出现，在新高考卷中也出现了，2023新高考Ⅱ卷T15也是这类问题，考查思维的灵活性，既增加了试题的灵活度，又拒绝了套路解法． (2)虽然求两圆的公切线方程在近年高考中不多见，但在今后的学习中也要引起重视．根据高考试卷命题规律特点，凡是课本上的知识与题型都可能出现在高考试题中，因此这类在高考数学中出现频率较少的“冷考点”，也是值得重视的，特别是难度不大但命制试题时灵活性较强的冷考点．
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