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　圆锥曲线的方程与性质
圆锥曲线的定义与标准方程
以椭圆、双曲线和抛物线为载体，通过其定义，进行标准方程的求解及相关运算．
典例1　(2023·天津卷T9)双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为(　　)
A．＝1　　　　　 B．＝1　　　　　
C．＝1　　　　　 D．＝1
命题立意：本题以双曲线为载体，考查双曲线的标准方程和简单几何性质，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，属于课程学习情境．
思维拆解 解题思路 名师点拨
第1步：求点P的坐标． 第2步：根据|PF2|＝2，求出b． 第3步：根据直线PF1的斜率为，求出a． 第4步：求出双曲线的方程． 解：不妨取渐近线y＝x，此时直线PF2的方程为y＝－(x－c)，与y＝x联立并解得即P． 因为直线PF2与渐近线y＝x垂直，所以PF2的长度即为点F2(c，0)到直线y＝x(即bx－ay＝0)的距离，由点到直线的距离公式得|PF2|＝＝＝b，所以b＝2． 因为F1(－c，0)，P，且直线PF1的斜率为，所以＝，化简得＝，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以＝，整理得a2－2a＋2＝0，即(a－)2＝0，解得a＝． 所以双曲线的方程为＝1．故选D． (1)求圆锥曲线的标准方程，一般用解析法，即把题目中的每一个几何条件都用方程或代数式逐一表示出来，然后再运算即可． (2)易错①：椭圆与双曲线中的关系式弄混致错，椭圆中的关系式为c2＝a2－b2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2． (3)易错②：确定圆锥曲线方程时要注意焦点位置．
归纳总结：求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”，所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
典例2　(2023·全国甲卷文T7)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．1 B．2 C．4 D．5
命题立意：本题以椭圆方程为载体，考查椭圆定义，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养，属于课程学习情境．
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方法一：根据焦点三角形面积公式，求出△PF1F2的面积，即可解出． 方法二：根据椭圆定义及勾股定理即可解出． 解：法一：因为＝0，所以∠F1PF2＝90°， 从而＝b2tan 45°＝1＝×|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝2． 故选B． 法二：因为＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4 c＝2， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝42＝16， 又|PF1|＋|PF2|＝2a＝2， 平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16＋2|PF1||PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2． 故选B． (1)涉及“焦半径”问题，常利用|MF1|＋|MF2|＝2a实现等量转化． (2)通常将椭圆定义和余弦定理(勾股定理)结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
归纳总结：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图，设∠F1PF2＝θ． (1)当P为短轴端点时，θ最大最大 ＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|． (3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c． (4)|PF1|·|PF2|≤＝a2． (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ．
　　　　圆锥曲线的几何性质
命题角度：(1)椭圆、双曲线的几何性质；(2)抛物线的几何性质．
典例3　(2024·新高考Ⅰ卷T12)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
命题立意：本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的定义、几何性质，考查运算求解能力，属于课程学习情境．本题源自人教A版选择性必修第一册P124练习T1．
思维拆解 解题思路 名师点拨
方法一：直接法 第1步：画出大致图象(图略)，由|AB|＝10及双曲线的对称性求出|AF2|． 第2步：由双曲线定义求出a． 第3步：由勾股定理，求出c． 第4步：求离心率． 方法二：二级结论法． 解：法一：由|AB|＝10及双曲线的对称性得|AF2|＝＝5， 因为|AF1|＝13，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝8，所以a＝4， 2c＝＝＝12，所以c＝6， 所以C的离心率e＝＝＝． 法二：由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入＝1得y＝±，即A，B．故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5①， 又|AF1|－|AF2|＝2a， 所以|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4， 代入①得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6． 所以e＝＝＝． (1)本题通过应用双曲线的定义和对称性，可以避免较为复杂的坐标计算以及联立方程求解，从而有效减少计算量． (2)二级结论：椭圆和双曲线的通径长均为．这一结论在做选择、填空题时可以直接用．
归纳总结：求双曲线离心率或范围的方法 (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解． (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解． (3)构造a，c的齐次式，可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e．
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